1、机械工程有限元法基础,周培,机电工程系,有限元法现已成为计算机数值模拟中的一种主要手段. 现广泛应用于机械、电子、航空航天、汽车、船舶、建筑以及石油化工等领域.,拓展到了,电磁学,流体力学,传热学,声学等领域,从简单的静力分析,发展到了,动态分析,非线性分析,多物理场耦合分析等复杂问题的计算,它从最初的固体力学领域,有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法.,船体在弯扭联合作用下的结构“应力-变形”有限元分析,风洞 强度与振动,增压风洞的第一阶模态 f=10.36Hz,电机谐响应分析,电机谐响应分析,第一节 有限元法的产生与基本思想,边界条件,数学问题,解析法 数值法,差分法 变分
2、法 有限元法,微分方程的边值问题,差分法,基本思想:用均匀的网格离散求解域,用离散点的差分代替微分,从而将连续的微分方程和边界条件转化为网格节点处的差分方程,并用差分方程的解作为边值问题的近似解.,边值问题为,(1-3),对每个内节点 xi ,若用差分近似代替微分,有,同样,将(1-4)(1-5)代入(1-3),得,即,再由(1-3)中的边界条件,有,线性方程组,变分法,变分原理:微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值问题的解.,边值问题的求解,泛函极值的求解,泛函:给定满足一定条件的函数集合A:y(x),和实数集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V之间存在一个对应关系,就是
3、A中的每个函数y(x),R中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,记为V=V(y(x)。,A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。,里兹法:,选择一个定义于整个求解域并满足边界条件的试探函数,将试探函数代入泛函表达式,建立线性方程,求解方程计算系数,式中， 为待定系数。,设有边值问题,(1-8),通过数学推导，求得其泛函为,现用一试探函数近似原边值问题的解，试探函数设为以下多项式形式,(1-9),(1-10),因此有,试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。,将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数的泛函表达式，
4、简记为,根据多元函数有极值的必要条件，有,(1-11),将求出的系数代入(1-10)，就可得到试探函数的表达式，即原边值问题的近似解。,有限元法,有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值方法,它吸取了差分法对求解域进行离散处理的启示,又继承了里兹法选择试探函数的合理方法.,基本思想:离散,分片插值,单元（网格）,节点,单元间的互相作用只能通过节点传递,1.离散:,2.分片插值,变分法一般用于求解函数较规则和边界条件较简单的问题.,分片插值的思想:,针对每一个单元选择试探函数(插值函数),积分计算在单元内完成.,一维函数的整体插值与分片插值,第二节 有限元法的应用,有限元法的优越性,
5、有限元法的应用范围,线性静力分析,动态分析,热分析,流场分析,电磁场计算,非线性分析,过程仿真,在产品开发中的应用:CAD/CAE/CAM 有限元法是CAE的主要方法,第二章 有限元法的基本原理,线性弹性平面问题,第一节 弹性力学相关知识,一、弹性力学中的物理量:,载荷,应力,应变,位移,1.载荷,载荷是外界作用在弹性体上的力,又称外力.它包括体力,面力和集中力三种形式.,体力矩阵,面力矩阵,集中力矩阵,2.应力,当弹性体受到载荷作用,其内部将产生内力。弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上的内力称为应力,它反映了内力在截面上的分布密度。,微分体的应力分量,切应力互等定律,应力矩阵,3.应变,
6、微分体的应变分量,正应变 伸长为正,缩短为负,切应变 直角减小为正,增大为负,注意!,应变的矩阵表示：,4.位移,弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变化,这种位置的改变称为位移,用d表示.,位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w,称为位移分量. 沿坐标轴正方向的位移分量为正,反之为负.,位移的矩阵表示,二、弹性力学的基本方程,弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力,应变,位移以及外力之间的关系,它包括平衡方程,几何方程和物理方程三类.,弹性力学中的基本假设：1、连续性假设：物体是连续的2、均匀性假设：物体由同一材料组成3、各向同性假设：物体各个方向的性能相同4、物体是完全弹性
