1、4242(參)複數阻抗的一般性討論 (General discussion on complex resistance)複數阻抗的串、並聯： 在電阻、電容與電感皆以複數阻抗來表示之後，這些元件之串、並聯可以視同直流電路裡頭電阻的串、並聯，其等效阻抗的計算也適用直流電阻電路之公式。若 為串聯，則其等效阻抗為 ；nZ,1 njSZ1若 為並聯，則其等效阻抗為 。 j/ 證明之一：考慮右圖的電路 - itItIeDppjt()cos()、vtideCDIjCtp()()1vLidtDvtjIeZILjpjSpjt()1QEDZiZS jCL(),1- 證明之二：考慮左圖的電路 - vteDjt()v
2、tiditCvDCdt()()()1LtLjLt()1itijejt()()ZSCiD(t)vC(t)LVD(t)vL(t)iD(t) VD(t)ZSCiD(t)LVD(t)iD(t) VD(t)iCiL4343QEDZvtiZjCZjLSDCL(),114444複數阻抗的數學分析(1)阻抗的複數平面表示法：由於阻抗 為複數，我們可以令 ；另外，ZRe,jZ也可以寫為 。)/(tan, 12ej不論是寫為 或 ， 乃是複數平面上的一點(如右圖)。(2)阻抗的複數平面區域：純電阻R： - 在複數平面的正X 軸0ZRZ純電容C： - 在複數平面的負Y 軸9/Cj C純電感L ： - 在複數平面的正
3、Y軸LLRC電路：不論 R與C是串聯或並聯，其等效阻抗的虛數部份恆為負值；以複數平面而言，這是說RC電路的等效阻抗恆出現在複數平面的第四象限，如下圖。- RC串聯： - 虛數部份恆為負CjjSRZ1- RC並聯： - 虛數部份恆為負2)(RL電路：不論 R與L是串聯或並聯，其等效阻抗的虛數部份恆為正；以複數平面而言，這是說R L電路的等效阻抗恆出現在複數平面的第一象限，如最上圖)。- RL串聯： 0/tan1LjZS- RL並聯： 0/ta)/1()/ 1RLj ZZ ZSZS=- j4545RLC電路(a) - RLC 串聯 CjSLRZ1RLC電路(b) - LC 並聯1LjSZ= 不論(
4、a)或(b)電路，若 則 的虛數為正；若 則 的虛數為負。CL1SCSZ(3)討論： 如果 ， 將出現在複數平面的第一象限，並稱之為電感性阻抗。CL1SZ 反之，若 ，則 將出現在複數平面的第四象限，並稱之為電容性阻抗。 任何情況下， 都不可能出現在複數平面的第二或第三象限。 RLC串聯電路，如果 則 ，此時電感與電容的效應相互抵消。1RS 在LC並聯電路，如果 則 ，這代表著頻率為 的正弦訊號將被LCCLZLC1並聯電路所阻斷，或說是被LC並聯電路濾掉。RCLRjLjC1 ZS串聯 SSLC11ZS=-jCR RjC1 ZS並聯 L jL4646(肆)交流穩態電路的分析與計算 (Sectio
5、n 4.5)相量電路的基本理論 在相量表示法之下，電阻、電容與電感皆變成具有複數阻抗的元件，因此所有直流電路的分析法，如分壓定律與分流定律、節點分析與網路分析、線性關係與重疊原理、戴維寧定理、諾頓定理、等，全部適用於以相量符號表示之下的交流穩態電路計算。換言之，在將電阻 換成阻抗 以及將直流電壓(流)源換成交流電壓(流)源RZ之後，所有直流穩態電路的公式與定理將全部適用。另外，我們曾為了直流電路的節點分析而定義電阻的倒數為電導。在此，我們也為了交流電路的節點分析，定義阻抗的倒數為導納(admittance)，其符號為 。ZY/1Ex2.1 簡單的RLC電路，如右圖。 方框部份的等效阻抗為 31
6、3jZjS 因此， 。AeI jjjR 9.653431.08. 由分流定理 IjR1.538. 由電流守恆： jj9.1224.Vpej3t 1 1HIR(t) I1(t)3F1/9 z q Vp 1IR I13 q q -j3 j3I2Vp=54747AteeIt tjjtjR)9.36cos()(39.6315151tttjjtj .822.82 Ex2.2 交流電路裡電壓與電流關係的驗證，以Ex2.1為例。 由上例：,6.089.3jRejI,.061.531jejI9.81224.0jejI 各個元件兩端的電壓降可以計算如下：、 、VjIVj 8.4213 V.8、 。j jIR61
7、 各電壓之間關係的驗證：(a) 應該等於 跟 的和： 3j3j滿足36.024jj(b) 跟 的和應該等於 ： 1VPV滿足j53 電壓與電流關係的驗證： - )3cos(5)(ttP 而 = 驗證了電阻兩端電壓 跟電阻電流 永遠同相角。 9.61je9.6jReI1VRIVp 1IR I13-j3j3I24848 而 = 驗證了電容電流 比電容兩端電壓 快1.832jjeV9.812jeI2I3jV90 而 = 驗證了電感電流 比電感兩端電壓 慢 。9.6jj .53j 1j4949Ex2.3 下圖電路之分析： 1/2H1F1/2F1/2 1/4H11i1 i3i2 i4i5 i65ej2t
