1、208.3 复数的运算预备知识复数的几种表示形式重点复数四则运算的法则复数加法的几何方法难点复数运算的除法运算不同运算时采用复数不同表示形式的选择学习要求掌握复数加减乘除运算法则理解复数乘除运算的棣莫弗法则21在实数集中的数可以进行四则运算，扩充为复数集后，这些运算是否也能作相应扩充，使之适用于虚数？本节即讨论这种扩充因为同一复数有多种不同表示形式，由此扩充中也要对不同形式表示的复数规定四则运算的法则要注意的是，某种运算可能对一种表示形式很方便，而对另一种表示形式就比较烦琐在下面的学习中，你应该学会选择最便于运算的表示形式设 z1=a1+b1i=r1(cos1+isin1)=r1 ，iez2=
2、a2+b2i=r2(cos2+isin2)=r2 1. 复数的加法与减法(1)复数加减运算的代数法则复数的加法和减法，总是先把复数表示为代数形式，然后按照多项式的加法和减法的法则来进行：实部和实部相加减，虚部与虚部相加减，即z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)iz1-z2=(a1+b1i)-(a2+b2i)=(a1-a2)+(b1-b2)i因此，两个复数的和、差仍然是一个复数但两个虚数和差，未必仍然是虚数当 b1+b2=0，则 z1+z2就成为实数；当 b1=b2，则 z1-z2成为实数特别地，两个共轭复数的和(差)，必定成为实数(纯虚数)：z=a+b
3、i, =a-bi，z+ =2a， z- =2bi因为复数的加减，是实部、虚部分别作加减运算的结果，因此也满足交换律与结合律，即对任何 z1,z2,z3C，成立z1+z2=z2+z1； ( z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(2)复数加减运算的平行四边形法则把复数 z1,z2表示为向量形式=(a1,b1), =(a2,b2)，OZ按向量加减运算法则 =(a1a2, b1b2)，2比较(8-3-1)，你立即能发现，它们的运算法则是相同的应用向量加减运算的平行四边形法则于复向量，复数和差 z3=z1+z2, z4=z1-z2所对应的复向量，也可以对 , 使OZ用平行四边形法则得到(见图 8-7
4、)例 1 z1=-2+3i, z2=1-6i ,z3=3-2i，计算 z=z1+z2-z3并作出复向量运算图解 z=(-2+3i)+(1-6i)-(3-2i)=(-2+1-3)+(3-6+2)i =-4-i(8-3-1)图 8-8xyOZ2Z1Z Z3图 8-7xyOZ1Z2Z3=z1+z2Z4=z1-z222复向量运算图象见图 8-8 课内练习 11. 计算(1)(-3+5i)+(2+i)-(-1+2i)； (2)(4+ i)-(5-i)； (3)(2+3 i)+1-4i)；(4)(-3-4i)+(-1+i)并作第(4)题的复向量图2. 复数的乘法(1)代数形式复数的乘积当复数以代数形式表示
5、时，复数相乘的法则如同多项式的乘法法则，其中 i 的幂，据虚单位的定义，应是 i2=-1, i3=i2i=-i, i4=i2i2=(-1)(-1)=1,.，最后再把把实部与虚部分别合并具体来看，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2合并实部、虚部后得z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i (8-3-2)(8-3-2)是一个公式，但死记它是没有必要的，你应该记住的是它的过程两个复数的乘积仍然是一个复数，但两个虚数的乘积未必仍然是虚数，当积的虚部 a1b2+a2b1=0 时，结果就是一个实数因为多项式的乘法满足结合律、交换律以
6、及乘法对加法的分配率，所以复数相乘也满足上述这些运算率，即任意 z1, z2, z3C，z1z2=z2z1，( z1z2)z3=z1(z2z3)， z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例 2 计算：(1)(1-3i)(-1+i)； (2)(1+ i 2)(2+i 3)； (3)40 i 9+(5-4i)2.解 (1)原式=-1+ i+3i-3i 2=2+4i (2)原式=(1-1)(2- i)=0 (3)原式=40 i+(25-40i+16i 2)=40i+(25-40i-16)=9 例 3 设 z=a+bi，求 z 解 z =(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2即 z
7、=a2+b2 例 3 的结果告诉我们，共轭复数的积必定是实数，且注意| z|=，因此有223z =|z|2=a2+b2 (8-3-3)课内练习 21. 计算(1)(-8-7i)(1+i)； (2)(3-2 i)(-4i)(1-i)； (3)(2- i)3(2)三角形式、指数形式复数的乘积当参加乘法运算的复数表示为三角形式或指数形式时，运算显得特别简单，而且还能得到求乘积的模和幅角的法则设 z1=r1 , z2=r2 ，ieiz1z2=r1 r2 =r1r2 ie2据幂相乘法则，得z1z2= (r1r2) )(21ie(8-3-4)这表明，两个复数相乘，积的模等于模的积，积的幅角等于幅角的和知道