7、的 （符合上述4个条件的称为理想弹性体）5、位移和形变是微小的。,1.平衡方程,弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程,平衡方程是弹性体内部必须满足的条件,2.几何方程,几何方程描述几何量应变和位移之间的关系,其矩阵形式为,3.物理方程,物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这种关系与材料的物理特性有关.,物理方程有六个:,E:弹性模量 G:切变弹性模量,:泊松比,矩阵形式,称为弹性矩阵,由弹性模量和泊松比确定,与坐标无关,三类基本方程中包括15个方程.,含有6个应力分量,6个应变分量,3个位移分量,(共15个未知量),三种解题方法:位
8、移法,应力法,混合法,目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三个位移分量作为基本未知量的.,(平衡方程3个,几何方程6个,物理方程6个),三、虚位移原理,1.虚功与虚应变能,弹性体在外力作用下要发生变形,外力对弹性体做功。若不考虑变形中的热量损失,弹性体的动能及外界阻尼,则外力功将全部转换为储存于弹性体内的位能-应变能。当外力去掉后,应变能将使弹性体恢复原状。,应变能,厚度为1的微分体,在水平方向拉力F的作用下发生了位移,拉力表达式:,拉力做的功:,将F代入:,储存在微分体内的应变能:,单位体积内的应变能:,应变能:,如果微分体上还有 和 的作用,弹性体单位体积应变能:,是指在约束条件允许的范
9、围内弹性体可能发生的任意微小的位移。,弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功,大小为,虚功,虚位移,外力,弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。,它的发生与时间无关,与弹性体所受的外载无关。,它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。,虚位移,在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应变能,若用 表示虚应变能,则,单位体积内的虚应变能为,2.虚位移原理,虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.,虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的,那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等于弹性体的虚应变能,即,一般表达式:,对于虚
10、位移原理,在虚位移发生过程中,原有的外力,应力,温度及速度应保持不变,也就是说,不能有热能或动能的改变。,外力的形式有集中力 ,体力 和表面力 ,对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为,四、平面问题的定义,平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。,1.平面应力问题,当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。,(1)几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构形状成薄板形。 (2)载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布,而板平面不受任何外力作用。,参照下图,判断是否是平面应力问题。,一般地,当结构厚度 时,结构可作为平面应力问题.,平面应力问题的应力特点:,根据物理方程，应变特点:,这
11、类结构的应力分量和应变分量分别为:,这时,几何方程变为:,物理方程变为:,平面应力问题的弹性矩阵,2.平面应变问题,凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题：,(1)几何条件,沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸,即结构呈等截面的细长形。,(2)载荷条件,载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且沿厚度均匀分布,两个端面不受力。,参照下图,判断是否是平面应变问题。,平面应变问题的应变特点:,应力特点:,平面应变问题的应力分量为,应变分量为,两者关系为,式中,称为平面应变问题的弹性矩阵.,平面应力问题弹性矩阵,平面应变问题弹性矩阵,综上所述，平面问题（包括平面应力问题和平面应变问题
