1、物理学 7 章习题解答7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为m ,其中 x 的单位是 m，t 的单位是 s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) t = 2 s 时质点的位移、速度和加速度。解 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较，可以得到角频率 s1, 频率 , 周期 , 振幅 ,初相位 .(2) t = 2 s 时质点的位移.t = 2 s 时质点的速度.t = 2 s 时质点的加速度.7-3 一个质量为 2.5 kg 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受 10 n 的拉力，其伸长量为 5.0 cm，求物体的振动周期。解 根据已知条
2、件可以求得弹簧的劲度系数,于是，振动系统的角频率为.所以，物体的振动周期为.7-4 求图 7-5 所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为 m，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2。解 以平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 7-5 所示的坐标系。若物体向右移动了x，则它所受的力为.根据牛顿第二定律，应有,改写为.所以,.7-5 求图 7-6 所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为 m，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2。解 以平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 7-6所示的坐标系。当物体由原点 o 向右移动 x 时，弹簧 1 伸长了 x1 ，弹簧 2 伸长了 x2 ，并有.物
3、体 所 受 的 力 为,式 中 k 是 两 个 弹 簧 串 联 后 的 劲 度 系 数 。 由 上 式 可 得, .于 是 ， 物 体 所 受 的 力 可 另 写 为,由 上 式 可 得,所 以图 7-5图 7-6.装置的振动角频率为,装置的振动频率为.7-6 仿 照 式 (7-15)的 推 导 过 程 ， 导 出 在 单 摆 系 统 中 物 体 的 速 度 与 角 位 移 的 关 系 式。解 由教材中的例题 7-3，单摆的角位移 与时间 t 的关系可以写为 = 0 cos ( t+) ,单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能,另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重
4、力势能.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即,因为 , 所以上式可以化为.于是就得到,由此可以求得单 摆 系 统 中 物 体 的 速 度 为.这 就 是 题 目 所 要 求 推 导 的 单 摆 系 统 中 物 体 的 速 度 与 角 位 移 的 关 系 式。7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿 x 轴作简谐振动，振幅为 a，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在 t = 0 时，小球的运动状态分别为(1) x = a；(2)过平衡位置，向 x 轴正方向运动；(3)过 x = 处，向 x 轴负方向运动；(4)过 x = 处，向 x 轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解 (1)将 t =
5、 0 和 x =a 代入,得,.(2)根据 以及 ，可以得到,.由上两式可以解得.(3)由 和 v 0 可以得到,.由上两式可以解得.7-8 长度为 l 的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为 l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动是简谐振动；(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正) 。解 (1)以悬挂了重物后的平衡位置 o 为坐标原点，建立如图 7-7 所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点 o 时重力与弹力相平衡，即,. (1)当重物向下移动
6、 x 时，弹簧的形变量为 (s + x )，物体的运动方程可以写为,将式(1)代入上式，得,即. (2) 重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。(2)令, (3)方程式(2)的解为. (4)振幅可以根据初始条件求得：当 t = 0 时，x 0 = s，v 0 = 0，于是.角频率和频率可以根据式(3)求得：,.图 7-7 (3)位移与时间的关系：由 , 以及当 t = 0 时，x 0 = s，v 0 = 0，根据式(4) ，可以得到,.由以上两式可解得.故有.7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率 作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为 0 ，试求使物体随
7、木板一起振动的最大振幅。解 设物体的质量为 m，以平衡位置 o 为坐标原点建立如图 7-8 所示的坐标系。由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为 的简谐振动。振动系统的加速度为,可见，加速度 a 的大小正比与振幅 a，在最大位移处加速度为最大值.最大加速度 amax 对应于最大振幅 amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式,.由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为.图 7-87-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率 作简谐振动。试求物体和木板
8、一起振动的最大振幅。解 设物体的质量为 m，以平衡位置 o 为坐标原点建立如图7-9 所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力 mg 和向上的支撑力 n，可以列出下面的运动方程. (1)由简谐振动,可以求得加速度.当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为,(2)负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1) ，得. (3)物体不脱离木板的条件是,取其最小值，并代入式(3)，得,于是可以求得物体和木板一起振动的最大振幅，为.7-11 一个系统作简谐振动，周期为 t，初相位为零。问在哪些时刻物体的动能与势能相等？解 初相位为
9、零的简谐振动可以表示为.振动系统的动能和势能可分别表示为,.因为图 7-9,所以势能可以表示为.当 时，应有,即,.由上式解得将 代入上式，得或7-12 质量为 10 g 的物体作简谐振动，其振幅为 24 cm，周期为 1.0 s，当 t = 0 时，位移为+24 cm，求：(1) 时物体的位置以及所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间；(3)在 x = 12 cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。解 首先根据已知条件得出位移与时间关系的具体形式。一般形式为.将 , , , 各量代入上式，同时，根据 时 ，求得 , ，于是得到简谐振动的具体形式为.
