1、第 1 页（共 24 页）2014 年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分）1 （5 分）已知全集 U=R，A=x|x0，B=x |x1，则集合 U（A B ）= （ ）Ax |x0 Bx|x 1 Cx|0x 1 Dx|0x 12 （5 分）设复数 z 满足（ z2i） （2i）=5，则 z=（ ）A2 +3i B23i C3+2i D3 2i3 （5 分）已知 a= ，b=log 2 ，c=log ，则（ ）Aa b c Bacb Ccba Dcab4 （5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若
2、 m ，n ，则 mnC若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n5 （5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是（ ）Ap q Bpq C （p ）（q） Dp（q ）6 （5 分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A B C D7 （5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 24 页）A8 B8 C8 D8 28 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 C：y 2=2px 的准线上，记 C 的
3、焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（ ）A B1 C D9 （5 分）设等差数列a n的公差为 d，若数列2 为递减数列，则（ ）Ad 0 Bd0 Ca 1d0 Da 1d010 （5 分）已知 f（x ）为偶函数，当 x0 时，f（ x）= ，则不等式 f（x 1） 的解集为（ ）A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 11 （5 分）将函数 y=3sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 ， 上单调递减 B在区间 ， 上单调递增C在区间 ， 上单调递减 D在区间 ， 上单调递增12 （5 分）当 x2，1时，不等式 ax3x2+4x+30 恒
4、成立，则实数 a 的取值范第 3 页（共 24 页）围是（ ）A 5，3 B6， C 6，2 D 4，3二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分）13 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 n=3，则输出 T= 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+4y 的最大值为 15 （5 分）已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B ，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|+|BN|= 16 （5 分）对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22ab+b2c=0 且使|2a+b |最大时，+ + 的最小值为
5、第 4 页（共 24 页）三、解答题17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c ，且 ac，已知 =2， cosB= ，b=3 ，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC ）的值18 （12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100（）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在
6、从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率附：X 2= P（x 2k ）0.1000.0500.010k 2.7063.8416.63519 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E 、F 、G 分别为 AC、DC、AD 的中点（）求证：EF平面 BCG；（）求三棱锥 DBCG 的体积附：锥体的体积公式 V= Sh，其中 S 为底面面积，h 为高第 5 页（共 24 页）20 （12 分）圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图） （）求点
7、 P 的坐标；（）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：y=x+ 交于 A、B 两点，若PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程21 （12 分）已知函数 f（ x）= （x cosx）2sinx2， g（x ）=（x）+ 1证明：（）存在唯一 x0（0， ） ，使 f（x 0）=0 ；（）存在唯一 x1（ ，） ，使 g（x 1）=0，且对（ ）中的 x0，有x0+x1 四、选考题，请考生在 22-24 三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给第 6 页（共 24 页）分选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 C
