1、高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑1常用的数学思想方法数形结合的思想方法一 .数形结合的思想方法数形结合思想就是把代数上的“数（式） ”与几何上的“形”结合起来，认识问题、解决问题的一种思想.数形结合并非胡乱结合,而是以“数”的几何意义为基础的,往往涉及到解析几何的许多基础知识(两点间的距离、斜率、曲线方程等).数形结合的应用大致可分为两种情形: 或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.数与形两者之中,一个为手段(方法 ),一个为目的.数形结合是认识问题理解题意的重要手段,一些抽象的数学表达式一旦与形结合起来,对它的意义和认识就可
2、以变得清晰起来,容易产生解题设想并形成解题思路,或者直接观测到结果,是一种很有意义的解题方法.在解数学题时,进行数形结合,往往有三个途径:(1)通过坐标系.如:直角坐标系中 ,有 可联想到两点连线的斜率,1cos2in可想到两点间距离.复平面中 为复数所222 )10()(xx 21z对应的两点间的距离.(2)转化.把正数 a 看成距离, (或 ab)看成面积, 或 (abc)看成体积,23a看成勾股定理, 与余弦定理相联系, 转化为三角形2baab2 cb的三边.(3)构造.构造一个几何图形,或构造函数.数形结合是一种数学意识,是认识数学、理解数学的必然要求,是非常重要的数学素质,同学们应加
3、强培养和练习,做到“胸中有形”.对于一些较简单的问题,不一定必须画出图形,只需在脑海里形成图形即可作出判断.而对一些较为复杂、涉及到两个以上的形往往需要画出图形,并借助图形展开直觉思维.数形结合既具有数学学科的鲜明特点,又是数学研究的常用方法.华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直觉，形少数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事非.”纵观多年来的高考试题,利用数形结合思想解题比比皆是,希望同学们树立起数形结合的思想,学会巧妙地运用它解题.在高考中,用数形结合思想解题常有下面几种类型:(1)利用图形求解的个数 .(2)利用图形求最值 .(3)利用图形求参数的范围.(4)利用图形解不等式 .(5)利用
4、图形求值 .高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑2二 .例题精析例 1.(90 高考) 已知 h0,命题甲 :两个实数 a,b 满足 命题乙:两个实,2hba数 a,b 满足 且 那么甲是乙的( )a1,b(A)充分条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)不充分不必要条件分析及解 命题甲 : 即 在数轴上表示点 在h2,2hbaba和 两点之间,命题乙: 且 在数轴上表示点 和 b-1 在h2a11和 h 之间,a,b 若满足乙,则必满足甲; 但若满足甲 ,却未必满足乙,所以甲是乙的必要条件,而不是乙的充分条件.选 B.这道题主要考查不等式概念和性质及充分必要条件.利用实数与
5、数轴上的点的一一对应关系,借助于形表示数,从而使问题简化.例 2.(90 广东) 如果函数 在区间 上是减函数,那2)1()(2xaxf 4(么实数 a 的取值范围是( )(A)a-3 (B)a-3 (C)a5 (D)a3分析及解可画出 f(x)的草图,对称轴为 ,开口向上,若使函数在)1(x上是减函数,则区间 在对称轴的左侧,即 , -3.4(44)(选 B.此题若不结合图形,只是按单调性的概念理解,则需利用单调性的定义去证,求解过程繁琐,特别对于一道选择题,就得不偿失了.例 3.正三棱锥 S-ABC,其相邻二侧面所成的二面角为 ,则 的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) ,0(
6、),6(),3()2,3(分析及解正三棱锥 S-ABC,作 SO 底面 ABC,则 O 是 ABC 的中心,作BD SC 于 D,连结 AD,则 AD SC, 是相邻二侧面所成二面角的平面ADB角, AB.设 AC=BC=CA=a, BD=AD = 在 中，,CB,sinaADB高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑3BDA2cos2 .sin21sin2a为了确定 的范围，必须确定 的范围.SB=SC=SA, 则 ,212cosSBCSBC,22OOSB BO, ,SB coscsC 且余弦函数在 上是减函数,32O0 ,BS 2C.322BSC 即 ,6,.1sin 即.21