10、(1) 物体的位置为,所受力的大小为,方向沿 x 轴的反方向。(2)由起始位置运动到 x = 12 cm 处所需要的最少时间,题目要求最少时间，上式中应取正号。所以.(3)在 x = 12 cm 处,.物体的速度为.物体的动能为.物体的势能为,所以物体的总能量.7-13 质量为 0.10 kg 的物体以 2.0102m 的振幅作简谐振动，其最大加速度为 4.0 ms2 ，求：(1)振动周期；(2)通过平衡位置的动能；(3)总能量。解 (1) 最大加速度与角频率之间有如下关系,所以.由此可求得振动周期，为.(2)到 达 平 衡 位 置 时 速 率 为 最 大 ， 可 以 表 示 为,故 通过平衡
11、位置时的动能为.(3)总能量为.7-14 一 个 质 点 同 时 参 与 两 个 在 同 一 直 线 上 的 简 谐 振 动 ： 和(式 中 x 的 单 位 是 m， t 的 单 位 是 s)， 求 合 振 动 的 振 幅 和 初 相 位。解 已 知 a1 = 0.05 m、 = / 3、 a2 = 0.06 m 和 2 = 2 / 3， 故 合 振 动 的 振 幅 为.合 振 动 的 初 相 位为,.但是 不能取 / 3，这是因为 x1 和 x2 是两个相位相反的振动，如果它们的振幅相等，则合振动是静止状态，如果它们的振幅不等，则合振动与振幅较大的那个振动同相位。在我们的问题中， ，所以合振
12、动与 x2 同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取 ，即.7-15 有两个在同一直线上的简谐振动： m 和 m，试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？(2)若另有一简谐振动 m，分别与上两个振动叠加， 为何值时，x1 + x3 的振幅为最大？ 为何值时，x 2+ x3 的振幅为最小？解 (1)合振动的振幅为.合振动的初相位,考虑到 x1 与 x2 相位相反， ，所以合振动 x 应与 x2 同相位，故取.(2)当 时，合振动 的振幅为最大，所以这时合振动的振幅为.当 时，合振动 的振幅为最小，所以这时合振动的振幅为.7-16 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为 0
13、.04 m 和 0.03 m，当它们的合振动振幅为 0.06 m 时，两个分振动的相位差为多大？解 合振动的振幅平方可以表示为,所以,.7-17 一个质量为 5.00 kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况下，其振动周期为 ；在阻尼振动的情况下，其振动周期为 。求阻力系数。解 无阻尼时.有阻尼时.根据关系式,解出 ，得将 代入下式就可求得阻力系数.7-21 某一声波在空气中的波长为 0.30 m，波速为 340 ms1 。当它进入第二种介质后，波长变为 0.81 m。求它在第二种介质中的波速。解 由于波速 u、波长 和波的频率 之间存在下面的关系,当声波从一种介质进
14、入另一种介质时，频率不会改变，所以.于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为.7-22 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？解 根据书中 160 页波在介质中的传播速率的表达式(7-50)至(7-52)，可以看到，波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以，两列不同频率的简谐波在同一种介质中，是以相同的速率传播的。故有.可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。7-
15、23 已知平面简谐波的角频率为 =15.2102 rads1，振幅为 a=1.25102 m，波长为 = 1.10 m，求波速 u，并写出此波的波函数。解 波的频率为.波速为.所以波函数可以写为.7-24 一平面简谐波沿 x 轴的负方向行进，其振幅为 1.00 cm，频率为 550 hz，波速为 330 ms1 ，求波长，并写出此波的波函数。解 波长为.波函数为.7-25 在平面简谐波传播的波线上有相距 3.5 cm 的 a、b 两点，b 点的相位比 a 点落后 45。已知波速为 15 cms1 ，试求波的频率和波长。解 设 a 和 b 两点的坐标分别为 x1 和 x2，这样两点的相位差可以表
