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类型概率统计第6章习题参考解答.doc

  • 上传人:kpmy5893
  • 文档编号:6180330
  • 上传时间:2019-03-31
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    概率统计第6章习题参考解答.doc
    资源描述:

    1、第 6 章 参数估计习题解答0第 6 章 参数估计1,设总体 未知, 是来自 的样本。求0),(BbUX921,X的矩估计量。今测得一个样本值b0.5,0.86,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,0.9,1.0,求 的矩估计值。b解:因为总体 ,所以总体矩 。根据容量为 9 的),0(bUX2/)(XE样本得到的样本矩 。令总体矩等于相应的样本矩:91ii,得到 的矩估计量为 。E)(bb2把样本值代入得到 的矩估计值为 。69.12,设总体 具有概率密度 ,参数 未知,X他其 xxfX0)(2)(是来自 的样本,求 的矩估计量。n,21解:总体 的数学期望为 ,令 可得X3)(2)(0

    2、dxXEXE)(的矩估计量为 。33,设总体 参数 未知, 是来自),(pmBX)10(,pnX,21的样本,求 的矩估计量(对于具体样本值,若求得的 不是m整数,则取与 最接近的整数作为 的估计值) 。m解:总体 的数学期望为 , ,XpXE)( )1()(pD二阶原点矩为 。)122 mXE第 6 章 参数估计习题解答1令总体矩等于相应的样本矩:,XE)( niiXA122)(得到 , 。AXp212m4, (1)设总体 未知, 是来自 的样本,0),(nX,21是相应的样本值。求 的矩估计量,求 的最大似然估计nx,2 值。(2)元素碳-14 在半分钟内放射出到达计数器的粒子数 ,下)(

    3、X面是 的一个样本:X6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求 的最大似然估计值。解:(1)因为总体的数学期望为 ,所以矩估计量为 。X似然函数为 ,相应的对数似然函数为!)(111inxixni eLnii。!ll)(ln11inni xx令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。xni1(2)根据(1)中结论, 的最大似然估计值为 。2.7x5, (1)设 服从参数为 的几何分布,其分布律为X)10(p第 6 章 参数估计习题解答2。参数 未知。设 是一个样本,21,)1(xpxXPpnx,21值,求 的最大似然估计值。(2)一个运动员,投篮的命中率为 ,以 表示他

    4、投),0(未 知X篮直至投中为止所需的次数。他共投篮 5 次得到 的观察值为5 1 7 4 9求 的最大似然估计值。p解:(1)似然函数为 ,相应的对nxxni pppLnii 1)()1()1数似然函数为。pnnxpLi l)1l()(ln1令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。xnpi1(2)根据(1)中结论, 的最大似然估计值为 。2651xp6, (1)设总体 ,参数 已知, 未知,),(2NX2 )(是来自 一个样本值。求 的最大似然估计值。nx,2 (2)设总体 ,参数 已知, ( 0)未知,),(2 2为一相应的样本值。求 的最大似然估计值。nx,1 2解:

    5、(1)似然函数为 ,相212 )()(1)( niii xxni eeL应的对数似然函数为第 6 章 参数估计习题解答3。nniixL2l2)()(l1令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。xnni1(2)似然函数为 ,相应的212 )(2)(12)( niii xxni eeL对数似然函数为。2212ln)()(lnxLnii令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。niix122)(7,设 是总体 的一个样本, 为一相应的样本nX,21 nx,21值。(1) 总体 的概率密度函数为 , ,X他其 00)(/2xexf求参数 的最大似然估计量和估计值。

    6、(2) 总体 的概率密度函数为 ,X他其 002)(/3xexf,求参数 的最大似然估计值。0(3) 设 已知, 未知,求 的最大似然估计值。),(pmB10pp第 6 章 参数估计习题解答4解:(1)似然函数为 ,相应的对数/21/211)( nii xixini eeL似然函数为。/ln2l)(ln11inii xxL令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。21xni相应的最大似然估计量为 。X(2)似然函数为 ,相应的对数似然/321/321 1)( nii xinxini eeL函数为。/)2ln(3l2)(ln11ninii xxL令对数似然函数对 的一阶导数为零

