1、第十二讲 平行线问题平行线是我们日常生活中非常常见的图形练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线
2、与这条直线平行”在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些知识的应用例 1 如图 118，直线 ab，直线 AB 交 a 与 b 于 A，B，CA 平分1，CB 平分 2，求证：C=90分析 由于 ab，1，2 是两个同侧内角，因此1+2=过 C 点作直线 l，使 la(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移证 过 C 点作直线 l，使 la(图 119)因为 ab，所以 bl，所以1+2=180(同侧内角互补)因为 AC 平分1，BC 平分2，所以又3=CAE，4=CBF(内错角相等)，所以3+4=CAE+CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否
3、成立， 即“两条直线 a，b 被直线 AB 所截(如图 120 所示)，CA，CB 分别是BAE 与ABF 的平分线，若C=90，问直线 a 与直线 b 是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解例 2 如图 121 所示，AA 1BA 2求A 1-B 1+A 2分析 本题对A 1，A 2，B 1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说，不管A 1，A 2，B 1的大小如何，答案应是确定的我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即A 1+A 2=B 1 猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严
4、格的证明式给我们一种启发，能不能将B 1一分为二使其每一部分分别等于A 1与A 2这就引发我们过 B1点引 AA1(从而也是 BA2)的平行线，它将B 1一分为二证 过 B1引 B1EAA 1，它将A 1B1A2分成两个角：1，2(如图122 所示)因为 AA1BA 2，所以 B1EBA 2从而1=A 1， 2=A 2(内错角相等)，所以B 1=1+2=A 1+A 2，即 A 1-B 1+A 2=0说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于 AA1BA 2，它与连接 A1，A 2两点之间的折线段的数目无关，如图 123 所示连接 A1，A 2之间的折线段增加到 4 条：A 1B1，B 1A
5、2，A 2B2，B 2A3，仍然有A 1+A 2+A3=B 1+B 2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即A 1-B 1+A 2-B 2+A3=0进一步可以推广为A 1-B 1+A 2-B 2-B n-1+A n=0这时，连结 A1，A n之间的折线段共有 n 段 A1B1，B 1A2，B n-1An(当然，仍要保持 AA 1BA n)推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题问题 1 如图 124 所示A 1+A 2=B 1，问 AA1与 BA2是
6、否平行？问题 2 如图 125 所示若A 1+A 2+A n=B 1+B 2+B n-1，问 AA1与 BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考例 3 如图 126 所示AEBD，1=32，2=25，求C分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=DFC 或AFB若能将1，2，C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过 F 点作 BC 的平行线恰能实现这个目标解 过 F 到 FGCB，交 AB 于 G，则C=AFG(同位角相等)，2=BFG(内错角相等)因为 AEBD，所以1=BFA(内错角相等)，所以C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50说明(1)运用平行
7、线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：1=DFC=C+2，即C=1-2=22=50例 4 求证：三角形内角之和等于 180分析 平角为 180若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种证 如图 127 所示，在ABC 中，过 A 引 lBC，则B=1，C=2(内错角相等)显然 1+BAC+2=平角，所以 A+B+C=180说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如
8、将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例 5 求证：四边形内角和等于 360分析 应用例 3 类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程证 如图 128 所示，四边形 ABCD 中，过顶点 B 引BEAD，BFCD，并延长 AB，CB 到 H，G则有A=2(同位角相等)，D=1(内错角相等)，1=3(同位角相等)C=4(同位角相等)，又 ABC(即B)=GBH(对顶角相等)由于2+3+4+GBH=360，所以A+B+C+D
9、=360说明(1)同例 3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变(2)总结例 3、例 4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180=(3-2)180，四边形内角和=360=2180=(4-2)180人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)180=540，n 边形内角和=(n-2)180这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法例 6 如图 129 所示直线 l 的同侧有三点 A，B，C
10、，且ABl，BCl求证： A，B，C 三点在同一条直线上分析 A，B，C 三点在同一条直线上可以理解为ABC 为平角，即只要证明射线 BA 与 BC 所夹的角为 180即可，考虑到以直线 l 上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过 B 作与 l 相交的直线，就可将 l 上的平角转换到顶点 B处证 过 B 作直线 BD，交 l 于 D因为 ABl，CBl，所以1=ABD，2=CBD(内错角相等)又1+2=180，所以ABD+CBD=180，即ABC=180=平角A，B，C 三点共线思考 若将问题加以推广：在 l 的同侧有 n 个点 A1，A2，An-
11、1，An，且有 AiAi+1l(i=1，2，n-1)是否还有同样的结论？例 7 如图 130 所示1=2，D=90，EFCD求证：3=B分析 如果3=B，则应需 EFBC又知1=2，则有BCAD从而，应有 EFAD这一点从条件 EFCD 及D=90不难获得证 因为1=2，所以ADBC(内错角相等，两直线平行)因为D=90及 EFCD，所以ADEF(同位角相等，两直线平行)所以 BCEF(平行公理)，所以3=B(两直线平行，同位角相等)练习十二1如图 131 所示已知 ABCD，B=100，EF 平分BEC，EGEF求BEG 和DEG2如图 132 所示CD 是ACB 的平分线，ACB=40，B=70，DEBC求EDC 和BDC 的度数3如图 133 所示ABCD，BAE=30，DCE=60，EF，EG三等分AEC问：EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线，为什么？4证明：五边形内角和等于 5405如图 134 所示已知 CD 平分ACB，且 DEACCDEF求证：EF 平分DEB