8、E 上一点且PG=PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F（）求证：AB 为圆的直径；（）若 AC=BD，求证：AB=ED选修 4-4：坐标系与参数方程23将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C（）写出 C 的参数方程；（）设直线 l：2x+y2=0 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x ）=2|x1|+x1，g（x）=16x 28x+1记 f（x）1 的解集为M，g（x）
9、4 的解集为 N（）求 M；（）当 xMN 时，证明：x 2f（x）+xf （x） 2 第 7 页（共 24 页）2014 年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分）1 （5 分）已知全集 U=R，A=x|x0，B=x |x1，则集合 U（A B ）= （ ）Ax |x0 Bx|x 1 Cx|0x 1 Dx|0x 1【解答】解：AB=x|x 1 或 x0，C U（AB）=x |0x 1，故选：D2 （5 分）设复数 z 满足（ z2i） （2i）=5，则 z=（ ）A2 +3i B23i C3+2i D3 2i【解答】解：由（z2i） （2 i）
10、=5 ，得：，z=2+3i 故选：A3 （5 分）已知 a= ，b=log 2 ，c=log ，则（ ）Aa b c Bacb Ccba Dcab【解答】解：0a= 2 0=1，b=log2 log 21=0，c=log =log23log 22=1，cab第 8 页（共 24 页）故选：D4 （5 分）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若 m ，n ，则 mnC若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n【解答】解：A若 m，n ，则 m，n 相交或平行或异面，故 A 错；B若 m ，n，则 mn，故 B 正确；C若 m，mn，则
11、 n 或 n，故 C 错；D若 m，mn，则 n 或 n 或 n ，故 D 错故选 B5 （5 分）设 ， ， 是非零向量，已知命题 p：若 =0， =0，则 =0；命题 q：若 ， ，则 ，则下列命题中真命题是（ ）Ap q Bpq C （p ）（q） Dp（q ）【解答】解：若 =0， =0，则 = ，即（ ） =0，则 =0 不一定成立，故命题 p 为假命题，若 ， ，则 平行，故命题 q 为真命题，则 pq，为真命题，p q， （p）（q ） ，p（q）都为假命题，故选：A6 （5 分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以 AB 为直
12、径的半圆内的概率是（ ）A B C D【解答】解：AB=2，BC=1，长方体的 ABCD 的面积 S=12=2，第 9 页（共 24 页）圆的半径 r=1，半圆的面积 S= ，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ，故选：B7 （5 分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A8 B8 C8 D8 2【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱，正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2，几何体的体积 V=232 122=8故选：C8 （5 分）已知点 A（2，3）在抛物线 C：y 2=2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线
13、 AF 的斜率为（ ）A B1 C D【解答】解：点 A（2，3）在抛物线 C：y 2=2px 的准线上， =2，F（2，0） ，第 10 页（共 24 页）直线 AF 的斜率为 = 故选：C9 （5 分）设等差数列a n的公差为 d，若数列2 为递减数列，则（ ）Ad 0 Bd0 Ca 1d0 Da 1d0【解答】解：数列2 为递减数列， 1，即 1， 1，a 1（a n+1an）=a 1d0故选：D10 （5 分）已知 f（x ）为偶函数，当 x0 时，f（ x）= ，则不等式 f（x 1） 的解集为（ ）A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 【解答】解：当 x0， ，由 f（x
14、）= ，即 cosx= ，则 x= ，即 x= ，当 x 时，由 f（x）= ，得 2x1= ，解得 x= ，则当 x0 时，不等式 f（ x） 的解为 x ， （如图）则由 f（ x）为偶函数，第 11 页（共 24 页）当 x0 时，不等式 f（ x） 的解为 x ，即不等式 f（x） 的解为 x 或 x ，则由 x1 或 x1 ，解得 x 或 x ，即不等式 f（x1） 的解集为x | x 或 x ，故选：A11 （5 分）将函数 y=3sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 ， 上单调递减 B在区间 ， 上单调递增C在区间 ， 上单调递减 D在
15、区间 ， 上单调递增【解答】解：把函数 y=3sin（2x + ）的图象向右平移 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin2（x ）+ 即 y=3sin（2x ） 当函数递增时，由 ，得取 k=0，得 所得图象对应的函数在区间 ， 上单调递增第 12 页（共 24 页）故选：B12 （5 分）当 x2，1时，不等式 ax3x2+4x+30 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A 5，3 B6， C 6，2 D 4，3【解答】解：当 x=0 时，不等式 ax3x2+4x+30 对任意 aR 恒成立；当 0x1 时，ax 3x2+4x+30 可化为 a ，令 f（x）= ，则 f