    7、,得到 的最大似然估计值为。31xni(3)因为 其分布律为),(pmBXmxCxPx ,201所以,似然函数为 ,相应的对数似然函 niniiiii xmxxmnxxmni pCppL 11)()1()( 11数为。 nixmnini iCpxxpL111 l)l(l)(第 6 章 参数估计习题解答5令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为pp。mxni18,设总体 具有分布律X1 2 3kp2)1(2)1(其中参数 未知。已知取得样本值 ,试求)10( 1,32xx的最大似然估计值。解:根据题意,可写出似然函数为,)1(2)1(2)( 531 iixXPL相应的对数似然函

    8、数为。)ln(5ln)(lL令对数似然函数对 的一阶导数为零,得到 的最大似然估计值为。6/9,设总体 , , 未知, 已知,),(2NX),(2NY,2和 分别是总体 和 的样本,设两样本独立。n,21 nY,21 XY试求 最大似然估计量。解:根据题意,写出对应于总体 和 的似然函数分别为 ,212 )()(1)( niii XXni eeL第 6 章 参数估计习题解答6,212 )()(1)( nii YYni eeL相应的对数似然函数为,3nniiXL2l2)()(ln12,nniYl)()(l 21令对数似然函数分别对 和 的一阶导数为零,得到,YX算出 最大似然估计量分别为 , 。

    9、, 22Y10, (1)验证均匀分布 中的未知参数 的矩估计量是无偏估计),0(U量。(2)设某种小型计算机一星期中的故障次数 ,设)(Y是来自总体 的样本。验证 是 的无偏估计量。设一nY,1 Y星期中故障维修费用为 ,求 。23Z)(ZE(3)验证 是 的无偏估计量。niU123)(解:(1)均匀分布 中的未知参数 的矩估计量为,0(。X2由于 ,所以 是 的无偏估计量。2)()XE(2)因为 ,所以 是 的无偏估计量。nYnii1)(1 Y第 6 章 参数估计习题解答7 。2224)(3)(3)( YEZE(3)因为 ,)(4)(131 22ZEnYnUii 所以, 是 的无偏估计量。)

    10、(Z11,已知 是来自均值为 的指数分布总体的样本,其中4321,X未知。设有估计量,)(31)(6142XT,5/12X。 )(4323(1) 指出 中哪几个是 的无偏估计量。21,T(2) 在上述 的无偏估计量中哪一个较为有效?解:(1)因为 )(31)(6)()(31)()(61) 42XEXETE,25/12。)()()()() 4323所以, 是 的无偏估计量。1,T(2)根据简单随机样本的独立同分布性质,可以计算出 18/5)(91)(361)()(91)()(36)( 22243211 XDXDD,/12TT 所以, 是比 更有效的无偏估计量。3112,以 X 表示某一工厂制造的

    11、某种器件的寿命(以小时计) ,设,今取得一容量为 的样本,测得其样本均值为)296,(N27n,求(1) 的置信水平为 0.95 的置信区间, (2) 的置信478x 第 6 章 参数估计习题解答8水平为 0.90 的置信区间。解:这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论, 的置信水平为 的置信区间为 。12/Znx(1) 的置信水平为 0.95 的置信区间为。58.149,2.658.134796.14817279648025. Z(2) 的置信水平为 0.90 的置信区间为。40.189,6.40.178645.1814771964805. Z13,以 X 表示某种小包

    12、装糖果的重量(以 g 计) ,设 ,今)4,(NX取得样本(容量为 ):10n55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46(1) 求 的最大似然估计值。(2) 求 的置信水平为 0.95 的置信区间。解:(1)根据已知结论,正态分布均值 的最大似然估计量和矩估计量相同: 。所以 的最大似然估计值为 。X8.56x(2) 的置信水平为 0.95 的置信区间为。04.58,624.18569.1408.561048.562. Z14,一农场种植生产果冻的葡萄,以下数据是从 30 车葡萄中采样测得的糖含量(以

    13、某种单位计)第 6 章 参数估计习题解答916.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8设样本来自正态总体 , 均未知。),(2N2,(1) 求 的无偏估计值。2,(2) 求 的置信水平为 90%的置信区间。解:(1) 的无偏估计值为2,, 。7.14x9072.1)(122niixs(2) 的置

