1、1弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已
2、知一点处的应力分量 MPa, MPa, MPa,则主应力10x50y 501xy150MPa, 0MPa, 。12638、已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa,则主应力2xy4xy512 MPa, -312 MPa, -3757。1219、已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa,则主应0x10y 0xy力 1052 MPa, -2052 MPa, -8232。12110、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。
3、分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可
4、能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。219、在有限单元法中,单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1;在其他结点 Ni=0 及N i=1。20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。二、判断题(请在正确命题后的括号内打“” ,在错误命题后的括号内打“” )1、连续性假定是指整个物体的体积都被
5、组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。()2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。()3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。 ()4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。 ()5、如果某一问题中, ,只存在平面应力分量 , , ,且它们不沿0zyxzxyxz 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应力问题。 ()6、如果某一问题中, ,只存在平面应变分量 , , ,且它们不沿zyz xyxz 方向变化,仅为 x,y 的函数,此问题是平面应变问题。 ()7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 ()8、表示位移
6、分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。 ()9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 ()10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。 ()11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。 ()12、按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。 ()13、在有限单元法中,结点力是指单元对结点的作用力。 ()14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。 ()15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 ( )三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。在研究对象方面,材料力学基本上只研究杆状构件,也就是长度远大
7、于高度和宽度的构件;而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外,还对非杆状结构,例如板和壳,以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面,材料力学研究杆状构件,除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外,大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定,这就大简化了数学推演,但是,得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件,一般都不必引用那些假定,因而得出的结果就比较精确,并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。32、简述弹性力学的研究方法。答:在弹性体区域内部,考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程;根据微
8、分线段上形变与位移之间的几何关系,建立几何方程;根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程。此外,在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上,根据边界上微分体的平衡条件,建立应力边界条件;在给定约束的边界上,根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题,即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。3、弹性力学中应力如何表示?正负如何规定?答:弹性力学中正应力用 表示,并加上一个下标字母,表明这个正应力的作用面与作用方向;切应力用 表示,并加上两个下标字母,前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴,后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
9、并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。相反,作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答:平面应力问题是指很薄的等厚度薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时,体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有 ,x, 。而平面应变问题是指很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长yx度变化的面力,同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化,对应的位移分量只有 u和 v5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相
10、同) ,那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。答:所谓逆解法,就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数;并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量;然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状,看这些应力分量对应于边界上什么样的面力,从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例,简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。(1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。(2)应用插值公式,由单元的结点位移求出单元的位移函数。(3)应用几何方程,由单元的位移函数求出单元的应变。(4)应用物理方程,由单元的应变求出单
