1、1江西省南昌三中 2014 届高三 4 月考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合 0,1234,50,23MN，则 MN（ ）A0,2,3 B0,1,4 C1,2,3 D1,4,52若函数)(xf，则该函数在 ,上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值3已知函数 xfcos)()0,(R的最小正周期为 ，为了得到函数 xg4sin(x的图象，只要将 fy的图象( )A向左平移 8个单位长度 B向右平移 8个单位长度C向左平移 4个单位长度 D向右平移
2、4个单位长度4设 01,ab则下列不等式成立的是( )A 3BC 1baD lg0ba5 “数列naq为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ）A 0,1 B0,2aqC 0,aq D10,2aq6已知函数),(tn在xy内是减函数，则（ ）A0 1 B1 0 C 1 D 17M 是正方体 1DA的棱 1的中点，给出下列命题：过 M 点有且只有一条直线与直线 B、 都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线 、 1都垂直；2过 M 点有且只有一个平面与直线 AB、 1C都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线 、 都平行.其中真命题是（ ） A B C D 8过点 P(4,2)作圆 x2y24 的
3、两条切线，切点分别为 A，B，O 为坐标原点，则OAB的外接圆方程是( )A(x2)2(y1)25 B(x4)2(y2)220C(x2)2(y1)25 D(x4)2(y2)2209已知二次函数2()1fxab的导函数为()fx，且(0)f0， ()fx的图象与 x轴恰有一个交点，则(0)f的最小值为 ( )A3 B C2 D32 5210设 1F， 2分别为双曲线 ：1xyab(0,)b的左、右焦点， A为双曲线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M、 N两点，且满足：0MAN，则该双曲线的离心率为（ ）A213B193C73D73二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，
4、则按第一题评阅计分。本题共 5 分.11(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为： 23cos，直线的极坐标方程为： 2cos3.则它们相交所得弦长等于 .(2)（不等式选做题）已知函数 f (x)|x2|x5|，则不等式 f (x)x28x15 的解集为 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。12复数 z=132i(i 为复数的虚数单位)的模等于 13掷均匀硬币 5 次，则总共掷出 3 次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是 14语句：3S=0i=1DoS=S+ii=i+2Loop while S200n=i2Output
5、n 则正整数 n= .15在平面直角坐标系中，设点 (,)|PxyOxy定 义 ，其中 O 为坐标原点，对于以下结论：符合OP=1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2；设 P 为直线 520xy上任意一点，则OP的最小值为 1；设 P 为直线 (,)kbR上的任意一点，则“使OP最小的点 P 有无数个”的必要不充分条件是“ 1”. 其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知ABC 的面积 S 满足 3S3，且 AB C= 6 , AB与BC的夹角为 .(1) 求
6、的范围;(2)求函数 ()f= 12cos()4in的最大值.17 （本小题满分 12 分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费 1000 元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，中奖后商场返还顾客现金 1000 元. 顾客甲购买一台价格 2400 元的手机，只能得 2 张奖券，于是甲补偿 50 元给同事购买价格600 元的商品（甲可以得到三张奖券） ，甲抽奖后实际支出为 （元）.（1）求 的分布列；（2）试说明甲出资 50 元增加 1 张奖券是否划算.18 （本小题满分 12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， 90ABC，当 E、F4分别在线段 AD、BC 上，且
7、EFBC，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形 ABCD 沿 EF 折叠，使平面 ABFE 与平面 EFCD 垂直.（1）判断直线 AD 与 BC 是否共面，并证明你的结论；（2）当直线 AC 与面 EFCD 所成角的正切值为多少时，二面角 A-DC-E 的大小是 60？19 （本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和 nS满足：)1(nnaS（正常数 1 ） ， 1nnca.（1）求 的通项公式；（2）设 nnb2，若数列 nb为等比数列，求 a的值；（3）在满足条件（2）的情形下， 1nnca，数列 nc的前 n 项和为 nT,求证： 21nT20 （本小题满分 13 分）已知
8、抛物线 C1:y2=4x 的焦点与椭圆 C2:219xyb的右焦点 F2重合，F1 是椭圆的左焦点. （1）在 ABC 中，若 A(-4,0)，B(0,-3)，点 C 在抛物线 y2=4x 上运动，求 ABC 重心 G的轨迹方程；（2）若 P 是抛物线 C1 与椭圆 C2 的一个公共点，且PF1F2= ，PF2F1= ,求 cos5cos的值及 PF1F2 的面积.21 （本小题满分 14 分）已知函数22()lnfxax(常数 0)a.（1）当 a时，求曲线 y在 1处的切线方程；（2）讨论函数 ()fx在区间2(,)e上零点的个数（ e为自然对数的底数）.参考答案一、选择题：本大题共 10
9、 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合 0,1234,50,23MN，则 MN（ D ）A0,2,3 B0,1,4 C1,2,3 D1,4,52若函数)(xf，则该函数在 ,上是（ A ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值3已知函数 xfcos)()0,(R的最小正周期为 ，为了得到函数 xg4sin(x的图象，只要将 fy的图象( B )A向左平移 8个单位长度 B向右平移 8个单位长度C向左平移 4个单位长度 D向右平移 4个单位长度4设 01,ab则下列不等式成立的是( D )6A 3abB1