8、了积的模和幅角，积的三角形表示形式就唾手可得了：z1=r1 =r1(cos1+isin1)，iez2=r2 =r2(cos2+isin2)，z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2) (8-3-5)例 4 计算：(1)8.6 10 ； (2) (cos +isin )4(cos +isin )2ie6i3612解 (1)原式=86 =86 =43( +i) )(62i 3sin(co8ei(2)原式=4 cos( + )+isin( + )3112=4 (cos +isin )=2 (1+i) 46课内练习 31. 计算：(1) ； (2)2(cos -isin ) 6321ii
9、e 64321iie对(8-3-4)(8-3-5)作推广，若z=r =r(cos+isin)，i24则 zn=rn( )n=rn ，iei即 r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)因此，一个复数的 n 次幂的模等于模的 n 次幂， n 次幂的幅角等于幅角的 n 倍称这个结论为棣莫弗法则或棣莫弗定理应用棣莫弗定理求一个复数的 n 次方再容易不过了，当然其基础，是要把复数以三角或指数形式表示例 5 计算(1) ；(2)2(cos -isin )6；(3)42)3(ie10)231(i解 (1)原式= =9 )2sin(co92ei(2)分析 2(cos -isin )还不是复数的三
10、角表示形式，为了应用6棣莫弗定理，首先要把它以三角形式表示解 2(cos -isin )=2cos(2- )-isin(2- ) 66=2(cos +isin )，61所以 2(cos -isin )6=26(cos +isin )61=26(cos11+isin11)=-64 (3)记 z= ，则231r=|z|= =1， =argz=+arctan( )=+ = ，42134所以 z=cos +isin ，3z10=(cos +isin )10=cos +isin =cos +isin =- -43403421i 23课内练习 41. 计算：(1)( )4； (2)(cos18+isin1
11、8)5； (3) ； (4)(2-2i)2ie 7)sin(co(8-3-6)2583. 复数的除法(1)代数形式当两个表示为代数形式的复数相除时，计算比较烦琐设 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, (z20)，计算 z=z1z2先把它们写成分式，即z= ，i212然后要对这个复数分式进行化简，使之成为代数形式为此只要设法把分母变为实数，这自然使我们想到复数与其共轭复数的乘积是实数的结论(8-3-3)，因此用分母的共轭复数同乘分子和分母得：z= 2112221 )()()(baiibai= , ( ) i212 02iba(8-3-7)如此繁复的公式，当然也不要死记，若分母是一个虚数的
12、话，只要知道“用分母的共轭复数同乘分子和分母”这个关键步骤就行了例 6 计算 (1-2 i)(3-4i)解 原式= = = = 432143(251ii(2)指数和三角形式把相除的两个复数化为三角或指数形式，除法就变得轻而易举了设 z1=r1 =r1(cos1+isin1)， z2=r2 =r2(cos2+isin2)，ieie则 z= )(1122iier(8-3-8)或 z= = cos(1-2)+isin(1-2) )sin(co221121rr(8-3-8)因此，两个复数相除，商的模等于模的商；商的幅角等于幅角的差比较(8-3-7)和(8-3-8)或(8-3-8)，后者比前者简便得多了
13、因此如果转化计算不太复杂的话，在复数的除法运算时，尽量把复数化为三角或指数形式例 7 计算：(1) ； (2) ； )3(962iie )12sin(co2)3sin(co26(3)2(- +i) 3)3(965iie解 (1)原式= = = = )62(i2i )32sincoi(2)2(cos -isin )=2cos(2- )+isin(2- ) 3=2(cos +isin )，5所以 原式= cos( - )+isin( - ) = (cos +isin213523512129) 129(3)(- +i)=2(- + i)=2(cos +isin )32165所以 原式=4(cos +