11、元的应力。(5)应用虚功方程,由单元的应力出单元的结点力。(6)应用虚功方程,将单元中的各种外力荷载向结点移置,求出单元的结点荷载。4(7)列出各结点的平衡方程,组成整个结构的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足哪些条件?答:为了保证有限单元法解答的收敛性,位移模式应满足下列条件:(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移;(2)位移模式必须能反映单元的常量应变;(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移?每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是本单元的形变无关的,即刚体位移,
12、它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位,例如在靠近悬臂梁的自由端处,单元的形变很小,单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此,为了正确反映单元的位移形态,位移模式必须能反映该单元的刚体位移。10、在有限单元法中,为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变?答:每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。而且,当单元的尺寸较小时,单元中各点的应变趋于相等,也就是单元的应变趋于均匀,因而常量应变就成为应变的主要部分。因此,为了正确反映单
13、元的形变状态,位移模式必须能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中,能否选取如下的位移模式并说明理由:(1) ,yxyxu321),(2654),(yxxv(2) ,22y答:(1)不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项;对坐标x,y 不对等;在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。(2)不能采用。因为,位移模式没有反映刚体位移和常量应变项;在单元边界上的连续性条件也不满足。四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1) , , ;ByAxDyCxFyEx(2) , , ;)(2x
14、 )(2yCxy其中,A,B ,C,D,E,F 为常数。解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程5;(2)在区域内的相容方程 ;(3)在边界上的应0xyyyx 02yx力边界条件 ;(4)对于多连体的位移单值条件。sflmysxy(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须 A=-F,D =-E。此外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程,其系数必须满足 A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量 , , ,体力不计,Q312xQyx23xyCyyxCx
15、y232为常数。试利用平衡微分方程求系数 C1,C 2,C 3。解:将所给应力分量代入平衡微分方程 0xyyyx得 02332321xyCQ即 3221xy由 x,y 的任意性,得 02331CQ由此解得, , ,61QC323、已知应力分量 , , ,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和qxy0xy相容方程。解:将已知应力分量 , , ,代入平衡微分方程xqyxy60YxyXyyx可知,已知应力分量 , , 一般不满足平衡微分方程,只有体力忽qx略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程: yxxyxyyx 222 )1()(将已知应力分量 , , 代入上式,可知满足相容方程。qx0y
16、按应力求解平面应变问题的相容方程: yxxyxyyx 222 1)()1(将已知应力分量 , , 代入上式,可知满足相容方程。qx0y4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1) , , ;Axy3B2DyCxy(2) , , ;2xy2(3) , , ;0x其中,A,B ,C,D 为常数。解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即 yxyx22将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:(1)相容。(2) (1 分) ;这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A =C。CyA(3)0= C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则 , ,
17、 (10xy0xy分) 。5、证明应力函数 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解2by决什么问题(体力不计, ) 。0l/2 l/2h/2h/2yxO7解:将应力函数 代入相容方程2by02444yx可知,所给应力函数 能满足相容方程。2by由于不计体力,对应的应力分量为, ,yx202xy02yxy对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边, , , , , ;2hy0l1m0)(2hyxf0)(2hyyf下边, , , , , ;l)(2hyxf )(2hyyf左边, , , , , ;2lx10mbflxx)(20)
18、(2lxyf右边, , , , , 。lflxx)(2)(2lxyf可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此,应力函数 能解决矩形板在 x 方向受均布拉力( b0)和均布压力(b0)的问题。2by6、证明应力函数 能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解ax决什么问题(体力不计, ) 。0l/2 l/2h/2h/2yxO8O xybqg解:将应力函数 代入相容方程axy02444yx可知,所给应力函数 能满足相容方程。xy由于不计体力,对应的应力分量为, ,02x02xy ayxy2对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上
19、下左右四个边上的面力分别为:上边, , , , , ;2hy0l1mafhyx2)(0)(2hyyf下边, , , , , ;lfhyx2)()(2hyyf左边, , , , , ;2lx10m0)(2lxxfaflxy2)(右边, , , , , 。l )(2lxxfflxy2)(可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此,应力函数 能解决矩形板受均布剪力的问题。a7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为 ,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设 。由此可知0x2yx将上式对
