1、第 1 页 （共 8 页）三角函数的测量应用 龙岩一中 陈伟彬 杨政启 指导老师：章扬一 三角函数测量应用三角函数测量应用问题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理、物理等实际问题.其解答流程大致是：审读题意设角建立三角式进行三角变换解决实际问题.高考或数学竞赛中这方面已考过的题比较少，但是由于这类问题具有一定的实际意义二 三角函数测量应用实例某人身高 1.8 米，在黄浦江边测得对岸东方明珠塔尖的仰角 ，测5.7得东方明珠塔在黄浦江中倒影的塔尖的俯角 ，如图 1，求东方明珠塔6.75的高 h分析：根据实物与倒影的对称性，通过两直角三角形中的边角关系求塔高解：设黄浦江宽为 米，得 ， 两式相除得，
2、aah8.1tnah8.tn，即 ，因8.1tanh.1si.tta， ，代入得，576（米） ，即东方明珠塔的高为4908.1.0sinh 1.8Gh图 1第 2 页 （共 8 页）490 米。 思考：通过以上关于高度测量方面的实例，我们从中受到启发并且利用上述实例中运用的解题思路来解决其他的一些问题，散发自己的思维，学会学以致用。探究一：我校附近有一水塔，为探测其高度，我组成员利用三角函数来测量该水塔约有多高。 （不计圆台顶部）(三角板、皮尺)探究过程1.首先，站在水塔下用角度为 60的三角尺来测量，将三角尺水平放在眼前，人的视线沿着三角尺的斜边看出去，接着人慢慢往外移动，直到人的视线恰好
3、能看到该水塔的最高点时停下，测得人到水塔的水平距离（用皮尺进行测量）,并记录数据。mACBh10tan2.同理，用 45的三角尺测得人与水塔的水平距离约为 18m。用 30的三角尺测得人与水塔的水平距离约为 26m。整理数据绘制表格第 3 页 （共 8 页）角度 30 45 60简图h30C BAh45C BAh60C BA水平距离 26m 18m 10mH 26 /3m318m 10 m3备注：(本人身高 1.7m)1. 取三者平均值约为 18m，加上本人身高 1.7m，该水塔的高度为 19.7m。探究二：对第一教学楼边的一颗树进行探测其高度。2.问题引申：上述方法中能够测得水平的距离，若假
4、设人只能在楼上，水平距离无法测量，则我们还能用什么方法测量？ 首先，在带孔的量角器中穿过一条细线，细线下挂一重物，制成简单的量角仪。21C BAD第 4 页 （共 8 页） 人站在四楼 D 点处，量角仪水平放在栏杆上，人的视线沿着量角器的直边看出去，转动量角器，当视线看到树的最低点时，记下俯角 约2为 60。 同理，当视线看到树的最高点时，记下仰角 约1为 40。 又测得人在四楼时的垂直高度 CD 为 11.7m(含栏杆的高度 1.2m)。由三角函数公式计算得 mAB4.17.60cot4tan7.1该树的高度约为 17.4m。归纳：如图，若要我们测 AB 物体的高度，我们只需测量 CD. 1
5、 . 2 .根据公式： )1cot(tan21CDAB这样一来我们就可以方便地解决这类问题。3.问题引申：若在引申的问题中加个“人离地面的高度无法测得”那么我们还能怎样测量呢？首先，人在四楼测得仰角 约为 39.2，俯角1约为 58.62在三楼测得俯角 约为 473又测得三楼与四楼的垂直高度 DE 为 3.5m。根据三角函数公式化简得：21C BAD321C BAED第 5 页 （共 8 页）)tan(tan1)tan(ttta( t)1cot(1cot321 132322323DEDEEAB代入数据解得：AB17.7m该树的高度为：17.7m 归纳：如图：若我们测 AB 物体的高度， （ 无
6、法直接测得）我们只需测CDB,量 这三个量。DE,321根据公式：)tan(tan1)tan(ttta( t)1cot(1cot321 132322323DEEAB这样我们只要代入公式就可以解决问题了。4.思考: 问题引申中是把树看成是垂直，若把树看成是倾斜的，我们还可以怎样进行测量？321C BAED第 6 页 （共 8 页）5.研究性学习心得：在这次研究性学习中，我们学到了很多东西，通过这次活动我理解到将课堂上所学到的理论知识与实际联系起来的重要性，运用所学到的知识来思考问题.分析问题.解决问题，使我们在解决实际问题的时候，又进一步加深对课本知识的理解和积累，使我们懂得了更多，培养我们对学习的热情，看问题也比较全面了，不会像以前那样一根筋地思考问题，在碰到问题时，我们会想得更多，尽量从各个方面来思考，尽量使我们解决问题的方法更加完美，思路更加清晰，这样就会使我们的研究性学习更加完美，真正达到研究性学习的目的。6.教师评语：