10、C 1baD lg0ba5 “数列nq为递增数列”的一个充分不必要条件是（ D ）A 0,1a B0,2aqC 0,aq D10,2aq6已知函数),(tn在xy内是减函数，则（ B ）A0 1 B1 0 C 1 D 17M 是正方体 1DA的棱 1的中点，给出下列命题：过 M 点有且只有一条直线与直线 、 都相交；过 M 点有且只有一条直线与直线 B、 1都垂直；过 M 点有且只有一个平面与直线 A、 C都相交；过 M 点有且只有一个平面与直线 、 1都平行.其中真命题是（ C ） A B C D 8过点 P(4,2)作圆 x2y24 的两条切线，切点分别为 A，B，O 为坐标原点，则OAB
11、的外接圆方程是( A )A(x2)2(y1)25 B(x4)2(y2)220C(x2)2(y1)25 D(x4)2(y2)2209已知二次函数2()1fxab的导函数为()fx，且(0)f0， ()fx的图象与 x轴恰有一个交点，则(0)f的最小值为 ( C )A3 B C2 D32 5210设 1F， 2分别为双曲线 ：1xyab(0,)b的左、右焦点， A为双曲线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M、 N两点，且满足：0MAN，则该双曲线的离心率为（ A ）A213B193C73D73二、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题7共 5 分.11
12、(1)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为： 23cos，直线的极坐标方程为： 2cos3.则它们相交所得弦长等于 3 .(2)（不等式选做题）已知函数 f (x)|x2|x5|，则不等式 f (x)x28x15 的解集为 x|5 x6 3f(x)|x2|x5|Error!2当 x2 时，f(x)x28x15 的解集为空集；当 2x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5 x5；3当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5x6综上，不等式 f(x)x28x15 的解集为x|5 x63三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。12复数 z=132
13、i(i 为复数的虚数单位)的模等于 2 13掷均匀硬币 5 次，则总共掷出 3 次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是 114语句：S=0i=1DoS=S+ii=i+2Loop while S200n=i2Output n 则正整数 n= 29 .15在平面直角坐标系中，设点 (,)|PxyOxy定 义 ，其中 O 为坐标原点，对于以下结论：符合OP=1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2；设 P 为直线 520xy上任意一点，则OP的最小值为 1；设 P 为直线 (,)kbR上的任意一点，则“使OP最小的点 P 有无数个”的必要不充分条件是“ 1”. 其中正确的结
14、论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.三、解答题:本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知ABC 的面积 S 满足 3S3，且 AB C= 6 , AB与8BC的夹角为 .(1) 求 的范围;(2)求函数 ()f= 12cos()4in的最大值.解：（1）cs61in()2ABCSS=33tanta1又. 4,6。（2）4,6)si(2)( 在f上递增，0)()(maxff.17 （本小题满分 12 分）八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费 1000 元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，中奖后商场返还顾客现金
15、1000 元. 顾客甲购买一台价格 2400 元的手机，只能得 2 张奖券，于是甲补偿 50 元给同事购买价格600 元的商品（甲可以得到三张奖券） ，甲抽奖后实际支出为 （元）.（1）求 的分布列；（2）试说明甲出资 50 元增加 1 张奖券是否划算.解：（1） 的所有可能取值为 2450,1450,450，550 ,34652(0)(P12348()55(40PC315)C31()250PC，分布列为 （2）648121()125525040E1850（元） ） （9 分）设小李不出资 50 元增加 1 张奖券,消费的实际支出为 1（元）2450 1450 450 550P 6412581
16、259则 12416(0)(5P, 11248(40)5PC12C 1684014020()55E元 1 , 故小王出资 50 元增加 1 张奖券划算.（12 分）18 （本小题满分 12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， 90ABC，当 E、F分别在线段 AD、BC 上，且 EFBC，AD=4，CB=6，AE=2.现将梯形 ABCD 沿 EF 折叠，使平面 ABFE 与平面 EFCD 垂直.（1）判断直线 AD 与 BC 是否共面，并证明你的结论；（2）当直线 AC 与面 EFCD 所成角的正切值为多少时，二面角 A-DC-E 的大小是 60？解：（1） AD、 BC是异面直线
17、， （1 分）（反证法）假设 、 共面为 EF, 90, EFAB, , A,又 DC这与 BC为梯形矛盾故假设不成立即 、 是异面直线 6 分（2）延长 CD,FE 相交于 N，由已知 2,4,设 ,ABx则NDE 中，NEx，AF，平面 AE平面 F,平面 D过 E 作 H于 H，连结 AH，则 H 是二面角 DCE的平面角，则 60 2,2,4xNx, A,24tan3,AEx2,x,此时在EFC 中， ,FC3E又 AE平面 FCD,C是直线 与平面 D所成的角,2tan3AE10即当直线 AC与平面 EFD所成角的正切值为23时，二面角 ADE的大小为 60。19 （本小题满分 12
18、 分）已知数列 na的前 n 项和 nS满足：)1(nnaS（正常数 1 ） ， 1nnca.（1）求 的通项公式；（2）设 nnb2，若数列 nb为等比数列，求 a的值；（3）在满足条件（2）的情形下， 1nnca，数列 nc的前 n 项和为 nT,求证： 21nT解：（1） )(11aS, 1,a .1 分当 2n时， nn)(11aS两式相减得： 1na， 1na, 即 n是等比数列1na；4 分（2）由（1）知, nnaab1)()(2, 1)2(2abn，若 nb为等比数列，则有23,b而21a， )(3a, )2(4a6 分故 3)(241，解得a， 7 分再将 21代入得nb)21(成立，所以 21a 8 分