16、（x ）= = （*） ，当 0x1 时，f（x ）0，f（x ）在（0，1上单调递增，f（x） max=f（ 1）= 6，a 6；当2 x0 时，ax 3x2+4x+30 可化为 a ，由（* ）式可知，当2x 1 时，f（x ）0，f（ x）单调递减，当1x0 时，f（x ）0，f（x）单调递增，f（x） min=f（1）=2，a2；综上所述，实数 a 的取值范围是6a 2，即实数 a 的取值范围是6， 2故选：C二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分）13 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 n=3，则输出 T= 20 第 13 页（共 24 页）【解答】解：由程序框图知：算法的功能
17、是求 T=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3 +i）的值，当输入 n=3 时，跳出循环的 i 值为 4，输出 T=1+3+6+10=20故答案为：2014 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+4y 的最大值为 18 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 ，C （2，3） 第 14 页（共 24 页）化目标函数 z=3x+4y 为直线方程的斜截式，得： 由图可知，当直线 过点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，即 z 最大z max=32+43=18故答案为：1815 （5 分）已知椭圆 C： + =1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M
18、关于 C 的焦点的对称点分别为 A、B ，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|+|BN|= 12 【解答】解：如图：MN 的中点为 Q，易得 ， ，Q 在椭圆 C 上，|QF 1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12故答案为：12第 15 页（共 24 页）16 （5 分）对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22ab+b2c=0 且使|2a+b |最大时，+ + 的最小值为 1 【解答】解：4a 22ab+b2c=0， =由柯西不等式得， 2（a ）+ 2 2=|2a+b|2故当|2a+b |最大时，有 ，c=b 2 + + = =当 b=2 时，取得最小值为 1故答案为
19、：1三、解答题17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c ，且 ac，已知 =2， cosB= ，b=3 ，求：（）a 和 c 的值；（）cos（BC ）的值【解答】解：（） =2，cosB= ，cacosB=2，即 ac=6，b=3，由余弦定理得：b 2=a2+c22accosB，即 9=a2+c24，a 2+c2=13，第 16 页（共 24 页）联立得：a=3，c=2；（）在ABC 中，sinB= = = ，由正弦定理 = 得： sinC= sinB= = ，a=bc，C 为锐角，cosC= = = ，则 cos（BC） =cosBcosC+sinBs
20、inC= + = 18 （12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 20 80北方学生 10 10 20合计 70 30 100（）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率附：X 2= P（x 2k ）0.1000.0500.010k 2.7063.8416.635【解答】解：（）由题意，X 2= 4.
21、762 3.841，有 95%的把握认为 “南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；第 17 页（共 24 页）（）从这 5 名学生中随机抽取 3 人，共有 =10 种情况，有 2 名喜欢甜品，有 =3 种情况，至多有 1 人喜欢甜品的概率 19 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E 、F 、G 分别为 AC、DC、AD 的中点（）求证：EF平面 BCG；（）求三棱锥 DBCG 的体积附：锥体的体积公式 V= Sh，其中 S 为底面面积，h 为高【解答】 （）证明：AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，ABCD
22、BC，AC=DC，G 为 AD 的中点，CGAD 同理 BGAD ，CGBG=G，AD平面 BGC，第 18 页（共 24 页）EF AD，EF 平面 BCG；（）解：在平面 ABC 内，作 AOCB ，交 CB 的延长线于 O，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，AO平面 BCD，G 为 AD 的中点，G 到平面 BCD 的距离 h 是 AO 长度的一半在AOB 中，AO=ABsin60= ，V DBCG=VGBCD= = = 20 （12 分）圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图） （）求点 P 的坐标；（）焦点在
