1、乘法原理与加法原理一、 学习要点：乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 31=3如果此人到大连后，可以乘船或
2、飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到 32=6在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来这种方法叫穷举法穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1m2 mn 种不同的方法这就是乘法原理加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不
3、同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决例如 某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5 种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成
4、这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+mk种不同的方法这就是加法原理二、 典例剖析：乘法原理例 1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例 2 右图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例 3 书架上有 6 本不同的外语书，4 本不同的语文书，从中任取外语、语文
5、书各一本，有多少种不同的取法？例 4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100 米跑、200 米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例 5 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？例 6 由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例 7 右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？分析 由于四个棋子要一个一个地放入方格内故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子 A，A可以放在
6、16 个方格中的任意一个中，故有 16 种不同的放法；第二步放棋子 B，由于 A 已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放 B，故还剩下 9 个方格可以放 B，B 有 9 种放法；第三步放C，再去掉 B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放 C，C 有 4 种放法；最后一步放 D，再去掉 C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放 D，D 有 1 种放法，本题要由乘法原理解决解：由乘法原理，共有16941=576种不同的放法加法原理例 1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150 本，不同的科技书 200 本，不同的小说 100
7、本那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？450（种）例 2 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(11)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？(24)例 3 如右图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？例 4 如下页图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析 从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过 C 点到 B 点
8、，一类是从 A 点先经过 D 点到B 点两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A 到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可解：从 A 点先经过 C 到 B 点共有：13=3（种）不同的走法从 A 点先经过 D 到 B 点共有：23=6（种）不同的走法所以，从 A 点到 B 点共有：3+6=9 （种）不同的走法例 5 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？分析 从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含
9、4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 1、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、2、3、这三种情况十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，个位上，不含 4 的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有399=243 个三位数由于 500 也是一个不含 4 的
10、三位数所以，1500 中，不含 4 的三位数共有399+1=244 个解：在 1500 中，不含 4 的一位数有 8 个；不含 4 的两位数有 89=72 个；不含 4 的三位数有399+1=244 个，由加法原理，在 1500 中，共有：8+89+399+1=324（个）不含 4 的自然数补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个 0 的三位数，如：把 1 看成是 001把两位数看成是前面有一个 0 的三位数如：把 11 看成 011那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看成是“三位数”，除去 500 外，考虑不含有 4 的这样的“三位数”百位上，有 0、1、2、3 这四种
11、选法；十位上，有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种选法；个位上，也有九种选法所以，除 500 外，有499=324 个不含 4 的“三位数”注意到，这里面有一个数是 000，应该去掉而 500 还没有算进去，应该加进去所以，从 1 到 500 中，不含 4 的自然数仍有 324 个这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决例 6 如下页左图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方问有多少种不同的走法？分析 观察下页左图，注意到，从 A 到 B 要一直向右、向上，那么，经过下页右图中 C、D、E、F四点中的某一
12、点的路线一定不再经过其他的点也就是说从 A 到 B 点的路线共分为四类，它们是分别经过 C、D、E、F 的路线第一类，经过 C 的路线，分为两步，从 A 到 C 再从 C 到 B，从 A 到 C 有 2 条路可走，从 C 到 B 也有两条路可走，由乘法原理，从 A 经 C 到 B 共有 22=4 条不同的路线第二类，经过 D 点的路线，分为两步，从 A 到 D 有 4 条路，从 D 到 B 有 4 条路，由乘法原理，从A 经 D 到 B 共有 44=16 种不同的走法第三类，经过 E 点的路线，分为两步，从 A 到 E 再从 E 到 B，观察发现各有一条路所以，从 A经 E 到 B 共有 1
13、种走法第四类，经过 F 点的路线，从 A 经 F 到 B 只有一种走法最后由加法原理即可求解解：如上右图，从 A 到 B 共有下面的走法：从 A 经 C 到 B 共有 22=4 种走法；从 A 经 D 到 B 共有 44=16 种走法；从 A 经 E 到 B 共有 1 种走法；从 A 经 F 到 B 共有 1 种走法所以，从 A 到 B 共有：4+16+1+1=22种不同的走法1某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有 3 条路可以走，从乙地到丙地有 2 条路可以走，从丙地到丁地有 4 条路可以走问，罪犯共有多少种逃走的方法？2如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三
14、个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形问：一共可以画出多少个这样的三角形？3在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数共可以组成多少个不同的减法算式？4一个篮球队，五名队员 A、B、C、D、E，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同的站位方法？5由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个三位数？三位偶数？没有重复数字的三位偶数？百位为 8 的没有重复数字的三位数？百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？6某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 09 中的任何一个，并且不
15、同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8书架上有 6 本不同的画报和 7 本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？9如下图中，沿线段从点 A 走最短的路线到 B，各有多少种走法？10在 11000 的自然数中，一共有多少个数字 0？11在 1500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？12十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？答案：1324=24（种）2143=12（个）3909=810（个）444321=96（种）5888=512（个）； 488=256（个）；476=168（个）； 176=42（个）；136=18（个）691010101010=900000（部）733+24=17 （种）86+7+15+21+67=91（种）提示：拿两本的情况分为 2 本画报或 2 本书或一本画报一本书9（1）6； （2）10； （3）20； （4）35109+180+3=192（个）118+88+3 88=264（个）129+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）
