1、填空题：1、设 A=2,4,6，A 上的二元运算*定义为：a*b=maxa,b ，则在独异点中，单位元是 ( )，零元是( )。答：2，62、设 A=3,6,9，A 上的二元运算*定义为：a*b=mina,b，则在独异点中，单位元是 ( )，零元是( )；答：9，33、设 a 是 12 阶群的生成元， 则 a2 是( )阶元素，a 3 是( )阶元素。答： 6,44、群的幂等元是 ( )，有( )个。答：单位元，15、设 a 是 10 阶群的生成元， 则 a4 是( )阶元素，a 3 是( )阶元素。答：5，106、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：循环群，任一非单位元7、是的
2、子群的充分必要条件是( )。答：是群 或 a，b G， a b H，a -1 H 或 a,b G，a b-1 H 8、在一个群G,* 中，若 G 中的元素 a 的阶是 k，则 a-1 的阶是( )。答：k9、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）(1) a*b=a-b (2) a*b=maxa,b (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|答：(2)10、设 G 是所有 3 位二进制数构成的集合，关于异或运算，G 中的幺元是（ ） ，011 的逆元是（ ） 。答：000，01111、 10 阶群的子群的阶数只可能是（ ） 。答：1,2,5,1012、设 G 是群， aG，
3、若|a|=12，则|a |=（ ） 。9答：413、设 A 是集合，P(A)是 A 的幂集，则代数系统中幺元是（ ） ；对任意 TP(A)，T 的逆元是（ ） 。答： ,T二、选择题1、在 N 上定义几个二元运算，其中不满足结合律的是（ ） 。A. a * b = a B. a*b=a+b-5C. a*b=a+3b D. a*b=maxa，b答：C2. 下面 4 个代数系统中构成群的是（ ） 。A. B. R ，C. D. A答：B3是群，下面子集中（ ）不是它的子群。13A. 1，2 ，4，8 B. 1，12C. 1， 3，9 D. 1，5，8 ，12答：A.4. 下面集合关于相应的加法和乘
4、法运算构成域的是（ ） 。A. a+b | a，bZ B. a+bi| a，bQ3C. a+b | a，bZ D. | a，b，c，dZ2 答：B.5. 下面关于循环群性质的描述，错误的是（ ） 。A. 循环群必是交换群B. 循环群的子群仍然是循环群C. 设 G 是 n 阶循环群，aG，则 a 是生成元当且仅当 a 的阶数是 nD循环群的生成元一定是唯一的答：D.6. 设 G 是群，e 是幺元，a，b ，cG，则下面关于群的性质描述错误的是（ ） 。A. 若 ab=b，则必有 a=e B. 若 bc，有可能 ab=acC. G 有唯一的幂等元 DaG=Ga答：B.7、6 阶有限群的任何子群一定
5、不是（ ） 。A.2 阶 B.3 阶 C. 4 阶 D. 6 阶答：C.证明题：1、求循环群 C12=e,a,a2,a11中 H=e,a4,a8的所有右陪集。解：因为|C 12|=12， |H|=3，所以 H 的不同右陪集有 4 个：H ，a,a 5,a9,a2,a6,a10,a3,a7,a11。2、求下列置换的运算：解：（1） =14321423342（2） =36524 16354216354= =136514256 6545、试求出 8 阶循环群 G=的所有生成元和所有子群。解：设 G 是 8 阶循环群， a 是它的生成元。则 G=e,a,a2,a7。由于 ak 是G 的生成元的充分必要
6、条件是 k 与 8 互素，故 a,a3,a5,a7 是 G 的所有生成元。因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是 G 的阶数的因子，故G 的子群只能是 1 阶的、 2 阶的、4 阶的或 8 阶的1 阶子群：e2 阶子群：e, a44 阶子群：e, a2, a4, a68 阶子群：G=e,a,a 2,a76、设是群，a G。令 H=x G|ax=xa。试证：H 是 G 的子群。证明：c，d H，ca=ac , da=ad。故(cd)a=c(da)=c(ad)=(ca)d=(ac) d=a(cd)。从而 cd H。由于 ca=ac,且满足消去律，所以 ac-1=c-1a。故 c-1 H。从而
7、H 是 G 的子群。7、设 G=1，3 ，5， 7，关于模 8 乘法运算，列出运算表，说明G 构成群。8、证明：有限群中阶大于 2 的元素的个数一定是偶数。证明：设 是有限群，则 a G，有|a|=|a -1|。且当 a 阶大于 2 时， a-1。故阶数大于 2 的元素成对出现，从而其个数必为偶数。9、证明：偶数阶群中阶为 2 的元素的个数一定是奇数。证明：设 是偶数阶群，则由于群的元素中阶为 1 的只有一个单位元，阶大于 2 的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为 2 的元素。故偶数阶群中阶为 2 的元素一定是奇数个。10、试求中每个元素的阶。解：0 是中关于 6 的单位元。则 |0|=1；|
8、1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。11、 Z 上的二元运算*定义为： a,b Z，a*b=a+b-2。试证：为群。证明：（1） a,b,c I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c)=a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。（2）记 e=2。对 a I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故 e=2 是 I 关于运算*的单位元。（3）对 a I，因为 a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a 是 a 关