23、x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：y=x+ 交于 A、B 两点，若PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程第 19 页（共 24 页）【解答】解：（）设切点 P 的坐标为（x 0，y 0） ，且 x00，y 00则切线的斜率为 ，故切线方程为 yy0= （x x0） ，即 x0x+y0y=4此时，切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成的三角形的面积 S= =再根据 + =42x 0y0，可得当且仅当 x0=y0= 时，x0y0 取得最大值为 2，即 S 取得最小值为 =4，故此时，点 P 的坐标为（ ， ） （）设椭圆的标准方程为 + =1，a b0，椭圆 C 过点P， + =1由
24、 求得 b2x2+4 x+62b2=0，x 1+x2= ，x 1x2= 由 y1=x1+ ，y 2=x2+ ，可得 AB= |x2x1|= = = 由于点 P（ ， ）到直线 l：y=x+ 的距离 d= ，PAB 的面积为 S= ABd=2，可得 b49b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，当 b2=6 时，由 + =1 求得 a2=3，不满足题意；当 b2=3 时，由 + =1 求得 a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 第 20 页（共 24 页）+ =121 （12 分）已知函数 f（ x）= （x cosx）2sinx2， g（x ）=（x）+ 1证明：（）存在唯一 x
25、0（0， ） ，使 f（x 0）=0 ；（）存在唯一 x1（ ，） ，使 g（x 1）=0，且对（ ）中的 x0，有x0+x1 【解答】解：（）当 x（0， ）时，f（x）= +sinx2cosx0，f（ x）在（0， ）上为增函数，又 f（0）=20，f（ ）= 40 ，存在唯一 x0（0， ） ，使 f（x 0）=0 ；（）当 x ， 时，化简可得 g（ x）=（x） + 1=（ x） + 1，令 t=x，记 u（t ）=g（t）= t+1，t0， ，求导数可得 u（t）= ，由（）得，当 t（0， x0）时，u（t）0，当 t（x 0， ）时，u（t）0，函数 u（t）在（x 0， ）上
26、为增函数，由 u（ ）=0 知，当 tx0， ）时，u（t）0，函数 u（t）在x 0， ）上无零点；第 21 页（共 24 页）函数 u（t）在（0，x 0）上为减函数，由 u（0）=1 及 u（x 0） 0 知存在唯一 t0（0，x 0） ，使 u（t 0）=0，于是存在唯一 t0（0， ） ，使 u（t 0）=0 ，设 x1=t0（ ， ） ，则 g（x 1）=g（t 0）=u（t 0）=0，存在唯一 x1（ ，） ，使 g（x 1）=0，x 1=t0，t 0x 0，x 0+x1四、选考题，请考生在 22-24 三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修 4-1：几何证明选讲22
27、（10 分）如图，EP 交圆于 E，C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且PG=PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F（）求证：AB 为圆的直径；（）若 AC=BD，求证：AB=ED【解答】证明：（）PG=PD，PDG=PGD，PD 为切线，PDA=DBA，PGD= EGA，DBA=EGA，DBA+BAD=EGA+BAD ，BDA=PFA，AFEP，PFA=90第 22 页（共 24 页）BDA=90 ，AB 为圆的直径；（）连接 BC，DC，则AB 为圆的直径，BDA=ACB=90 ，在 RtBDA 与 RtACB 中，AB=BA，AC=BD，R
28、tBDARt ACB，DAB=CBA ，DCB=DAB，DCB=CBA，DCAB，ABEP，DCEP ，DCE 为直角，ED 为圆的直径，AB 为圆的直径，AB=ED选修 4-4：坐标系与参数方程23将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线第 23 页（共 24 页）C（）写出 C 的参数方程；（）设直线 l：2x+y2=0 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程【解答】解：（）在曲线 C 上任意取一点（x，y） ，由题意可得点（x， ）在圆 x2+y2
29、=1 上，x 2+ =1，即曲线 C 的方程为 x2+ =1，化为参数方程为 （02， 为参数） （）由 ，可得 ， ，不妨设 P1（1，0） 、P 2（0，2） ，则线段 P1P2 的中点坐标为（ ，1） ，再根据与 l 垂直的直线的斜率为 ，故所求的直线的方程为 y1= （x ） ，即x2y+ =0再根据 x=cos、y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为 cos2sin+ =0，即 = 选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x ）=2|x1|+x1，g（x）=16x 28x+1记 f（x）1 的解集为M，g（x） 4 的解集为 N（）求 M；（）当 xMN 时，证明：x 2f（x）+xf （x） 2 【解答】解：（）由 f（x ）=2|x1|+x11 可得 ，或 第 24 页（共 24 页）解求得 1x ，解 求得 0x1综上，原不等式的解集为0， （）证明：由 g（ x）=16x 28x+14，求得 x ，N= ， ，M N=0， 当 xMN 时，f（x）=1x，x 2f（x）+xf（x） 2 =xf（x ）x+f（x ）= ，故要证的不等式成立