7、sin1.,2co选 C.显然这种解法太复杂,不符合选择题应采用的方法,若从图形入手,想象三棱锥顶点 S 沿射线 OS 运动,当 S 逐渐接近于 O 时,两侧面 SBC 与 SAC 逐渐趋近于底面 BOC 与 AOC,它们所成的二面角趋近于底面,而当 S 沿射线向无限远运动时,SB,SC,SA 趋向于平行,且垂直于底面,则三棱锥趋向于正三棱柱,其相邻二侧面所成二面角 ,可以无限趋近于以 SC 为棱的正三棱柱相邻两侧面所成的二面角,其值为 3.此题若用正规的计算是很复杂的一道题,若从图形入手,将代数的极限思想应用于图形中,则很合理地推测出结果.例 4.已知 满足条件 求 的最大值与最小值.yx,
8、 ,1256yxx3分析及解本题中 可以看成是满足椭圆方程 的点的坐标,求, 1256y的最值,可采用椭圆的参数方程设点坐标,利用三角函数求最值.xy3高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑4设 ( 为参数)sin5co4yx ).sin(13c23 的最大值为 13,最小值为-13.xy如果利用方程与曲线的对应关系,令 ,则 ,可将原问题转xybbxy3化为在椭圆 找一点,使过该点的直线斜率为 3,且在 y 轴上有最大截1256yx距或最小截距,由图可知,当直线 与椭圆相切时,有最大或最小截距.bxy3消 ,.31256bxyy04169622bx令 ,解得0.3在求二元函数
9、在有关条件下的最值问题时,可采用本例的构造直yax线截距的办法来解决.例 5.设 已知 求 的最大值及此时的 值.,Cz,2z)2(izz分析及解本题已知复数 所对应的动点在以原点为圆心,以 2 为半径的圆上运动,两定点 也在此圆上, 分别表示圆上任一异)0(,BAiz,于 A,B 的动点 P 与 A,B 两点的线段的长度. .sin2sin212)2( APBSAPBBPAiziz 高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑5又 或 ,由图形知,当 ,点 P 位于45APB13545AB)时,2().2(2maxS ).2(42)(sin)()(maxax APBSiz当 时, 的
10、最大值等于iz2)(iz).(例 6.求 的值.80cosn380cossin分析及解 本题结构与余弦定理形式相似,联想构造三角形用余弦定理来解. 且 则以 为内角构造一,1i80co ,152150,2个三角形.设 角的对边分别为 外接圆半径为 R,则5,2cba ,20sina由余弦定理,得 +0sinsinRcRb 14sin4022化简,10342 .8coi380cos22三 .能力训练题(一)选择题:1.复数 的一个立方根是 它的另外两个立方根是( )i,i(A) (B)213 i213(C) (D)ii2.如果实数 x,y 满足 那么 的最大值是 ( ),3)2(yxxy(A)
11、(B) (C) (D)21 233. 这三个数的大小顺序是( )3.0,log,3.0(A) (B).l2.2 3.02log3.0高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑6(C) (D)3.022.log 23.02log4.把复数 对应的向量按顺时针方向旋转 ,所得到的向量对应的复数是i1( )(A) (B) i23 i231(C) (D) i1 i5.如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值是 5,那么 f(x)在区间-7,-3上是( )(A)增函数且最小值-5(B)增函数且最大值-5(C)减函数且最小值-5(D)减函数且最大值-56.如图,是周期为 的三角函数
12、的图象,那么 f(x)可以写成( )2)(xfy(A) (B) )1sin(x1sin(C) (D)(x7.方程 的实数解的个数是( )12xx(A) 1 (B)2 (C)3 (D)以上都不对8.若 ,则下列不等式中哪个是正确的( )40(A) (B)cotsincosincots(C) (D)i it(二)填空题:9.不等式 的解集为 .245x10.设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若当 1 时, 则当x,12xy时, .1x11.如果 那么 的值等于 .,325,1cos2sin12.若方程 只有一个实数解,则常数 的取值范围 .)lg()l(xk k13.四面体的一个顶
13、点为 A1,从其它顶点与各棱的中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,不同的取法有 .14.函数 的值域是 .3412xy高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑7(三 )解答题 :15.已知 ,试求方程有解时 的取值范围,其中方程为10ak )(logakx).(log22xa16.已知 表示的两曲线有公共点,求半径 的222)4(4ryxy和 r最大值和最小值.17.已知复数 满足 ,求 的模与辐角主值的范围.ziz18.求函数 的值域.xy2119.解不等式 ).(Ra20.对于 表示 三者中的最小值,求 的)(,xfR42,1,24x)(xf表达式及最大值.四 .