9、于运算 *的逆元。综上所述， 为群。12、设为半群，a S。令 Sa=ai | i Z+ 。试证是的子半群。证明：b，c Sa，则存在 k,l I+，使得 b=ak,c=al。从而 bc=akal=ak+l。因为 k+l I+，所以 bc Sa，即 Sa 关于运算封闭。故 是的子半群。13、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。证明：（用反证法证明）设在素不少于两个的群中存在零元 。对 a G, 由零元的定义有 a* = 。是群， 关于*消去律成立。 a=e。即 G 中只有一个元素，这与|G| 2 矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。14、证明在一个群中单位元是惟一的。证明：设 e1,e
10、2 都是群G,*的单位元。 则 e1=e1*e2=e2。所以单位元是惟一的。15、设 a 是一个群G，*的生成元，则 a-1 也是它的生成元。证明：x G，因为 a 是G， *的生成元，所以存在整数 k，使得x=a 。k故 x=(a ) ) =(a ) ) =(a ) 。从而 a-1 也是G，* 的生成元。k11k1k17、代数系统是一个群，则 G 除单位元以外无其它幂等元。证明：设 e 是该群的单位元。若 a 是 的等幂元，即 a*a=a。因为 a*e=a，所以 a*a=a*e。由于运算*满足消去律，所以 a=e。即 G 除单位元以外无其它等幂元。19、设半群中消去律成立，则 是可交换半群当
11、且仅当a,b S， （ab） 2=a2b2。证明：a,b S， （ab） 2=(ab)(ab)=(ab)a)b=(a(ab)b=(aa)b)b=(aa)(bb)=a2b2;a,b S，因为（ ab） 2=a2b2，所以(ab)(ab)=(aa)(bb)。故a(ba)b)=a(a(bb)。由于满足消去律，所以(ba)b=a(bb)，即(ba)b=(ab)b。从而 ab=ba。故满足交换律。20、设群除单位元外每个元素的阶均为 2，则是交换群。证明：对任一 a G，由已知可得 a*a=e，即 a-1=a。对任一 a,b G，因为 a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算 *满足交换
12、律。从而G,* 是交换群。21、设 H 和 K 都 是 G 的子群。证明：H K 也是 G 的子群。证明：因为 H 和 K 都 是 G 的不变子群，所以 H K 是 G 的子群。对a G，h H K，有 aha-1 aHa-1，ha -1 aKa-1。因为 H 和 K 都 是 G 的不变子群，所以 aha-1 H 且 aha-1 K。从而 aha-1 H K。故H K 是 G 的不变子群。22、设群 G 的中心为 C（G）=a G| x G,ax=xa。证明C（G）是 G 的子群。证明：先证 C（G）是 G 的子群。a,b C（G） ，对 x G,有 ax=xa ，bx=xb。故（ab）x=
13、a(bx)= a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab), a-1x=xa-1。从而 ab，a -1 C（G ） 。 故 C（G）是 G 的子群。23、设是没有非平凡子群的有限群。试证： G 是平凡群或质数阶的循环群。证明：若 G 是平凡群，则结论显然成立。否则设的阶为 n。任取 a G 且 a e,记 H=（a）(由 a 生成的 G的子群) 。显然 H e，且 G 没有非平凡子群，故 H=G。从而 G 一定是循环群，且 a 是 G 的生成元。若 n 是合数，则存在大于 1 的整数 k,m，使得 n=mk。记 H=e,ak,(ak)2,(ak)m-1，易证 H 是 G 的子群，但 1是 p
14、 阶循环群，p 是素数。对 G 中任一非单位元 a。设 a 的阶为 k,则 k 1。由拉格朗日定理，k 是 p 的正整因子。因为 p 是素数，故 k=p。即a 的阶就是 p，即群 G 的阶。故 a 是 G 的生成元。26、 设是有限群，|G|n，则 aG，|a| n。证明：a G，由封闭性及 |G|=n 可知 a,a2,an,an+1 中必有相同的元素，不妨设为 ak=am,k中，若 G 中的元素 a 的阶是 k，即|a|=k，则 a-1的阶也是 k。证明：因为| a |=k，所以 ak=e。即（a -1） k=(ak)-1=e。从而 a-1 的阶是有限的，且|a -1| k。同理可证，a 的
15、阶小于等于 |a-1|。故 a-1 的阶也是 k。29、设 e 是奇数阶交换群的单位元，则 G 的所有元素之积为e。证明：设 G=，n 为正整数。12因为 G 的阶数为奇数 2n+1，所以由拉格朗日定理知 G 中不存在 2 阶元素，即除了单位元 e 以外， G 的所有元素的阶都大于 2。故对 G 中的任一非单位元 a，它的逆元 a 不是它本身，且 G 中不同的元素有不同的逆1元。由此可见，G 中的 2n 个非单位元构成互为逆元的 n 对元素。因为 G 是交换群，故 G 的所有元素之积可变成单位元和 n 对互为逆元的元素之积的积，从而结果为 e。30、设 S=Q Q，Q 为有理数集合，*为 S 上的二元运算：对任意， S,有 *=,求出 S 关于二元运算*的单位元，以及当 a 0 时，关于*的逆元。解：设 S 关于 *的单位元为 。根据*和单位元的定义，对 S,有*=, * = = 。即 ax=x, ay+b=y, xb+y=y 对 x,y Q 都成立。解得 a=1,b=0。所以 S 关于*的单位元为。当 a 0 时，设关于*的逆元为 。根据逆元的定义，有=即 ac=1,ad+b=0,cb+d=0。解得 c= ,d=- 。a1b所以关于*的逆元为。
