1、6.5 三角形内角和定理的证明课 题6.5 三角形内角和定理的证明教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.教学重点三角形内角和定理的证明.教学难点三角形内角和定理的证明方法.教学方法实验、讨论法.教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片6.5 A ）第二张：实验（记作投影片6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片6.5 C）教学过程.巧设现实情境，引入新课师大家来看一机器零件（出示投影片6.5 A
2、）工人师傅将凹型零件（图 634）加工成斜面 EC 与槽底 CD 成 55的燕尾槽（图635）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转 35角（图 65） ，就能得到 55的燕尾槽底角.图 634 图 635 图 636为什么铣刀偏转 35角，就能得到 55的燕尾槽底角呢？.讲授新课师为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成ABC，其中顶点 B、C 为定点，A 为动点（如图 637） ，放松橡皮筋后，点 A 自动收缩于 BC 上，请同学们考察点 A 变化时所形成的一系列的三角形：A1BC、 A 2BC、A 3BC其内角会产生怎样的变化呢？图 637生甲当点 A 离 BC 越
3、来越近时,A 越来越接近 180,而其他两角越来越接近于 0.生乙三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.师很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于 180的？生丙三角形的最大内角不会大于或等于 180.师很好.看实验：当点 A 远离 BC 时，A 越来越趋近于 0,而 AB 与 AC 逐渐趋向平行，这时，B、C 逐渐接近为互补的同旁内角 .即 B+C 180.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？生齐声180师180，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片6.5 B）实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图638（1） ）然后把另
4、外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2） 、 （3） ） ，最后得图（4）所示的结果.（1） （2） （3） （4）图 638实验 2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.师由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图 639这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形 ABC 的上层B 剥下来，沿 BC 的方向平移到ECD 处固定，再剥下上层的A，把它倒置于C 与ECD 之间的空隙ACE 的上方.这时，A 与ACE 能重合吗？生齐声能
5、重合.师为什么能重合呢？生齐声因为同位角ECD=B.所以 CEBA.师很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于 180.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于 180这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？生需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.师对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图 640生甲已知，如图 640，ABC.求证：A+ B+C =180证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CEAB.则ACE=A（两直线平行，内错角相等）ECD=B （两直线平行，同位角相等）ACB+ ACE+ECD=180（1 平角=180 ）A
6、+B+ACB=180（等量代换）即：A+ B+C =180.生乙老师，我的证明过程是这样的：证明：作 BC 的延长线 CD，作 ECD=B.则：ECAB（同位角相等，两直线平行）A=ACE（两直线平行，内错角相等）ACB+ ACE+ECD=180（1 平角=180 ）ACB+ A+B=180（等量代换）师同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线 CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于 180是真命题，这时称它为定理.即
7、：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片6.5 C）图 641在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到 A 处，他过点 A 作直线PQBC .（如图 641）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.生甲小明的想法可行.因为：PQBC（已作）PAB =B（两直线平行，内错角相等）QAC=C（两直线平行，内错角相等）PAB +BAC +QAC=180（1 平角=180）B+BAC+C =180（等量代换）图 642生乙也可以这样作辅助线.即：作 CA 的延长线 AD，过点 A 作DAE=C（如图642）.生丙也可以在三
8、角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图 643即：如图 643，在 BC 上任取一点 D，过点 D 分别作 DEAB 交 AC 于 E，DF AC交 AB 于 F.四边形 AFDE 是平行四边形（平行四边形的定义）BDF=C（两直线平行，同位角相等）EDC=B （两直线平行，同位角相等）EDF=A（平行四边形的对角相等）BDF+EDF +EDC=180（1 平角=180）A+B+C =180（等量代换）师同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.课堂练习（一）课本 P196 随堂练习 1、2.图 6441.直角三角形的两锐角之和是多少度？
9、等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90 60如图 644，在ABC 中，C=90A+B+C =180A+B=90.图 645如图 645，ABC 是等边三角形，则：A= B =C .A+B+C =180A=B=C =60图 6462.如图 646,已知，在ABC 中，DE BC，A=60,C =70,求证：ADE =50.证明：DEBC（已知）AED=C（两直线平行，同位角相等）C=70 （已知）AED=70（等量代换）A+AED+ADE=180（三角形的内角和定理）ADE=180AAED（等式的性质）A=60（已知）ADE=1806070=50（等量代换）（二）读一读 P1
10、97.（三）看课本 P195196，然后小结.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.课后作业（一）课本 P198 习题 6.6 1、2（二）1.预习内容 P1992002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的一点P？（如图 647（1） ） ，如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图 647（2） ）“凑
11、”到三角形外一点呢？（如图 647（3） ） ，你还能想出其他证法吗？（1） （2） （3）图 647过程让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.结果证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的一点 P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.板书设计6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180图 648已知，如图 648，ABC.求证：A+ B+C =180证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CEBA，则：A=ACE（）ECD=B （）ECD+ACE+ ACB =180（）A+B+ACB=180（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结 五、课后作业
