1、用心 爱心 专心 11.3 算法案例辗转相除法与更相减损术【知识与技能】（一）辗转相除法辗转相除法是求最大公约数的方法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0和一个余数 r0；第二步：若 r00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r00，则用除数 n 除以余数 r0得到一个商 q1和一个余数 r1；第三步：若 r10，则 r1为 m，n 的最大公约数；若 r10，则用除数 r0除以余数 r1得到一个商 q2和一个余数 r2；依次计算直至 rn0，此时所得到的 rn1
2、 即为所求的最大公约数。（二）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。（三）辗转相除法与更相减损术的区别用心 爱心 专心 2（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算
3、次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。【过程与方法】例 1：求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。分析：8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数。解：8251610512146显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是8251 的约数，所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 214
4、6 的最大公约数。6105214621813214618131333181333351483331482371483740则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。例 2：用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即：986335633528352872872121714用心 爱心 专心 31477所以，98 与 63 的最大公约数是 7。【情态与价值】一、选择题：1用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）A2 B3 C4 D52两个整数 228 和 1995 的最大公约数是（ ）A 38 B57 C76 D171二、填空题3 是我国古代数学专著 中介绍的一种求两数最大公约数的方法。4117 与 182 的最大公约数是 。三、解答题5求三个数 168，56，264 的最大公约数。参考答案：1A 2 B 3更相减损术 九章算术 413556（提示先求 168 与 56 的最大公约数，再将前两个数的最大公约数与第三个数求最大公约数）