12、）只有三个应力分量 ，三个应变分量 ，和两个位移分量 这些分量都是x,y的函数，而与坐标z无关。,因此平面问题的网格划分可在一个反映横截面形状的平面图形上进行。,第二节 平面问题有限元法,(平面应力问题的静力分析),一、结构离散,离散就是将一个连续的弹性体(实际上是描述弹性体形状和尺寸的几何区域,称为求解域)分割为一定形状和数量的单元,从而使从而使连续体转换为由有限个单元组成的组合体。 单元与单元之间仅通过节点连接,除此之外再无其他连接。也就是说一个单元上的力只能通过节点传递到相邻单元。,离散（划分网格）:,网格: 三角形 矩形 任意四边形,选择节点位移作为基本未知量。在平面问题中，每个节点有
13、两个位移分量。,节点所具有的位移分量的数量称为节点自由度(DOF)，一个单元所有节点的自由度的总和称为单元自由度。,节点和单元需要编号,二、单元分析,单元分析的任务是形成单元刚度矩阵,建立单元特性方程。,三角形三节点单元,1.位移函数,按照有限元分片插值思想,首先假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布,该函数称为位移函数,又称位移模式。 根据数学理论,定义于某一闭域内的函数总可以用一个多项式来逼近,所以位移函数常常取为多项式,一般形式:,项数的多少应根据单元自由度数确定。 三节点三角形单元有6个自由度,可以确定6个待定系数,所以取上式中的前三项。因此这种三角形单元位移函数为:,上式是线性
14、多项式,称为线性位移函数,相应的单元称为线性单元。如果单元节点越多,就可能构造阶次越高的位移函数,计算精度也就越高。,由于节点i , j , m在单元上,它们的位移自然也就满足位移函数式。,设三个节点的位移分别为,将节点位移和节点坐标代入位移函数得,6个方程,可以求出6个待定系数.,经过数学推导可得：,A为三角形单元的面积,为方便书写，引入形函数,称为形函数,形函数是坐标的函数,与节点坐标有关,而与节点位移无关。,因此u,v可以写为,以矩阵表示:,形函数矩阵,单元节点位移阵列,形函数,节点位移,单元内任意一点的位移,当节点 在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时,单元内的位移分布形状。
15、,形函数的性质,当,其他节点的位移为零,的物理意义:,形函数的形状,形函数是单元内各点坐标的函数,并不是节点位移的函数,其表达式与单元的位移函数有关,因此不同类型单元的形函数是不同的。,形函数具有以下三条性质:,(1) 在 节点上的值为1,而在其他节点处为零,即,同理,(3) 单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关,而与其他节点的位置无关 。例如在边 上,有,(2) 在单元的任一处,三个形函数之和等于1,即,位移函数应满足以下4个条件:,包括常数项 单元内各点的位移一般包括两部分:一部分由单元自身变形引起;另一部分是由于其他单元变形时通过节点传递过来的,这部分位移与单元本身变形无关,它使
16、单元发生整体移动,各点移动大小相等,故称为刚体位移。由于刚体位移与点的位置无关,因此在位移函数中应该有常数项来反映这种位移。,必要条件(完备性条件) 完备单元,2. 包括一次项 单元内各点的应变也分为两部分:一部分是与点的位置有关的变量应变,一部分是与坐标位置无关的常应变。对于小变形问题,当单元尺寸缩小时,单元各点应变趋于相等,这时常应变为主要部分。为了反映这种应变状态,位移函数中就应该包括一次项,因为一次项求导后为常数。,充分条件(协调条件)协调单元,协调单元的有限元解一定是收敛的,但非协调单元的解不一定不收敛。,3. 尽量保证位移的连续性 弹性体实际变形时各点位移是连续的,即弹性体内部不会
17、出现材料的裂缝和重叠,因此离散后的组合体位移也应该连续。对于多项式位移函数,它在单元内部的连续性是自然满足的,关键是要求跨单元之间也应连续即变形后相邻单元之间既不互相脱离,又不互相嵌入。,满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的收敛性。,4. 几何各向同性 单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关,即位移函数中坐标x,y应该是能够互换的。为满足这种几何各向同性要求,位移多项式应按下图所示的巴斯卡三角形来选择.,巴斯卡三角形,2.单元应变和应力,知道了单位位移函数,就可根据几何方程和物理方程求得单元应变和应力。,将位移函数,代入几何方程,得,其中,称为应变矩阵,其中每个子矩阵为,应力应变的关