14、能力训练题点拨与解答(一 )选择题 :1.D. 的三个立方根在复平面上的对应点 A,B,C 均匀分布在单位圆上,即iABC 为正三角形. , , 230cosOCDB 2130sinOCDB,C 两点对应的复数分别为 的另两个立方根是,1,23ii.213i2.D.将 看成点 与原点连线的斜率,问题便转化为动点 Q 在圆 P 上移xy)(y动,求直线 OQ 斜率的最大值,观察图形可知,当 Q 在第一象限,且 OQ 与圆 P 相切时,OQ 的斜率最大,此时 OQ OP, ,3)(2tan2OP.3maxy高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑83.C.在同一坐标系画出 , , 的图
15、象,当 时,显然2xyx2logxy3.0x有 .230log024.B.如图,旋转后向量在第四象限，并且靠近 轴，在 A,B,C,D 中，B,C 是y第四象限，而 B 靠近 轴. y5.B.由奇函数的图象性质,可画出函数 f(x)的图象,观察出 f(x)在区间-7,-3上是增函数,且最大值为-5.6.D.从图中可以看出 ,在四个选项中, 不满足0),)1(ff )1sin(x, 也不满足 , 不满足0)1sin(sin(x1sin()si(x只有 满足,)i .0si)7.C.令 , ,在同一坐标系中作出其图象,它们在 0 时xy22x x有两个交点,在(5,6)区间内还有一个交点,注意作图
16、要力求准确.8.C.可在同一坐标系中画出三种函数在区间 的图象,比较其大小,也)40(可在单位圆中,画出三角函数线比较.(二)填空题:9.x|-5 .214在同一坐标系里分别作出 与 ,结合图形易见,当-5xy245xx 时, ,只需求出 ,即方程 = 的解, =Ax245xA A高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑9.21410. .5x由已知可画出函数图象,在直线 右侧(即 时)1x1x的图象是以(2,1)为顶点的抛物线的一部分,)(xf 时,1.)2()xf11. .5 在第 II 象限, 又,32,0cos,51cos,234 在第 III 象限, ,02sin .06
17、21in12. .或0k4设 y1=kx(y10),y2=(x+1)2,在 的情况下,当 与 的图象在 轴上方12y1x的部分相切时,令方程 的判别式为零,k =4,或直线 y=kx 中的)(k时,两曲线只有一个公共点.0k13.33 种.符合条件的四个点,有两类不同的情况,(1)这四个点在四面体的一个侧面上,这时有 种不同的取法,即有 30 种取法,(2)这四个点不在四面体35C的一个侧面上,而是由一条棱和这条棱的对棱的中点所确定的平面上(如 ABE),这样的取法有 3 种,由加法原理知,所求不同取法 33 种.14.-2 y.46高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑10把
18、y 看作是过两点 A(-3,4),B( )直线的斜率,而求得21,x,2ABk-2 ,46ACky.46(三)解答题:15.解:法一:将方程变形为 若使方程有解,则log)(log222 axakxa需满足)()(022axkxa解得 或10.法二：令 ,要使方程有解,则两)0(),0( 2211 yaxyakxy曲线要有交点.如图,只须满足 或 ,即 或0aka10k.16.解: 化为 它表示中心在 O(0,0),长半轴为 2,42yx,12yx短半轴为 1 的椭圆,而方程 表示圆心在 A(4,0).半径为 r 的同心228)(圆系,要使两曲线有公共点,只须 2r6,即 .2,6minaxr
19、17.解:复数 在复平面上对应的图形是以点 C(2,2)为圆心, 为半径的圆,其z 2高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑11方程为 .2)()2(yx由图易知, 的最值应在过原点与圆心 C(2,2)的直线与圆的交点处取得,即z,22,32, 2minmax OBOABAz .23当 z 对应点在圆上变化时，当直线 与圆 C 相切时，在切点处辐角取kxy得最大值，由 解得 , ,12k3)32arctn(zarg).32arctn(18.解:函数的定义域为-1,1,设 (0 ),cosx .)2(cos0in21y可将函数 y 看作 A(-2,0)和 B( )的连线的斜率 ,其
20、中点sin,coABkB 在半圆 0)上运动,当直线 AB 与半圆 0)相切时, x(12 yx(12的最大值为 当直线 AB 与 x 轴重合时, 取得最小值为 0, Ak,3ABk.,0y19.解:将不等式变形为 ,令 ,在同一坐标xax2xya2,1系中画出两函数图象, 当-2 2 时有解,若 ,即观察 y1的图象在 y2的下方部分,可,2,2)(xaxBAxx得: 时,不等式的解为 当 2 时,不等式的解集是,22a高三数学 下学期 第 3 讲 主持人:特级教师王连笑12空集.20.解: x(12)631f(x)= 4x()32xx31()29712x).1(x作图如下:由图观察求交点:.1297,3,61CBAxx当 时,3.30)(maxf