14、isin )(653965iie=(4 =)ie(65ii274)5(i= = (cos +isin ) 274i课内练习 51. 计算：(1) ； (2) (3+ i)(4-3i)；)3(2i2. 计算：(1) ； (2)32ie32i；)65sin(co)4sin(co4(3)2(1- i) 3i6523(ie小结复数的四则运算，当复数以代数形式表示式，总是应归结为实部与虚部的四则运算，所以复数的四则运算同样遵循实数四则运算所具有的结合律、交换律及分配律在具体运算过程中，加减法时，参加运算的复数应该用代数形式或三角形式，乘除法时则视方便而定；但若要求积或商的模和幅角，参加运算的复数应该用三
15、角形式或指数形式27例 8 设 z1=2(-1+i), z2=3(cos +isin ), z3= 求621iez=z1(z2+z3)解 z1=2 (cos +isin )，43z=z1z2+z1z3=6 cos( + )+isin( + )6436+ cos( - )+isin( - )22=6 (cos +isin )+ (cos +isin )211=6 (-cos +isin )+ (cos +isin )22=-5 cos +7 sin i21根据三角函数的倍角公式=cos =cos(2 )=2cos2 -1=1-2sin2 ,2361解得 cos = , sin = ，13所以 z
16、=- + i 234527课内练习 61. 设 z1= (1-i), z2=2(cos -isin ), z3= 求 z=z1(z2-z3)421ie4.复数应用例复数在数学、电学以及工程力学中有广泛的应用；计算机分形技术等的数学基础，也与复数密切相关限于知识基础，在此仅举两个数学方面的应用你能看到，一些比较复杂的数学问题，利用复数作为工具之后，能变得非常方便例 9 已知平面上三个相连的、边长为 a 的正方形证明从左下角出发的、至三个正方形的三条对角线，与底边所成角的和为 (见图 8-29)解 如图建立坐标系按题意要证yxZ1 Z2 Z3O图 8-91 2 3281+ 2+3= 2视平面为复平
17、面，向量 , ,1OZ2为复数3OZz1=a+ai, z2=2a+ai, z3=3a+ai所对应的复向量，则1+ 2+3=arg(z1z2z3)z1z2z3=(a+ai)(2a+ai)(3a+ai)=(a2+3a2i)(3a+ai)=(3a3-3a3)+10a3i=10a3i=10a3(cos +isin )，所以 1+ 2+3=arg(z1z2z3)= 例 10 设 u1, u2, v1, v2 是实数，求证： (1)()(221vu证明 设 z1=u1+iv1, z2=u2+iv2，如所周知，三角形两边之和不小于第三边，因此|z1+z2|z1|+|z2| (2)(见图 8-10图中 , ,
18、 是 z1, z2和 z=z1+z2所对应的复向量)1OZ2z1+z2=(u1+u2)+i(v1+v2)，所以 |z1+z2|= ，|z1|= , |z2|= ，12代入(2)即得(1) 课内练习 71. 设 u1,u2,u3,v1,v2,v3 是实数，求证： + 2)()(221vu23阅读材料(复数的开方)据棣莫弗定理(8-3-6)，立即可以得到复数的开方设图 8-10xyOZ1Z2Z=z1+z229z=r(cos+isin)，则= (cos +isin ) nrn(8-3-9)即复数的 n 次方根的模等于模的 n 次方根， n 次方根的幅角等于幅角的n 分之一例如 z= ，i因为 i=c
19、os +isin ，2所以 z= = =cos +isin = (1+i)2sinco42你可以试着应用(8-3-9)，计算 或 或 等等351)(i5(i课外习题A 组1. 计算，并作复向量运算图：(1)(4+3i)+(-2+3i)； (2)4-(3-2i)2. 计算：(1)(-2+3i)4i； (2)(i+1)(i-1)； (3) i233. 计算：(1)z=(-1-i)-2(4-3i)+(6+i)； (2)z=(a-b)+(a+b)i+(a+b)+(a-b)i；(3)z=(1-i)(2+i3)-(1-i)2 4. 计算：(1)(-2+3i)2(-2-3i)； (2)(4-3i)2(4+3
20、i)2； (3) ； (4) (1+i)26i135. 求 的模5(6. 计算：(1) ； (2) ii321)(5i7. 计算：(1)(cos +isin ) ；)4sin(co(2) 138si3(co28. 计算：(1)( ； (2)2(cos10+isin10)63)1i9. 计算：30(1) ；)125sin(co3)127sin(co2(2) si310. 求满足下列等式的实数 x 和 y：(1) ； (2)(x2-y)+i3-(3y+4)i=10iiiyx51)(B 组1. 计算下列各式：(1) ；)()(ibaiibai (2) ； (3) 22331( 12i2. 已知 z=
21、x+yi,(x,yR)，且 z2=5-12i，求 z3. 设 z 是复数，解下列方程：(1) ； (2) ii5)23( iz)1(23)(4. 已知 ，求| z|120)(34i5. 设 ，求 )(2zf )(if6. 求 的一元二次方程，使它的两根是 z i12,7. 设 nN，求 的值14)(ni8. 在复数集 C 内，求方程 x3+1=0 的所有根，并把它们以三角或指数形式表示C组1. 设 ,为一元二次方程 x2+x+1=0 的两根，求 2002+2002 的值2. 已知 = ，求证：i31(1)3=1； (2) 9)1()(5423. 设 ，求证：3,21 ii31(1) ； (2)