18、系为,应变矩阵B的每个非零元素均是由节点坐标决定的常数,由于节点坐标为定值,所以矩阵B为常数矩阵,因此三节点三角形单元为常应变单元。这是由于单元线性位移函数所引起的。,式中,称为应力矩阵.其中每个矩阵,由于矩阵D、 B均为常数矩阵,所以应力矩阵S也是常数矩阵,故三节点三角形单元也是常应力单元。由于相邻单元的应力是不同的常数,故单元边界的应力值将发生突变。,3.单元刚度矩阵,单元分析的目的是建立单元的刚度矩阵。建立单元刚度矩阵的方法有直接法、变分法等,下面利用变分原理中的虚位移原理来建立。,设作用在单元节点上的力为Fi,Fj,Fm,则单元节点力列阵为,若单元在节点处发生虚位移,相应的虚应变为,则
19、节点力在虚位移上所做的虚功为,单元内存储的应变能为,由于,所以,且节点位移仅与节点坐标有关,因此,根据虚位移原理有,考虑到虚位移的任意性,两边 同时消去,则有,由于三角形单元为常应变和常应力单元,且厚度t也为常数,设单元面积为A,则上式变为,简写为,式中,单元特性方程,单元刚度矩阵,当矩阵D,B的表达式代入到单元刚度矩阵,可得单元刚度矩阵的分块表达形式为,从上式可以看出,单元刚阵每个分块阵的物理意义为:当在一个节点处产生单位位移而其他节点位移为零时,在该节点上需要的力的大小。例如:kij表示在j节点产生单位位移、其他节点位移为零时,需要在i节点上施加的力。因此单元刚阵中每一个元素的物理意义是:
20、当节点在某一方向(x或y)发生单位位移而其他方向位移和其他节点位移为零时,在一个节点处某一方向上需要施加的节点力。,(2-55),以式(2-55)的第一行为例,当Fi为零时,单元仍可以作刚体运动,因此有,单元刚阵具有以下两个特性:,(1) 对称性,上述特性是由弹性力学中功的互等定理决定的.,(2) 奇异性,则,由于qi是任意数,所以只有,为奇异阵的物理意义是:在无约束的条件下,单元可以作刚体运动。,三、总刚集成,总刚集成的任务:将所有单元的刚度矩阵集成为整个结构的刚度矩阵,称为总刚度矩阵,简称总刚.,1.总刚集成原理,单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程.如i节点的平衡方程为,上式就是
21、式(2-55)中的第一式。它表明单元在任一节点发生位移时,都将在节点i处产生节点力(实际上是节点力引起位移),且力的大小等于各个节点位移所引起节点力的叠加。,(2-56),在整体结构中,一个节点往往为几个单元所共有,根据线性叠加原理,该节点上的节点力应为所有单元引起的节点力之和。结构平衡时,每个节点也是平衡的。设作用在节点i上的载荷为Ri,则节点i处的平衡方程为,将式(2-55)代入上式,得,对结构中的所有节点,则有,式中,n为节点总数。将上式记为,整个结构的平衡方程 称为有限元方程 (刚度方程),式中, 是所有节点的位移分量组成的列阵,称为节点位移列阵; 是所有作用在节点上的载荷组成的列阵,
22、称为节点载荷列阵;K就是要求的总刚矩阵,表达式为,中每个元素kij的物理意义和单刚元素相同,即在节点j发生单位位移而其他节点位移为零时,在节点i处产生的节点力。,式(2-61)中第一个求和表示按节点编号顺序依次形成K中的某一行。对于节点1(n=1),它只通过单元与节点2,3有关,而与节点4,5,6不直接相关,因此有,借助模型说明总刚形成过程:,(2-61),其中上标表示单元编号。,对于节点2,它与节点6不直接相关,而与其他节点均相关.其中和节点3是通过单元,相关的即当节点3产生位移时,它将通过单元在节点2处产生节点力,也会通过单元在节点2处产生节点力,因此 简记为 ,这就是式(2-61)中的第
23、二个求和,即对围绕一个节点的所有单元求和.,同理,其他总刚元素分别为,按上述原理依次形成对应节点3,4,5,6的刚阵元素,就可以得到下面的总刚矩阵,2.总刚集成过程,根据上面介绍的总刚形成原理,总刚矩阵可按下面两步进行集成.,(1)扩阶过程 将各个单元刚阵按节点总数n扩大为n*n阶方块阵,并将单刚元素送入该单元节点对应的节点总码的行和列,其余元素置为零.如单元, 的刚阵扩阶后变为,(2)叠加过程 扩阶后的单元刚阵具有相同的阶数和节点排列顺序,将各个单元刚阵按式,(ne为单元总数),进行叠加,即相同位置的元素相加,就可得到总刚矩阵。,3.总刚矩阵的特点,总刚矩阵K具有以下特点.,(1)对称性 总
