1、第 2 讲 导数的应用随堂演练巩固1.f(x)=x 3+1 的单调减区间是 A.R B.C.(0,+) D.(,0)答案：A2.下图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象，则 x12+x22等于A. B.98 910C. D.16 28答案：C解析：由图象可得 f(x)=x(x+1)(x2)=x 3x 22x ,又x 1、x 2是 f(x)=3x 2 2x2=0 的两根，x 1+x2= ,x1x2= ,故33x12+x22=(x1+x2)22x 1x2=( )2+2 = .39163.已知 f(x)=2x36x 2+m(m 为常数)在2，2上有最大值 3，那么此函数在2，2上的最
2、小值是 A.37 B.29C.5 D.以上都不对答案：A解析：f(x )=6x212x=6 x(x2), f(x)在(2， 0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，当 x=0 时，f(x)=m 最大.m=3,从而 f(2)=37,f(2)=5,最小值为37.4.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间1，2上是减函数，那么 b+c A.有最大值 15B.有最大值 2C.有最小值 D.有最小值 15答案：B解析：由 f(x)在1，2上是减函数，知 f(x)=3x2+2bx+c 0,x1,2, 则15+2b+2c0 b+c .041)(3bf 2155.已知函数 f(x)=alnx+x
3、在区间2，3上单调递增，则实数 a 的取值范围是_.答案：2,+)解析：f( x)=alnx+x,f(x)= +1.又f(x) 在2，3上单调递增， +10 在 x2,3上恒成立.a(x) max=2.a2,+).课后作业夯基1.函数 f(x)=1+xsinx 在(0 ，2) 上是 A.增函数B.减函数C.在(0 ，) 上增，在 (，2) 上减D.在(0 ，) 上减，在 (，2) 上增答案：A解析：f( x)=1cosx0,f( x)在(0，2)上递增，故选 A.2.若函数 y=a(x3x )在区间( ， )上为减函数，则 a 的取值范围是 3A.a0B.11D.00.3.若 a3，则方程 x
4、3ax 2+1=0 在(0，2)上恰有A.0 个根B.1 个根C.2 个根D.3 个根答案：B解析：令 f(x)=x3ax 2+1,则 f( x)=3x22ax =3x(x a).由 f( x)=0，得 x=0 或 x= a(a3, a2),332当 0m，则实数 m的取值范围是_.答案：(, )7解析：若对于 x1,2 ,都有 f(x)m，则只需求出 f(x)在1，2上的最小值.f(x)=3x 2x2,令 f(x)=0,得 x1= ,x2=1.3当 x1, )时，f( x)0;当 x( ，1)时， f(x)0.因此，当 x= 时，f(x)有极大值 f( )= ;32715当 x=1 时，f(
5、x)有极小值 f(1)= .7又 f(1)= ,f(2)=7,因此，f(x )在1，2上的最小值是 ，即 m 的取值21 27范围是 m0, 则 x3.当 x=3 cm 时,S 有最小值.长为 6 cm，宽为 3 cm，高为 4 cm 时，可使表面积最小.10.(2011 届北京海淀检测)设函数 f(x)=x33ax +b(a0).(1)若曲线 y=f(x)在点(2，f (2)处与直线 y=8 相切，求 a,b 的值；(2)求函数 f(x)的单调性与极值点.解：(1)f(x)=3x 23a,因为曲线 y=f(x)在点(2 ，f(2) 处与直线 y=8 相切，所以 即,80f.6)4(3ba解得
6、 a=4,b=24.(2)f(x)=3( x2a)(a0).当 a0，函数 f(x)在(,+)上单调递增；此时函数 f(x)没有极值点.当 a0 时，由 f(x )=0 得 x= .a当 x(,KF(aKF)时，f(x )0，函数 f(x)单调递增；当 x( , )时，f (x)0, 函数 f(x)单调递增.此时 x= 是 f(x)的极大值点，x= 是 f(x)的极小值点.aa11.设 a0，函数 f(x)= ,b 为常数.12(1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若函数 f(x)的极大值为 1，极小值为1，试求 a 的值.解：(1)证明： f(x )= ,2)(ax令 f( x)=0，得 ax2+2bxa=0, =4b2+4a20,方程有两个不相等的实根，记为 x1,x2(x10;当 x=0 时，f(x )=0.所以当 x=a1+ 时，f(x)取得最小值.(2)当 a0 时， f(x)在1，1上为单调函数的充要条件是 x21,即a1+ 1.解得 a .2143综上，f( x)在1，1上为单调函数的充分必要条件为 a ,即 a 的取值43范围是 ，+).43