22、 , ；1212112(3) 024. 设 ，求使其成立的最小的正整数 nin5. 设 ，求证：iez(1) ；(2) cncos21izns216. 证明 zi= (i=1,2,.,n)是方程 xn+1=0 的 n 个根，并阐明其的几何意e义本章小结虚单位 称平方等于-1 的数为虚单位，记作 i，即 i2=-1纯虚数 称 bi 为纯虚数，其中 bR+虚 数 称 a+bi 为虚数，其中 aR, bR+概念复数集 复数集 C=a+bi| aR, bR=Ra+bi| aR, bR+代数表示 z=a+bi, aR, bR复平面在平面上建立了直角坐标系，且以横轴( x 轴) 表示实轴、纵轴( y 轴)
23、表示虚轴，即实数 a 以横轴上表示数 a 的点表示，纯虚数 bi 以纵轴上表示数 b的点表示，则称平面为复平面点与复数对应 z=a+bi 与复平面上的点 Z(a,b)之间一一对应几何表示复向量z=a+bi 与复平面上以原点 O 为始点、以 Z(a,b)为终点的向量 之间一一对应，称 为复数 z的向量表示形式z=0 与复平面上向量 0 对应模 z=a+bi，称对应复向量 的长| |为 z 的模，记作| z|每个复数对应唯一一个模幅角z=a+bi 为非零复数，称 x 轴正向到对应复向量的角为 z 的幅角；称在0,2) 范围内的幅角为OZ幅角的主值，记作 argz复数 0 的幅角不定每个非零复数 z
24、 对应唯一一个幅角主值 argz；非零复数 z 的任一幅角可以表示成argz+2k,(kZ)表示三角表示三角表示若复数 z 的模为 r，幅角为 ，则 z=r(cos +isin)32转换z=a+bi，则 r=|z|= , tan(argz)2ba=tan= (当 a0)或 argz = ；bz=r(cos+isin)，则 z=a+bi =rcos+(rsin)i，即 a=rcos, b=rsin 欧拉公式 ei=cos+isin指数表示指数表示 若复数 z 的模为 r，幅角为 ，则 z=rei相 等 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i z1=z2 a1=a2, b1=b2关系 共 轭 z
25、=a+bi, (bR+)，称 =a-bi 为 z 的共轭复数； =z代数形式 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z=z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)加法几何形式z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z=z1+z2，它们所对应的复向量依次为 , , ，则 按向量加法OZZ的平行四边形法则确定运算减法代数形式 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z=z1-z2=(a1-a2)+i(b1-b2)减法几何形式z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z=z1-z2，它们所对应的复向量依次为 , , ，则 按向量减法的ZZ平行四边形法则确定代数形式z1=a1+b1i
26、, z2=a2+b2i, z=z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i.z| |=|z|2三角形式z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，z=z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)指数形式 z1=r1 , z2=r2 , z=z1z2=r1r2 ie)(21ie乘法棣莫弗定理z=r , zn=rn( )n=rn ；ii或 r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)代数形式z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z= = = 2 iba211三角形式z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，z= = cos(1-2)+isin(1-2)2运算除法指数形式z1=r1 , z2=r2 , z= = iei2r)(21ie33应 用一元二次方程 ax2+bx+c=0, =b2-4ac，当 0，有两个相异实根 x1, 2= ；a当 =0，有一个重根 x1=x2= ；当 0，有两个共轭复根 x1, 2= i|