24、刚矩阵是由单元刚阵叠加形成的,所以它与单元刚阵一样也是对称阵,即 ,利用这一特性,计算时就只需要存储矩阵主对角线一侧的元素,从而可以节省近一半的存储容量。,(2)稀疏性 从前面的总刚矩阵的形成原理可知,对应于某一节点的矩阵元素中,与该节点无关的节点所对应的元素为零。而大型结构离散后,单元和节点数往往很多,而某一节点仅与周围少数单元和节点相关,因此K中存在大量的零元素,这种矩阵称为稀疏阵。,(3)带状性 总刚矩阵不仅具有稀疏性,而非零元素集中分布在主对角元素附近,这种分布特点称为带状分布。,(4)奇异性 结构不加任何约束或约束不足时,其总刚矩阵是奇异阵,即 ,物理上表现为结构整体可以作刚体运动,
25、这时有限元方程(2-60)的解不唯一。因此为了得到惟一的有限元解,就应限制结构的刚体运动,消除总刚矩阵的奇异性。,四、载荷移置,通过总刚集成形成了有限元方程 ,其中列阵R的元素为节点载荷,是集中力。但载荷除了集中力外,还有面力和体力,即使是集中力也不一定作用在节点上。因此需要将各种载荷转化为节点载荷,这就是载荷移置的目的和任务。,载荷移置遵循能量等效原则,即原载荷与移置产生的节点载荷在虚位移上所做的虚功相等。对于给定的位移函数,这种移置的结果是惟一的。在线性位移函数情况下,也可按静力等效原则进行移置。载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原理,这种移置可能在局部产生误差,但不会影响整个
26、结构的力学特性。,1.集中力的移置,集中力的移置是面力和体力移置的基础。,如右图所示,设平面单元e中某一点(x,y)作用一集中力,设 移置后产生的等效节点载荷为,如果节点发生虚位移 ,则单元内任一点的虚位移为,由于虚位移是任意的,可从上式两边同时消去,则有,集中力 所作的虚功为,等效节点载荷所作的虚功为,根据能量等效原则,有,也可写成,载荷移置的结果仅与单元形函数有关,当形函数确定后,移置的结果是唯一的。,2.面力的移置,设厚度为t的平面单元单位面积上作用的面力为 ,如图所示。从网格图上看,面力作用在棱边上,但实际单元有一定厚度。若将微元面积 上的面力 视为集中力,利用式 并积分,可得与面力等
27、效的移置节点载荷为,也可写成,根据形函数的特点,在ij边上有 ,所以 .因此在ij边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上.,若将微元体 上的体力 视为集中力,则利用式(2-64)并积分,可得与体力等效的移置节点载荷为,3.体力的移置,设单元单位体积内作用的体力为,也可写成,式中, 为结构的单元数量; R为(2-60)右端的节点载荷列阵。,上面介绍了三种外载荷向节点移置的方法。根据叠加原理,一个单元上总的节点载荷应为上述三种载荷移置结果之和,即,如果一个节点与多个单元相关,则节点载荷应为所有相关单元向该节点移置的载荷叠加。因此,对于整个结构而言,有,五、约束处理,虽然通过总刚集成和载荷移置求出
28、了矩阵K和R,但还不能求解方程 ,因为还没有考虑结构的几何约束。 当结构不受约束或约束不足时,它在外力作用下会产生刚体运动,数学上表现为K是奇异阵,因此方程有无穷多个解。为了求出惟一的节点位移解,就必须施加足够的几何约束,排除结构刚体运动,以消除K的奇异性。,约束处理方法,边界位移为零的处理方法,边界位移为已知值的处理方法,例如右图所示模型,边界约束条件为,1.边界位移为零的处理方法,将总刚矩阵中零位移分量所对应行和列的主对角元素置为1,而其它元素皆变为0.在节点载荷列阵中,将零位移分量所对应的节点载荷也变为0.这样,矩阵K和R仍保持原有的阶数和排列顺序。,具有零位移约束的模型,对应于节点位移
29、列阵的分量,节点位移约束,对矩阵K,R进行处理后,结构的刚度方程变为,例如右图所示模型,节点4,5的水平位移为已知量 ,对应于节点位移列阵的分量,2.位移边界为已知值的处理方法,如果节点位移是大于零的已知值,则将该位移分量所对应的主对角元素置为大数,再将载荷列阵R中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移,而其余各行保持不变.,具有非零位移约束的模型,则按所述方法对K,R处理后,模型刚度方程为,给定的大数,如1010或1015,由上式中的第7行,得,解得,同样可得,对于同一有限元模型,在同样的载荷作用下,引入不同的边界条件时计算出的结果可能会有很大的差别,因此分析时必须根据结构真实的位移状态引入正
30、确的边界条件。,式中 , 为经约束处理后的总刚矩阵和载荷列阵.,六、求解线性方程组,对矩阵K,R进行约束处理之后,原刚度方程变为,上式是一个关于节点位移分量的线性方程组,利用适当的数值方法就能求出 ,即模型中所有节点的位移分量. 有关线性方程组的数值解法,目前主要有高斯法,波前法,带宽法等.,七、计算其他物理量,计算出基本未知量节点位移分量,利用式(2-40),(2-41),(2-44)求出单元上任一点的位移及单元应变和应力.,八、计算结果处理,由于三角形单元是常应力、常应变单元,所以单元之间的应力和应变有突变。为了使计算结果接近实际值,通常需要对单元应力,应变进行平均处理。处理的方法一般有两