20、y 积分两次,可得如下应力函数表达式)(,21xff将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0)()(4241dxffy这是 y 的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的 y 值都应该满足它) ,可见它的系数和自由项都应该等于零,即9, 0)(41dxf 0)(42dxf这两个方程要求, ICBAxf231)( KJxEDf232)(代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得 2323)(xxy对应应力分量为02yxgyEDxBAy 26)(2Cyxy32以上常数可以根据边界条件确定。左边, , , ,沿 y 方向无面力,所以有0x1l0m0)(x右边,
21、, , ,沿 y 方向的面力为 q,所以有bl BbAbx23)(上边, , , ,没有水平面力,这就要求 在这部分边界上合成的主0yl1mxy矢量和主矩均为零,即 0)(0dxyb将 的表达式代入,并考虑到 C=0,则有xy 0)23( 230230 BbAxBxAbb而 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求 在这)(00dxybx y部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即, 0)(0dxyb0)(0xdyb将 的表达式代入,则有y 2323)26(00 EbDxxEDbb 0d10由此可得, , , ,2bqAB0CD0E应力分量为, , 0xgyxy3123bxqxy虽然
22、上述结果并不严格满足上端面处(y=0 )的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离 y=0 处这一结果应是适用的。8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为, ,其中 V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为,xVfyf, , ,试导出相应的相容方程。yx2xy2yxy2证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量 , ,xy应当满足平衡微分方程xy(1 分)0yVxyyx还应满足相容方程(对于平面应力问题)yfxyxyx12(对于平面应变问题)fyx2并在边界上满足应力边界条件(1 分) 。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡
23、微分方程。将其改写为 0xVyyxx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为 yxx根据微分方程理论,一定存在某一函数 A(x,y ) ,使得11,yAVxxy同样,将第二个方程改写为(1 分)yxy可见也一定存在某一函数 B(x,y ) ,使得,xBVyyx由此得 yxA因而又一定存在某一函数 ,使得yx,,AxB代入以上各式,得应力分量, ,Vyx2xy2yxy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数 必须满足一定的方程,,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得 VyxVxyx 2222 1yy2222简写为 V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题的相
24、容方程,得 yxxyx 2222 VVyy2222 1简写为12V2419、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为 ,试用纯三次的应力函数求解。解:纯三次的应力函数为 323dycxba相应的应力分量表达式为, , dycxfyx622 gyfx62 cybxxy22这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。上边, , , ,没有水平面力,所以有0yl1m02)(bxyx对上端面的任意 x 值都应成立,可见同时,该边界上没有竖直面力,所以有 06)(axy对上端面的任意 x 值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为, ,dyc
25、x62gycyx2斜面, , , ,没有面力,所以有tanxysinosl osm0tantxyyxl由第一个方程,得 0sinta6si4cot2sinta62 dxdxcO xy g13对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求 0tan64dc由第二个方程,得 0sinit2ostsinta2 gxxgxc对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求(1 分)0ta2c由此解得(1 分) ,otg2cot3gd从而应力分量为, , 2cttyxytx设三角形悬臂梁的长为 l,高为 h,则 。根据力的平衡,固定端对梁的约束lan反力沿 x 方向的分量为 0,沿 y 方向的分量为 。因此,所求 在这部
26、分边界上gh21x合成的主矢应为零, 应当合成为反力 。xyl0cottcott 2020 gldygldhlxh lhhyly 112可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角 ,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为 ,液体的密度为 ,试求应力分量。12解:采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与 成正比(g 是重力加速度) ;1另一部分由液体压力引起,应当与 成正比。此外,2每一部分还与 ,x ,y 有关。由于应
27、力的量纲是 L-1MT-2, 和 的量纲是 L-2MT-2, 是量纲一的g12 量,而 x 和 y 的量纲是 L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式只可能是 , , , 四项的组合,而其中的 A,B ,C,D 是量gA1yB1xC2yD2纲一的量,只与 有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是 x 和 y 的纯一次式。其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高2g 1gyxO14二次,应该是 x 和 y 纯三次式,因此,假设 323dycxba相应的应力分量表达式为, , dycxfyx622 gyfx126 cybxxy22这些应力分量是满足平
28、衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。左面, , , ,作用有水平面力 ,所以有0x1l0mgy2dx06)(对左面的任意 y 值都应成立,可见 62g同时,该边界上没有竖直面力,所以有 0)(cyxy对左面的任意 y 值都应成立,可见因此,应力分量可以简化为, ,gyx2gybax126bxx2斜面, , , ,没有面力,所以有tanyxcosl sinsm0tantyxyxl由第一个方程,得 sit2cos2bg对斜面的任意 y 值都应成立,这就要求 0inta2由第二个方程,得 0sini4sit6costnsi2tan6 11 ygbbygby 对斜面的任意 x 值都应成立,这就要求 04ta61g由此解得,321cotctga2cotb15从而应力分量为, , gyx2ygxg12321 cotcott 2cotgxx