1、 学案 6：二面角及其度量一、学习目标：1、理解二面角的平面角的概念 2、会求二面角二、学习重点：求二面角的大小。学习难点：找二面角的平面角三、学习过程：学习活动一：定义法求二面角 【问题 1】二面角的定义平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做 。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，每个半平面叫做 。棱为l，两个面分别为 ， 的二面角，记为_【问题2】二面角的平面角在二面角 l 的棱上任取一点 O，在两个半平面内分别作射线 OAl、OBl ，则_叫做二面角 l 的平面角【问题 3】直二面角平面角是_的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是 的平面
2、注意：二面角的大小可以用它的 来度量小试牛刀 1：1如图，在正方体 ABCDABCD中，(1) 平面 ABCD与底面 ABCD 所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；(2) 平面 ABCD与后面 DCCD所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 (3) 平面 ABCD与侧面 BBCC所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；(4)二面角 C-BD-C 的棱是 ，平面角是 ，二面角的正切值是 .2如图，将边长为 a 的正三角形 ABC，沿 BC 边上的高线 AD 将 ABC 折起，若折起后 B、 C 间距离为，则二面角 BADC 的平面角是 大小为a2_学习活动二：向量法求二面角【方法一】分别
3、在二面角 -l- 的面 ， 内，作向量n1 l， n2 l，则可用 度量这个二面角.小试牛刀 2：一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为 【方法二】法向量法设 m1 ，m 2 ，则m 1，m 2与该二面角 注意：此方法的运用适宜于：在空间直角坐标系下，平面 ， 的法向量便于确定二面角的大小便于定性(锐角、钝角 )从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角小试牛刀 3：已知两平面的法向量分别为 m=（0,1,0） ，n=（0,1,1） ，且两平面所成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为 学习活动三：射影面积法求二面角【方法】已知二
4、面角 -l- 的度数为 （0 ） ，在 面内2有ABC,它在 内的射影为ABC,且它们的面积分别为S、S则有 即 cos= 小试牛刀 4：在正方体 AC1 中，E、F 分别是 B1C1、C 1D1 的中点，若截面EFDB 与侧面 BCC1B1 所成的锐二面角为 ，则 cos_.四、整体建构五、应用学习1如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 2 的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形，试画出二面角 PABC5的平面角并求它的度数2、二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知AB2，AC3，BD3，CD ，求该二面角的大小1
5、33、如图，四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD.底面 ABCD 为边长是 1 的正方形，PA1，求平面 PCD 与平面 PAB 夹角的大小4、ABC 是边长为 1 的正三角形，CD平面 ABC，且 CD=1，求二面角 B-AD-C 的大小。PA BCD六、当堂检测 A 组1在二面角的一个面内有一点 A，它到棱的距离等于到另一个面的距离的 2 倍, 则二面角的度数是 2若 P 是ABC 所在平面外一点，且 PBC 和ABC 都是边长为 2 的正三角形，PA ，那么二面角 PBCA 的大小为6_3在 90二面角的棱上有两个点 A,B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱
6、 AB。已知AB=5，AC=3 ，BD=8，则 CD 长为 4如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数) 是60，山坡上有一条直道 CD，它和坡脚的水平线AB 的夹角是 30，沿这条路上山，行走 100 米后升高了 米5已知正三棱锥 S-ABC 的棱长都为 1，则侧面与底面的二面角的余弦值为 6如图，三棱锥 VABC 中，VA=VC=AB=BC=2，AC=2 ，VB=1，试画出二面角 VAC3B 的平面角，并求它的度数.7(2009上海)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1BCAB 2，ABBC，求二面角 B1A 1CC 1 的大小B 组如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中ADBC ，ABC90，PA 平面ABC，PA 4，AD2，AB ，BC 6，求二面角32APCD 的余弦值A CDB