31、种:绕节点平均,两单元平均。,绕节点平均 就是将环绕节点的所有单元的应力加以平均,并用该平均值表示该节点的应力。例如在图(a)中,节点1,2处的应力分别为,两单元平均 就是将两个相邻单元的常量应力加以平均,并用该平均值表示公共边中点的应力。在图(b)中,1,2两点的应力为,九、结果显示、打印、分析,将计算得出的各种物理量以一定方式显示出来,研究结果的合理性和可靠性,评估结构性能和设计方案的优劣,做出相应的改进措施。目前数据显示方式有:等值线图,变形图,箭头图(矢量图),二维或三维曲线以及动画显示等。,第三章 轴对称问题有限元法,第一节 轴对称问题的定义和特点,一、轴对称问题的定义,当分析结构同
32、时满足以下三个条件时,可认为是轴对称问题:,几何形状轴对称 要求结构是相对对称轴的旋转体。 边界条件轴对称 要求结构受到载荷和位移约束条件具有轴对称性。 材料轴对称 要求结构的材料特性具有轴对称性。,二、轴对称问题的应力应变特点,轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。,分析轴对称问题时,通常采用柱坐标系 ,并以z轴为对称轴。,因此,可以取出结构的任一子午面进行分析,从而将三维问题转化为二维问题来求解。,因此在轴对称问题中,每一个点具有四个应力分量,根据轴对称特点,有:,但径向变形会引起周向应变,即,和四个应变分量,它们的关系为,式中,轴对称问题的弹性矩阵,(3-1),(3-2
33、),第二节 轴对称问题有限元法,一、结构离散,轴对称结构本身是一个三维结构,由于形状和载荷的特殊性,其网格划分仅在任一子午面上进行,因此网格表现为平面网格,但实际上单元具有环状的空间结构。本章采用三节点三角形环单元。,三节点三角形轴对称环单元,三个节点的编号分别为i,j,m,节点坐标 , , 为已知,节点位移分别为 , , 。,二、单元分析,从划分的单元中任取一个单元。,1.位移函数,选择线性位移函数为,与平面问题类似,将节点i,j,m的坐标值和位移值代入上式,整理得,或写成,其中 , , 是形函数,其表达式为,式中,式中各系数的表达式分别为,(3-4),由此可见,周向应变分量 随r,z 而改
34、变,不是常量,因此应变矩阵 不是常量矩阵.,2.单元应变,将位移函数式(3-4)代入几何方程(3-1)得,式中,其中,(3-6),3.单元应力,将式(3-6)代入式(3-2),得到单元应力,式中,假设单元的虚位移为 ,则单元的虚应变为,三、单元刚度矩阵,和平面问题一样,本章仍用虚位移原理来推导三角形环单元的单元刚度矩阵。在轴对称情况下单元的虚功方程为,单元等效节点力 所作的虚功,注意:此时的节点力是指整个三角形环单元上的力,指整个三角形环单元中的应力所作的虚功.,将上式代入虚功方程,得,由于应变矩阵 中含有1/r因子,当r=0时, 式(3-8)积分时会出现奇异性。因此 ,把单元中随位置变化而不
35、断变化的r和z用单元截面的形心坐标来近似,即令,考虑到虚位移的任意性,将上式两边的 同时消去,则有,式中,(3-8),就是三角形环单元的单元刚度矩阵。,的子矩阵计算公式为,进行上述近似后, 和 都成为常量矩阵,积分式(3-8)变为,式中,A是三角形单元的面积.,式中, 为结构总刚矩阵; 为节点位移列阵; 为节点载荷列阵。,四、总刚集成,求出每个三角形环单元的刚度矩阵后,即可按照第二章介绍的总体刚度矩阵的集成方法,得到结构的总刚矩阵,从而形成刚度方程,移置后对应的节点载荷列阵为,五、等效节点载荷的计算,计算轴对称问题的等效节点载荷与平面问题有所不同,因此轴对称结构的子午面上的一个节点是一个关于对
36、称轴中心对称的圆环,故当计算集中力,表面力和体积力时,应在整个环上积分。这里讨论几种常见载荷的等效移置。,1.集中力的移置,设三角形环单元内任意一点(r,z)处作用有集中外载荷 ,它在r和z方向上的分量分别为 和 ,用矩阵表示为,由于虚位移的任意性,可由上式得到,展开得,根据虚位移原理,等效节点载荷与原载荷在虚位移上作的虚功相等,即,2.表面力的移置,设单元的jm边作用有均布载荷Ps,其方向以压向单元边界为正,如图.,三角形环单元上作用表面力,表面力的矩阵表示为,令,单元表面力列向量为,(3-12),将以上五式代入式(3-12),积分得表面力 的等效节点载荷为,在 边上有 ,令,则有,式中,可