16、示为,即.由上式可以求得波长，为.波的频率为.7-27 波 源 作 简 谐 振 动 ， 位 移 与 时 间 的 关 系 为 y = (4.00103 ) cos 240 t m， 它所激发的波以 30.0 ms1 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。解 设 波 函 数 为.已 知 , , , 根 据 这 些 数 据 可 以 分 别 求 得 波的周期和波长。波的频率为.波的周期和波长分别为,.于 是 ， 波 函 数 可 以 表 示 为.7-29 沿 绳 子 行 进 的 横 波 波 函 数 为 ， 式 中 长 度 的 单 位 是 cm，时间的单位是 s。试求：(1)波的振幅、频率、
17、传播速率和波长；(2)绳上某质点的最大横向振动速率。解 波函数可写为,其中.(1)由已知条件可以得到,.(2)绳上质点的横向速率为,所以.7-30 证明公式 。解 根据和 ,所以可以将波速的表达式作如下的演化,故有.7-31 用横波的波动方程 和纵波的波动方程 证明横波的波速和纵波的波速分别为 和 。解 将平面简谐波波函数分别对 x 和 t 求二阶偏导数：, (1).(2)将以上两式同时代入纵波波动方程即教材中第 167 页式(7-62)，得,所以.将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程 即教材中第 169 页式(7-64) ，得,所以.7-32 在某温度下测得水中的声速为 1.46103
18、ms1 ，求水的体变模量。解 已知水中的声速为 u = 1.46103 ms1，水的密度为 ，将这些数据代入下式,就可以求得水的体变模量，得.7-33 频率为 300 hz、波速为 330 ms1 的平面简谐声波在直径为 16.0 cm 的管道中传播，能流密度为 10.0103js1 m2 。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)两相邻同相位波面之间的总能量。解 (1)平均能量密度 ：根据,将已知量 和 代入上式，就可以求得平均能量密度，得.(2)最大能量密度 wmax：.(3)两相邻同相位波面之间的总能量 w：将已知量, , 代入下式得.7-34 p 和 q 是两个以相同相位、相
19、同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波源，其频率为 、波长为 ，p 和 q 相距 3/ 2。r 为 p、q 连线延长线上的任意一点，试求：(1)自 p 发出的波在 r 点引起的振动与自 q 发出的波在 r 点引起的振动的相位差；(2) r 点的合振动的振幅。解 (1)建立如图 7-10 所示的坐标系，p、q 和 r 的坐标分别为 x1、x 2 和 x，p 和 q 的振动分别为和 .p 点和 q 点在 r 点引起的振动分别为和 .两者在 r 点的相位差为图 7-10.两者在 r 点的相位差也可以写为可见，p 点和 q 点在 r 点引起的振动相位是相反的，相位差为 。(2) r 点的合振动
20、的振幅为.可见，r 点是静止不动的。实际上，由于在 的上述表达式中不含 x，所以在 x 轴上、q 点右侧的各点都是静止不动的。7-35 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65 cm，弦的振动频率为 2.3102 hz，求波的传播速率 u 和波长 。解 因为相邻波节的距离为半波长，所以.波速为.7-36 在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？解 在这种情况下，接收到的频率为,同时，因为 ，所以 ，即没有多普勒效应。7-37 火车汽笛的频率为 ，当火车以速率 v 通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为 u。解 火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为,火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为.观察者所接收到的笛声频率的变化为.
