高中数学教学论文 盘点二项式定理中“系数”题型.doc

1、用心 爱心 专心 1盘点二项式定理中的“系数”题型高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式中某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项式定理中的系数问题。一直接利用二项展开式通项公式求某项系数。例 1 （2009 浙江卷理）在二项式 251()x的展开式中，含 4x的项的系数是( ) . A 0 B 0 C 5 D 解析：本题属于二项式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其通项 251031 51()rrrrrrT

2、CxCx，对于 4,2r，则4x的项的系数是 250， 答案选 B 。二正确区分“两个系数”即二项式系数和项的系数例 2 (1)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项。思路导析：二项式系数是指 rnC，而项的系数由二项式系数 rnC和数的乘积构成解析：二项展开式的通项 12rrTx，由第 6 项与第 7 项的系数相等得，5628nC，所以，展开式中二项式系数最大的项为 4458210Tx，设第 1r项系数最大，则1882rrC解之得 6r即 或所以，系数最大的项为 55679Tx或 6782179TCx点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，

3、统一为 rn，而项的系数应是 rnC与数的幂的乘积组成，这一不同要仔细区分。三求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数例 3（1） 27()1(1)xx 展开式中， 3x项的系数为_（2）设 422340134aaAxA则 2_A _（3） 9()xyz 展开式中 423xyz系数为_用心 爱心 专心 2思路导析：对于（1）中所求 3x项的系数，应先研究清楚 3x项的构成， 2(1),x中均没有 3x，从 3(1)开始出现 ，故应分别计算其后五项中 的系数之和即得；对于（2） （3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。解析：（1） 项系数为 3344780CC（2） A即 2x系数，

4、即从 1234,a中取两元的所有组合的和，即 1342343()()aa，同理 124134234Aaa.（3）由 9()()xyzxyzzxyz知 4 个括号取 x，余下 5 括号取 2y，再从余下 3 个括号取 z，于是得 23系数为 4239(1)504C.点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时，要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。四通过通项研究展开式系数特征例 4（2010 湖北理数 11）在（x+ 43y） 20的展开式中，系数为有理数的项共有_项。思路导析：通过求

5、二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列出即可。解析：二项式展开式的通项公式为 202044120(3)()(20)rrrrrTCxyxy要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项. 答案为 6五求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和例 5 已知 25(31)x10910axax ， 求20246810)a 23579()的值。思路导析：由平方差公式，所求 246810 23579()aa01210() ()aa其中 a 为展开式各项系数之和，赋值法令

6、 x=1 即得；02468103579()()为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令 x=-1 即得。解析：令 x=1, 得 501210aa ，用心 爱心 专心 3令 x=-1, 得 02468103579()()aaaa56, 0246810()35(279)12。点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式 ()ngxpq201naxax，有以下结论：（1）g(x)的二项式系数和为 2n；（2）g(x)的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和= 12n；（3）g(x)的各项系数和为 g(1) ；（4）g(x)的奇数项的系数和为 ()2g；（5）g(x)的偶数项系数和为

7、 1()g 。这里常用到一种重要方法：赋值法。六赋值法在解决系数问题中的综合应用例 6（2009 陕西卷）若 2092091() ()xaxaxR ,则20912aa的值为 （A）2 （B）0 （C） (D) 2 思路导析：如果从二项展开式中各系数 na表达式入手，将其写出为 09()nnaC，可以发现 2081920a，同理可以得出 207+=, 326亦即前 2008 项和为 0,故只需求 9即可，此为思路一；思路二：如果整体研究 20129a ，可将分母中 2 的指数与 na的下标统一起来，采用赋值法只需令 x即可使问题迎刃而解。解法一:由题意 1 208208208209 9()20

8、,()()9aCaC,则881 120,+=aa即, 同理可以得出 207+=a,36+=亦即前 2008 项和为 0, 则原式= 20912aa =2090()1C故选 C.解法二：（赋值法）令 x得， 209120 ，又令 x得 0a，所以得 20912aa ，故选 C.附变式训练用心 爱心 专心 41：已知( x12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为 143，则展开式中常数项是(A)1 (B)1 (C)45 (D)452设二项式 n)3(的展开式的各项系数的和为 P，所有二项式系数的和为 S，若7SP，则 （ ）()A4 B5 ()C6 ()D83若 432104) xaxax，则 231240)(aa的值为 （ ）()1 (-1 ()0 ()24（2009 北京卷文）若 4),b为有理数） ，则 b （ ）. A33 B 29 C23 D195 求 10(32)xyz 展开式的各项系数之和为_。6（2010 江西理数） 8x展开式中不含 4x项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2答案 1。D；2。 A；3 ；4 B；5 解：令 x=y=z=1 ， 得 10(2) ， 即展开式系数之和为 0。6 B【提示】采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4x项系数 802(1)C即为所求，答案为 0.