37、见,当单元的边界jm作用有集度为p的垂直均布力时,分配到节点i上的载荷为零,分配到节点j和m上的载荷相同。,如果作用在边界上的表面力不是均布载荷,则可将载荷分解成若干组,近似地将每组表面力视为均布载荷,分别进行计算,然后叠加即可。,3.体积力的移置,工程中经常遇到轴对称问题,其体积力一般有两种:一种是重力,另一种是由于绕z轴旋转产生的惯性离心力。,(1) 重力 设单元容重为v,则单位体积力为,单位体积力列阵为,式中, 是三角形形心到z轴的距离.,2.惯性离心力 设结构的转速为n,角速度为 ,材料密度为 ,则单位体积的离心力为 。为了方便计算,假定单元内的体积密度为常数 ,则单元的单位体积力,单
38、元惯性离心力移置产生的节点载荷列阵为,(3-15),将式(3-5),式(3-16)代入式(3-15),得,将式(3-11),式(3-13),式(3-14),式(3-17)所得的结果叠加,便可得到整个单元的节点载荷列阵 ,将每个节点载荷叠加,便可得到结构的载荷列阵 。,由重心公式可推导得,(3-16),式中, 为经过约束处理的总刚矩阵; 为经过约束处理的载荷矩阵。,六、约束处理和求解线性方程组,对矩阵K,R按第二章介绍的方法进行约束处理后,就可求解结构的刚度方程,求出节点位移分量 后,可利用式(3-4),式(3-6)和式(3-7)求出单元各点的位移,应变和应力。,第四章 杆件系统有限元法,第一节
39、 引言,当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这类结构称为杆件。,工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等都属于杆件。 在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面,横截面中心的连线称为轴线,如图所示。,如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线,则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变,则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。,杆件结构,杆件结构可分为桁杆和梁两类。,和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素主要是截面面积,与截面形状无关;,和其他结构采用固定连接的杆称为梁,
40、如图(b)所示。梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压,而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关,而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。,由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。 由桁杆组成的杆系称为桁架。 由梁组成的杆系成为刚架。 若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。 由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框模型。,第二节 平
41、面刚架有限元法,如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为平面刚架。,一、结构离散,平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。,二、单元分析,通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,即 , , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部坐标系的 轴
42、,以 轴的正向逆时针旋转90为 轴的正向。符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的则是总体坐标系中的物理量。,二节点六自由度梁单元,式中, 为沿 方向的位移; 为沿 方向的位移; 为广义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。,1.单元位移函数,假定单元的位移函数如下多项式,将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出 ,经整理得到用节点位移表示的单元位移函数为,即单元位移可写成如下矩阵形式,式中, 称为形函数矩阵, 为单元节点位移列阵。,式中, , 是它的分块矩阵,分别为,形函数矩阵 的表达式为,其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为,单元的节点位移向量 为,式中,2.单元应
