1、复数的开方教案 1教学目标1掌握求复数 r(cosisin)的 n 次方根的法则2通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力3通过对复数 r(cosisin)的 n 次方根几何意义的探求，培养和发展数形结合的意识和能力教学的重点与难点重点：复数开方公式的推导与运用教学过程设计(一 )从解方程引入复数开方师：由研究方程 x2= 1 的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集在复数集中方程 x2=a(a 0) 的解是什么？师：在复数集中 x3=1 的解有几个，是什么？生甲：可能有 3 个，一个是 x=1，另外两个不知道师：你怎么知道的？师：对类似这样的问题，如 x3=1i，x 4=1 的解是
2、什么？为解决这一类问题要研究求复数 r(cosisin)的 n 次方根(二 )探求复数 r(cosisin)的 n 次方根，并推导开方公式师：( 提出课题 )求复数 r(cosisin ) 的 n 次方根如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的 n 次方根有几个值能有一个预测吗？生：我认为有 n 个师：这只是预测，这要通过求复数 r(cosisin )的 n 次方根来证实或否定如何求复数的 n 次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数 n 次方根？让学生回忆实数集中方根的概念复数 n 次方根的意义：如果 xn=z(nN +，zC) ，那么 x 叫做 z 的 n 次方根因为复数的 n 次方是
3、复数，所以一个复数的 n 次方根也是复数师：在建立复数 n 次方根概念的基础上，如何推导复数开 n 次方的公式呢？由上面分析可知，复数 r(cosisin)的 n 次方根仍是复数，设它为(cos isin )，那么这两个复数有什么联系呢？生：r(cosisin )=(cos isin )n(nN +)师：求复数的 n 次方根的问题，就转化为在上面等式中求出 和 这样就得到两个用三角形式表示的复数两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？生：它们的模相等，辐角可以相差 2 的整数倍师：由式可得由此可知，因此 r(cosisin ) 的 n 次方根是由复数 n 次方根的意义和复数相等的条件，得
4、到复数 n 次方根的表达式，下面的工作是什么？生甲：用公式解题生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识师：对首先要认识公式对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识本公式是运用复数 n 次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的公式成立的条件是：nN+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方对公式数量关系的认识：个给定的自然数；式中的 kZ 它可以取任何整数，随着 k 的不同取值式表示多少个不同的复数？为什么？(让学
5、生讨论)生甲：表示无数个不同的复数生乙：表示 n 个不同的复数师：哪个对，为什么？生丙：表示 n 个不同的复数对，因为一个复数的 n 次方根有 n 个值师：到目前为止，一个复数的 n 次方根有 n 个值这只是我们的推测，并没有证明但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？为什么？生丁：对由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值师：这启发我们用三角函数的周期性研究复数 n 次方根的个数为研究方便，把显然，k=n 与 k=0 时，这两个角相差 2，由于正弦、余弦函数的周期都是2，所在公式中它们表示同一个复数同理，k=n1，n2， ，n(n 1)与 k=1，2，n1 所
6、表示的复数对应相等因此，当 k 取 0，1，n1 各值时，就可以得到式的 n 个值由于正弦、余弦函数的周期都是 2，当 k 取 n，n1 以及其他各整数值时，又重复出现 k 取0，1，n1 时的结果，所以复数 r(cosisin)的 n 次方根是让学生叙述复数开 n 次方的法则，教师概括如下：复数的 n(nN +)次方根是 n 个复数，它们的模都等于这个复数的模的 n 次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与 2 的 0，1，n1 倍的和的几分之一(三 )运用复数开方公式，在运用中深化对复数 n 次方根的认识例 1 求 1i 的立方根即 1i 的立方根是下面三个复数：解题后让学生概括求复数
7、 n 次方根的步骤，教师进行归纳总结：1将复数 z 化为三角形式(辐角一般取主值)；2代入开方公式；4分别求出复数 z 的 n 个 n 次方根几点说明：1将复数 z 化为三角形式时辐角取主值使答案规范如例 1 中，将 11 的辐次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的练习 在复数集 C 中解方程 x41=0请学生板演解：将方程变形为 x4= 1=cosisin，教师讲评：解方程 x4=1 就是求1 的 4 次方根在实数集中无解，在复数集中它有 4 个虚数根进一步深化对复数 r(cosisin)的 n 次方根的认识提出以下问题：师：问题 1 复数 r(cosisin)的 n 次方根有
8、几个，它们的模等于什么？师：问题 2 复数 r(cosisin)的 n 次方根的几个辐角有什么规律？学生讨论，教师归纳总结师：问题 3 复数 r(cosisin)的 n 次方根的几何意义是什么？学生讨论，教师概括总结复数 r(cosisin ) 的 n 次方根的几何意义是：这 n 个 n 次方根对应于复平面例 2 在复数集 C 中解方程 x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点解：原方程就是x3=cos0isin0，如图 814，三个根 x1，x 2，x 3 在复平面内对应点分别为 A，B，C因为|x 1|=|x2|=|x3|，则三点 A，B，C 在以原点为圆心的单位圆上故
9、|AB|=|BC|=|AC|， ABC 为正三角形解题后思考以下问题：(1)1 的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？1 的立方根在实数集中有 1 个值，是 1在复数集 C 中，1 的立方根有 3 个值，有一个实数两个虚数，其中实数为 1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数(2)方程 x3=1 除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？(因式分解法，本节不展开)(四 )小结由实数集扩充到复数集我们对一个数的 n 次方根的认识有了发展在复数集 C 中，复数 r(cosisin ) 的 n 次方根有 n 个值这 n 个值可由复数开方公式得到它(五 )作业1高中代数下册 P21421
10、5 练习第 3，第 4 题2复数i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是 3求证虚数的平方根仍是虚数4已知 0， 1， n-1 是非零复数 z=r(cosisin)的 n 个不同的 n 次方根(n3)(1)求证： 0， 1， ， n-1 组成等比数列；(2)求和 Sn= 0 1 2 n-1作业答案或提示2由复数开方运算的几何意义，画出i 的 3 个立方根在复平面内的对应点，得出选 D3用反证法假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾课堂教学设计说明本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法1复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远在复数教学中如
11、何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程 x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程 x3=1 只有一根为 1 的认识从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣2注重对复数开方公式推导过程的教学复数开方公式推导是本节课的重点也是难点在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由 n 次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的 n 次方根有 n 个值完成公式的推导在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力3指导学法，会学公式在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识这对学习其他数学公式也是有指导意义的