    14、信水平为 90%的置信区间为 148.5,29.48.072.169.30875.2.14)(05. ntsx15,一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的 12 块内墙上做试验,记录干燥时间(以分计) ,得样本均值分,样本标准差 分。设样本来自正态总体 ,3.6x4.9s ),(2N均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95 的置信区间。2,解:这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论,干燥时间的数学期望的置信水平为 0.95 的置信区间为。27.,3.6097.536201.493.6)1(025. ntsx16,Macatawa 湖(位于密歇根湖

    15、的东侧)分为东、西两个区域。下第 6 章 参数估计习题解答10面的数据是取自西区的水的样本,测得其中的钠含量(以 ppm 计)如下:13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9,20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1,25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4,16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6设样本来自正态总体 , 均未知。求 的置信水平为 0.95),(2N2,的置信区间。解:根据题

    16、中数据,计算可得样本均值 ,样本方差 。07.19x245.3s的置信水平为 0.95 的置信区间为 24.0,9.17.01935.24.07.19)(025. ntsx17,设 X 是春天捕到的某种鱼的长度(以 cm 计) ,设 ,),(2NX均未知。下面是 X 的一个容量为 13 的样本:2, n13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0(1) 求 的无偏估计;2(2) 求 的置信水平为 0.95 的置信区间。解:根据题中数据计算可得 。75.32s(1) 方差 的无偏估计即为样本方差

    17、。2 75.32s(2) 的置信水平为 0.95 的置信区间为,86.102,4.940.12,37.512)(,)1(2975.0205. nsns第 6 章 参数估计习题解答11所以 的置信水平为 0.95 的置信区间为。142.0,6.8.102,4.9)1(,)1(2975.0205. nsns18,为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩,随机地抽取学校 A 的 9 个学生,得分数的平均值为 ,方差为 ;31.8Ax76.02As随机地抽取学校 B 的 15 个学生,得分数的平均值为 ,方差18Bx为 。设样本均来自正态总体且方差相等,参数均未知,两24.8Bs样本独立。求均值差 的

    18、置信水平为 0.95 的置信区间。BA解:根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论,均值差的置信水平为 0.95 的置信区间为BA )2(1597.2)(1 0.21025. tsntnsx ww 739.6.)(97.025.t.,6.3.219,设以 X,Y 分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量(以 mg 计) ,设 , , 均未),(2XN),(2YN2,YXY知。下面是两个样本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.

    19、1两样本独立。求 的置信水平为 0.95 的置信区间。YX2/第 6 章 参数估计习题解答12解:根据题中数据计算可得 , 。 (未完) 根据两个正态总体Xs2Y2方差比的区间估计的标准结论, 的置信水平为 0.95 的置信/区间为。)46.2,18.0(3.4,85.1)10,8(,)108( 22975.225. YXYXYXYX ssFsFs20,设以 X,Y 分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量(以 10 亿份中的份数计) ,设 , ,),(2XN),(2YN均未知。下面是分别来自 X 和 Y 的两个独立样本:2,YXYX: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11,

    20、 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求 的置信水平为 0.95 的单侧置信上限,以及 的置信水平YX2/ X为 0.95 的单侧置信上限。解:根据题中数据计算得到 , 。24.68.2Xs 68.927.Ys的置信水平为 0.95 的单侧置信上限为YX2/。836.1.692),7(195.02_2 FsYX的置信水平为 0.95 的单侧置信上限为X2,37.1496.2)18(295.0_ XXs所以, 的置信水平为 0.95 的单侧置信上限为X。2.137.49)18(295.0_ XXs21,在第 17 题中求鱼长度的均值 的置信水平为 0.95 的单侧置信下第 6 章 参数估计习题解答13限。解:根据单侧区间估计的结论,正态总体均值 的置信水平为 0.95的单侧置信下限为。67.1823.14.67.)1(05._ ntsx22,在第 18 题中求 的置信水平为 0.90 的单侧置信上限。BA解:两个正态总体的均值差 的置信水平为 0.90 的单侧置信上BA限为。 75.6321.4.026.7)2(159.0_ tsxwBABA(第 6 章习题解答完毕)

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