8、5ej2t j-1/2j1/2 11i1 i3i2 i4i5 i655 1/2j-j物 理 電 路 相 量 電 路Ex2.3.1 - 節點分析法之應用： 簡化電路並標示獨立節點，如右圖。 本電路共有三個獨立節點a、b及c ；令 。0Cv 節點方程式： - 記得節點方程式乃是以導納來建立 節點 a之KCL： 、節點b之KCL：321ii643ii 、 、 、)5(1viaj/56b、)(/3vjbvjvj)21( 節點電壓方程式 - 節點a： 、 節點b：02j 5)(ajv 解得 以及 30537108.jev5.4753.jjbe 所有的分岐電流， ，皆可利用 及 計算得到。,i av 對應
9、於電壓源為 ，這表示)2cos(t以及 。).ta ).2cos(0.)(ttb-j1/2 1 55 -j1+2j5a bc I4I2I1 I3 I65050Ex 2.3.2 - 網目分析法之應用： 簡化電路並標示獨立網目，如右圖。 本電路共有三個網目電流 、 及 。1I23I 網目方程式： 網目1之KVL： 5)(5.0j網目3之KVL： 32II網目2之KVL： 0)()(21jIjj 網目電流解： )29cos(83.5)(8.5094.591 tteI8.56637632.2Ijj)14(7.)(2 14 ttI 所有的分岐電流， ，皆可利用 、 及 計算得到。1,i II-Ex2.3
10、.3 - 重疊原理之應用：令原電路右側的電壓源為零，簡化電路如右上圖： a-a以右的總阻抗為 41215jjaZ則b-b以右的總阻抗為 251/)( jjjb-j1/2 1I1 I3I2 55 -j1+2j5a b1i2 1i61i5-j1/2 11i 1i35 -j1+2j5bb aa5151 因此， Ajij 15.47.5211則： jZb86934/)(3 以及 。jia200 6 以 及 都可以輕易計算得到。12i6135i接著，令原電路左側的電壓源為零，簡化電路如右下圖： b-b以左的總阻抗L jjbZ2) (a-a以左的總阻抗: 521/1)ja 因此， Aji 493.0.3
11、1562由分流定理： jij 09.285/)4(62以及 。17.13 以及 都可以輕易計算得到。132ii 3ii最後的(相量振幅)解： 、 2j、80693246ii= 可以跟Ex.2.3.1、Ex.2.3.2以及Ex.2.3.3比較上面的結果。1i2 1i61i5-j1/2 11i 1i35 -j1+2j5bb aa2i 2i62i5-j1/2 12i1 2i3-j1+2j55b aab5252不同相多電源交流電路之分析問題：如果交流電路裡存在有不同相角的多個電源，則如何分析？方法：(a) 分別將所有的電源化為相量型式，也就是說將它們的相角帶到振幅上去。(b) 照一般方法分析電路的解，
12、複數電源的出現並不影響分析電路的理論。Ex2.4 : 若Ex2.3的電壓源分別改為 及 ，)152(tje)452(tje則電路的解為何？A: 兩個電壓源的相量值將分別變為 及 ，而整個jj相量電路圖也變成如右所示。B: 電路的解：- 比較 Ex.2.3.1、Ex.2.3.2以及Ex.2.3.3(a) 節點分析 解題 - 節點a： 150)2(jbaejvj(與Ex.2.3.1比較) 節點b： 4(b) 網目分析 解題 - 網目1之KVL ：21)(5.0jIjI(與Ex.2.3.2比較) 網目2之KVL： 0)(213jI網目3之KVL：452)(eIIj(c) -j1/2 1-j1+2j5
13、a bc5ej 45ej5353根據重疊原理，我們也可以將Ex2.3.3裡所有 的解分別乘上 倍，以及所有61,i 15je的解分別乘上 倍，然後本題的解將為 621,i 45je kiijkk,4525454多頻率交流電路之分析當電路裡有一個以上的交流電源，而且這些交流電源的頻率不盡相同的時候，這種電路稱為多頻率交流電路。= 直流電源可視為頻率為零的交流電源。多頻率交流電路的分析以重疊原理行之；也就是先就每一個電源分別求解，再將各別的解相加便得完整的解。= 注意：不同頻率的相量解不可以直接相加，只有它們的時間函數可以相加。Ex2.5 求右上電路的電流 。)(tI 根據重疊原理將原電路化為(甲)、(乙)及(丙)三個部份電路。 以右下三個部份電路分別解各個頻率的解： 電路(甲)： AIVDC10 電路(乙)： Ajj20211 電路(丙)： /04jIej8964. 因此， tjjtDCIeIt 21)()cos(.)cos(2 = 注意：最後的答案裡，將包含有每一個電源頻率的解。10V101F1H2cos(t) 4cos(2t)I(t)10V10IDC10-j2 jIw1 ( )( A )10-j/2 4j2Iw2 ( )