43、变矩阵和应力矩阵,对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即,式中, ,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的变形。,其中,(4-6),(4-7),式中, , 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面惯性矩;E是材料弹性模量。,单元应力为,3.局部坐标系中的单元刚度矩阵,对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程,其中, 为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式为,(4-9),其中矩阵元素为,将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为,等效节点载荷 、 和 分别对应于该节点的节点位移 、 和 .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩
44、M产生的等效节点载荷分别为,4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵,(4-12),(4-13),(4-14),这里不考虑单元的扭转,所以力偶矩,把单元的各种载荷的等效节点载荷叠加即可得到单元的等效节点载荷列阵,下面给出几种常见载荷的等效节点载荷计算公式：,(1) 均布载荷 梁单元上作用的均布载荷如图所示,其载荷分量为 , ,把式(4-3),式(4-4)代入式(4-12),积分得,当均布载荷满跨作用于梁上时,等效节点载荷列阵为,(2) 集中力 梁单元上作用的集中力如图所示,将式(4-3),式(4-4)代入式(4-13),计算到梁单元作用有集中力时的等效载荷为,(3) 集中力偶矩 梁单元作用有集中
45、力偶矩的情况如图所示.将式(4-3),式(4-4)代入式(4-14),计算得到梁单元作用有集中力时的等效载荷为,三、坐标变换,1.单元节点位移和节点力列阵的坐标变换,则有,写成矩阵形式为,设任意平面向量V(如平面梁单元的节点位移或节点力列向量)在局部坐标系中的分量为 和 ，在总体坐标系xoy中的分量为 和 ,ox轴沿逆时针方向旋转 角与 轴同向,如图。,即为平面梁单元的节点力和节点位移列阵的坐标变换矩阵.,由于每个平面梁单元有两个节点,将两个节点的坐标变换矩阵合并,即可得到平面梁单元两点列矩阵的坐标变换矩阵为,因此有,令,2.单元刚度矩阵的坐标变换,设总体坐标系中第e个单元的节点力和节点位移列
46、阵分别为 , ,局部坐标系中第e个单元的节点力和节点位移列阵分别为 , ,单元刚度矩阵为 .,由坐标变换可知,将以上两式代入式(4-9)得,(4-20),令,则,(4-21),式(4-21)即为单位刚度矩阵的坐标转换式, 即为总体坐标系中第e个单元的刚度矩阵,它是一个对称矩阵。,四、总刚矩阵集成,按第二章介绍的方法,将各单元在总体坐标系中的刚度矩阵进行叠加,便可得到结构的总刚矩阵K.,五、节点载荷列阵,按前面介绍的方法,将各类载荷移置为单元等效节点载荷后,用过叠加可形成结构的节点载荷列阵R.,经约束处理消除K的奇异性后,便可对上式求解,求出各单元的节点位移 .进而由式(4-20)求出局部坐标系
47、中的单元节点位移为,六、约束处理和求解线性方程组,形成结构总刚矩阵K和载荷列阵R后,得到线性方程组,由式(4-2),式(4-5),式(4-8)可分别求出单元任一点的位移以及单元应变和应力。,式中, 的表达式见式(2-6),第五章 空间问题有限元法,第一节 引言,当分析结构的形状,尺寸和边界条件不具备某种特殊性时,这种结构便属于空间问题。这时结构内的任一点i具有三个位移分量,即,和六个应变分量,以及六个应力分量,以上15个分量都是空间坐标(x,y,z)的函数.,空间问题的规模要比平面问题和轴对称问题要大得多,且网格划分较困难,自动分网需要占用较长的时间,所以分析这类结构时要充分利用求解问题的特点(如对称性,相似性和重复性等)尽量减小有限元模型规模。有些结构可以先近似为轴对称问题或平面问题进行粗算,然后再按空间问题求解。,工程中的绝大部分结构属于空间问题,这类结构的几何模型为三维实体模型,网格划分时可采用四面体,五面体或六面体形式的空间实体单元。,第二节 空间问题有限元法,一、结构离散,在空间结构的离散中,常用的单元是四节点四面体单元,单元形状如图所示.本节将讨论这种单元的有限元法。,
