1、椭圆的两个不变量在解题中的应用圆锥曲线中椭圆算是在考试中出现频率最高的圆锥曲线，而关于椭圆本身存在很多的不变量，下面我们来讨论椭圆的两个比较有趣的不变量，而且计算该不变量的方法以及不变量本身都在题目相当的实用。不变量：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点 ， ， 为坐标21xyab(0)aABO原点，且满足 ,则 为定值，并且原点到直线 的距离也是定0OAB22OB值证明：设 ，因为 ，不妨设向量 逆时针旋转 90 度到向量 这xAOB样的话我们有 ，设 ， ，则 ， 的坐标分别是2B1r2， ， ， 在椭圆上将坐标代入1(cos,in)Ar 2(cos),sin()rB方程可得 ， 即221i
2、ab22cosin()1abrr， 变形得2211cosinrr22sins1b， 两式相加得 （定值）221iabr22icoar2211abr原点到直线 的距离= ，根据 可知 ，AB12r221abr221r即 ，两边开方得 （定值）221rab221其实这两个不变量可以看做是一个不变量，下面我们就来看看这两个不变量在解题中的精彩应用题目一：（2010 陕西卷）如图，椭圆 的顶点为 2:1xyCab，焦点为 ，12,AB12,F1|7AB2BSA（）求椭圆 C 的方程；（）设 n 是过原点的直线， 是与 n 垂直相交于 F 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线，|l|=1，是否存在上述直
3、线 使 成立？若存在，求出直线 的方程；若不OP 1APB l存在，请说明理由解：（I）由 知 ， 1|7AB27ab由 知 a=2c， 122BFSA又 ， bc由解得 ，24,3ab故椭圆 C 的方程为21xy（II）假设这样的直线存在，根据| |=1， ，可得OP1AB，这样由前面的“不变量”可知道()()0OABA因此假设不成立2317aPb题目二：设椭圆方程为 ，在椭圆上有两个动点 ， ， 为坐标2xya(0)abABO原点，且满足 ，过 点作直线 的垂线，交 于点 ，求点OABABP的轨迹P解：这个题目我们当然可以设直线方程然后解交点，这样不免麻烦而且计算量大不划算，当我们掌握了上
4、述的两个不变量后，我们很容易知道 是2aOPb一个定长，很自然的点 的轨迹就是圆 P22axyb题目三：椭圆 的左，右焦点分别为 是椭圆上的一点，21xyab(0)ab12,FA,原点 到直线 的距离为 21AFO1AF13O（1） 证明; 2ab（2） 求 使下面命题成立：设圆 上任意点(0,)t22xyt处的切线交椭圆于 ， 两点则Mxy1Q212OQ解：（1）因为原点 到直线 的距离为 ，则 ,不妨设O1AF3sin3AF，因为 ，故 ， ,即 ，2AFmsin1m12am，很容易知 ，即c2b2ab（2）第二问看起来是相当的复杂，其实质就是题目二中点 的轨迹问题，说穿P了就是“不变量”
5、 ， 就是我们需要的结果2tab题目四：已知椭圆的中心在原点 ，焦点在 上，直线 与椭圆交于 ，Ox30yA两点， ， B2A2B（1） 求椭圆的方程；（2） 若 ， 是椭圆上两点满足 ，求 的最小值MN0MN解：（1）第一问基本方法联立直线与椭圆根据 ， 建立等式，可求2AB2O得椭圆的方程为 213xy（2）设 , 根据“不变量”我们可知 =1OMr2N2211abr43则 ，立马可知 ，这样可知2221114()()3r2的最小值为 N注：掌握这两个“不变量”就可以解决椭圆中这一类的问题，而且只要出现这类问题用这两个“不变量”是一定可以解决的，这样既避免了计算的复杂度，而且我们看问题站在了另外一个高度，这样足以提高我们的解题能力！希望广大考生好好总结合研究！署名：陈强 湖北大学 数学系学生 电话：15827276554
