1、用傅里叶变换解偏微分方程 一、傅里叶变换 二、偏微分方程 三、方程的求解 一、傅里叶变换 1.傅里叶级数 2.积分变换 3.傅里叶变换 4.离散傅里叶变换 5.快速傅里叶变换( FFT) 傅里叶级数 0 1( ) c o s ( ) s i n ( )kkkf x a a k x b k x 01 ()2a f x dx 1 ( ) c os ( )na f x nx dx 1 ( ) si n( )nb f x nx dx 傅里叶级数形式 an和 bn称为 f(x)的傅里叶系数 傅里叶级数 一般意义下: 假设 f (x) 是定义在 (-,+) 内的实函数,它在任一有限区间 l,+l内是分段光
2、滑的 ,则 f (x) 可以展开为傅里叶级数: 01( ) c o s ( ) s in ( )2 nnna n x n xf x a bll 1 ( ) c os( )ln lnxa f x dxll 1 ( ) sin( )ln lnxb f x dxll 积分变换 对于一般的积分变换,我们有如下定义:令 I 为一实数集,K(s,w)是定义在 I a,b上的函数,如果函数 f (w) 满足: (1)在 a,b上有定义; (2)对每个 s I, K(s,w)f(w)作为 w a,b的函数是可积的。 则带有参变量的积分 就定义了一个“从 f (w) 到 F(s) ”的变换。这种通过积分运算把一
3、个函数变为另一个函数的方法称为积分变换。 ( ) ( , ) ( )abF s K s w f w d w 积分变换 每给定一个函数 K(s, w) 就确定了一个积分变换,因此积分变换是由函数 K(s, w) 生成的。通常称 K(s, w) 为(积分变换的)核函数,称参与变换的 f (w) 为初始函数或者原象函数,把变换成的 F(s) 称为变换函数或者象函数。积分变换是作用是把初始函数变成另一类比较容易求解的象函数,因此用积分变换求解偏微分方程的方法与我们 采用对数来计算数的乘、除、乘方和开方的技巧是完全类似的。 傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) i w xF f x F w f x e d
4、 x 1 1 ( ) ( ) ( )2iwxF F w f x F w e dx 傅里叶变换 傅里叶逆变换 由傅里叶级数推导出傅里叶积分,再推导出傅里叶变换,过程如下 傅里叶变换 c o s( ) c o s c o s sin sina b a b a b 1 ( ) sin( )ln lnxb f x dxll 01( ) c o s ( ) s in ( )2 nnna n x n xf x a bll 1 ( ) c os( )ln lnxa f x dxll 将上两式代入前式,并利用三角恒等式: 可以得到 11 1 ( )( ) ( ) ( ) c o s2llnn x wf x f
5、 w d w f w d wl l l 傅里叶变换 11 ( )( ) l im ( ) c oslll nn x wf x f w dwll 12 / , 2 / , . . . . . . , / ,nl l n l 1 /nn l 现在假定 f (x) 在 (,+) 内绝对可积,那么当 l + 时,就有: l0 11( ) l im ( ) c os ( )nlnnlnf x f w x w dw 01 ( ) c os ( )d f w x w dw 上述积分的极限为: 令 以及 当 时 , 我们把上述积分表达式称之为傅里叶积分。 傅里叶变换 傅里叶积分的两种形式: 一种是 另一种是
6、0( ) ( ) c o s ( ) s i n f x A x B x d 1( ) ( ) c osA f w wdw 1( ) ( ) sinB f w wd w 1( ) ( ) c o s ( ) sin ( ) 2f x d f w x w i x w d w ()1 ()2i x wd f w e dw 傅里叶变换 ( ) ( ) iwF f w e d w 引进新函数: 1( ) ( )2ixf x F e d 便可以得出: 傅里叶变换 1 2 1 2( ) ( ) ( )F a f b f a F f b F f 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x f
7、 x t f t d t 1 2 1 2( * ) ( ) ( )F f f F f F f(1)线性性质。假定 a 、 b为任意两个实数 ,函数 f1(x) 、 f 2 (x) 满足傅里叶变换条件,则有: (2)卷积性质。假定函数 f1(x) 、 f 2 (x) 满足傅里叶变换条件,则称函数 称为 f1(x) 和 f 2 (x) 卷积 如果 f1(x) 、 f 2 (x) 和 f1 * f 2 均满足傅里叶变换条件,那么就有 : 11 2 1 2* ( ) ( ) f f F F f F f f1 2 1 21( ) ( ) * ( )2F f f F f F f傅里叶变换 (3)微商性质。
8、如果 和 均满足傅里叶变换条件,而且当 |x|+ 时 f(x)0 ,那么: 进一步,如果 满足傅里叶变换条件,就有: ( ) ( ) F f x iwF f x () ( ) ( ) ( ) mmF f x i w F f x()fx()fx()( ) , ( ) , . . . . . . , ( )mf x f x f x 二、偏微分方程 1.什么是偏微分方程 2.定解条件与定解问题 3.二阶线性偏微分 偏微分方程的概念 偏微分方程 是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。 偏微分方程的一般形式: 偏微分方程的分类 如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的,且它们的系
9、数都是仅依赖于自变量的已知函数,则这样的偏微分方程称为 线性偏微分方程 。 对于一个非线性偏微分方程,如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的,则称它是 拟线性偏微分方程 。 偏微分方程的例子 定解条件 常见的定解条件,可分为 初始条件 与 边界条件 。 定解条件 定解条件 定解条件 定解问题 一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述,称为 定解问题 。 二阶线性偏微分 表达式为: 其中 A,B,C为参数并且取决于 x,y。如果在 xy平面上有 ,该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为: 该二阶偏微分方程可分类为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程,起分类方式为: :椭圆
10、方程; :抛物线方程; :双曲线方程。 2 . 0x x x y y yA u B u Cu 2 22 . . . 0A x B x y C y 2 0B AC2 0B AC2 0B AC2 2 2 0A B C 三、傅里叶变换解偏微分 1.热传导问题 2.波动问题 3.基本步骤 热传导问题 一维的齐次热传导方程柯西问题 222, , 0( 1 )( , 0) ( ) , ( 2)uua x ttxu x x x 热传导问题 (一)将 t视为参数,对( 1)( 2)两式两端进行对于 x的傅里叶变换: 记 ,则有 2 2( , )( , ) 0 ( 3 )( , 0 ) ( ) ( 4 )d u
11、 w ta w u w tdtu w w ( , ) ( , ) , ( ) ( )F u x t u w t F x w热传导问题 2222( , ) ( ) ( , ) ( , )d u x tF iw F u x t w u w tdx ( , ) ( , ) ( , )d u x t d F u x t d u w t d uFd t d t d t d t ( , 0) ( , 0)F u x u w ( ) ( )F x w (微分性质) 热传导问题 (二)解( 3)( 4)式合并后带有参数 w的的常微 分方程的初值问题,得 22( , ) ( ) . . . . . . ( 5 )w a tu w t w e 热传导问题 (三)利用对 w的傅里叶逆变换,来求原函数 ( 5)式的左端: 右端: 1 ( , ) ( , )F u w t u w t 221 ( ) a w tF e w热传导问题 考虑( 5)的右端: 由于 故只考虑 ,而 1 ( ) ( )F w x 221a w tFe2 2 2 222222214121( c os s i n )21c os212a w t a w t iw xa w ta w txatF e e e dwe w x i w x dwe w x dweat