1、正六边形在向量中的应用315504 浙江奉化江口中学 毛显勇内容摘要：以正六边形为载体，理解向量的概念、运算等，以及在教科书与高考中的应用。关键词：正六边形 向量正六边形是各内角都相等（都为 1200） ，且六边都相等、对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。可分解成六个等边三角形，有共同的顶点，即正六边形的中心，且过中心的对角线是它外接圆的直径，长度是边长的 2 倍。等边三角形的高是正六边形内接圆的半径。由于正六边形有这些特点与性质，于是在生活、学习中被大量用到，如蜜蜂营造的蜂房是正六边形的、正六边形是其中一种能够密铺平面的正多边形等等。下面举例在向量中的应用。1 书上的
2、应用例 1（普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 4 P76例 2） 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中点，分别写出图中与 、 、 相等的向量。OABC解： = = ；D= = ；E= = = 。OCABF并提出思考：向量 与 相等吗？向量 与 相等吗？OBAF答：向量 与 相等；向量 与 不相等，虽然长度相等，但方向相反。E教师还可以引申：（1）与 相等的向量；（2）与 模相等的向量；（3）与 平行的向量。AAB点评 本例题通过正六边形增加向量的直观感受，理解、巩固相等向量、平行（或共线）向量和模的概念。例 2（P 118复习参考题 A 组 4） 已知六边形 ABCDEF 为正六
3、边形，且 = ， = ，分别用 ，ACaBDba表示 、 、 、 、 、 、 、 。bDEBCEFDABE解析：如图， = + = = ，a= + =2 + = ， Ab = ， = 。BC13a213AEDBC O FDBAEF C则 = = ； =2 = ；DEBA213abADBC23ab= = ； = + = = ；FCFOA123ab= = ； = = ； = + = 。ECD说明：本解法用到了方程的思想，先解出向量 、 ，再来求其B它；其实本题还可以利用平几知识：设 BD 交 AC 于点 M，因为，可得 BD=3BM，AC= AM，1/2BCAD32所以 = = = = ，从EMB
4、1ACD213ab而也可以得到其它的向量。点评 本练习利用正六边形的性质，理解、巩固和掌握相等向量、平行向量和相反向量的概念与向量的加减和数乘运算。练习 已知正六边形 ，给出下列表达式： + + ；2 + ；ABCEFBCEBCD+ ；2 。其中与 等价的有（ ）FEDA1 个 B2 个 C3 个 D4 个选 D。2 在高考中的应用例 3（08 江西文 16） 如图，正六边形 中，有下列四个命题：ABEFA B2F2C D ()()D其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 解析： , 对2AFCABC取 的中点 ,则 , 对DO2F设 , 则 ,而 , 错1B3cos36 21cos3D
5、AC又 , 对()()2()()AFEAEEFD真命题的代号是 ,BD点评 本题利用正六边形为载体，考查了相等向量、平行向量的概念，向量的加法、数乘和数量积运算，考察了学生对向量概念、运算是否理解透彻、准确，特别对数量积运算能否灵活应用，而不是拘泥于MDBAEF CEAFBDC形式。例 4（06 四川理 7 文 4） 如图，已知正六边形 ，下列向量123456P的数量积中最大的是( )（A） （B） 123P124（C） （D）56P解：如图，已知正六边形 ，设边长 ，则 = .1234512|a213P6, = ， = ， ，13|Pa1233a 21414|a= ， =0， 0， 数量积中最大的是 ，124125P126123,P选 A.点评 本题利用正六边形中的边长、角度间的关系，考查对数量积的理解与运用。参考文献：普通高中课程标准实验教科书 数学必修 4 人民教育出版社 2007.6
