1、2013 年中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用【基础知识回顾】一、 二次函数与一元二次方程：二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与 x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式 决定抛物线 x 轴有 个交点 b 2-4ac0一元二次方程有 实数根抛物线 x 轴有 个交点 b 2-4ac=0一元二次方程有 实数根抛物线 x 轴有 个交点 b 2-4ac0一元二次方程有 实数根【名师提醒：若抛物线与 x 轴有两交点为 A（x1,0）B(x2,0) 则抛物线对称轴式 x= 两交点间距离 AB 】二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设 当知
2、道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即：设 知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式【名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以 y 轴为对称轴，可设 顶点在 x轴上，可设 抛物线过原点 等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：步骤：1、分析数量关系 建立模型2、设自变量 建立函数关系3、确定自变量的取值范围4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值2、与一次函数或直线形
3、图形结合的综合性问题一般步骤：1、求一些特殊点的坐标2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例 1 （2012呼和浩特）已知：M，N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 上，12yx点 N 在直线 y=x+3 上，设点 M 的坐标为（a，b） ，则二次函数 y=-abx2+（a+b）x（ ）A有最大值，最大值为
4、B有最大值，最大值为 929C有最小值，最小值为 D有最小值，最小值为 2对应训练1 （2012 兰州）已知二次函数 y=a（x+1） 2-b（a0）有最小值 1，则 a，b 的大小关系为（ ）Aab Ba b Ca=b D不能确定考点二：确定二次函数关系式例 2 （2012珠海）如图，二次函数 y=（x-2 ） 2+m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A（1，0）及点 B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足 kx+b（x-2） 2+m 的 x 的取值范围对应训练2
5、（2012 佳木斯）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0） （1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点 B，且 SOAB =3，求点 B 的坐标考点三：二次函数与 x 轴的交点问题例 3 （2012天津）若关于 x 的一元二次方程（x-2） （x-3 ）=m 有实数根 x1、x 2，且x1x2，有下列结论：x 1=2，x 2=3；m ；二次函数 y=（x-x 1） （x-x 2）+m 的图象与 x 轴交点的坐标为14（2，0）和（3，0） 其中，正确结论的个数是（ ）A0 B1 C2 D3 3 （2012 株洲）如图，
6、已知抛物线与 x 轴的一个交点 A（1，0） ，对称轴是 x=-1，则该抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（ ）ABCO xyA （-3，0） B （-2，0） Cx=-3 Dx=-2考点四：二次函数的实际应用例 4 （2012绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m ）与水平距离 x（m）之间的关系为 y=- （x-4） 2+3，由此可知铅球推出的距离是 1m例 5 （2012重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资
7、自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1 至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份 x（1x6，且 x 取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x 1 2 3 4 5 6输送的污水量 y1（吨） 12000 6000 4000 3000 2400 20007 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份 x（7x12，且 x 取整数）之间满足二次函数关系式为 y2=ax2+c(a0)其图象如图所示1 至 6 月，污水厂处理每吨污水的费用：z 1（元）与月份 x 之间满足函数关系式：z 1= x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份 x 之间满足函数关系式：z
8、 2= x- x2；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水34的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出 y1，y 2 与 x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a-30） %，为鼓励节能降耗，减轻企业负担
9、，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助若该企业每月的污水处理费用为18000 元，请计算出 a 的整数值（参考数据： 15.2， 20.5， 28.4）23149809对应训练4 （2012 襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）与滑行时间 x（单位：s）之间的函数关系式是 y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来5 （2012 益阳）已知：如图，抛物线 y=a（x-1 ） 2+c 与 x 轴交于点 A（1- ，0）和点3B，将抛物线沿 x 轴向上翻折，顶点 P 落在点 P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小
10、明在解答此题时顿生灵感：过点 P作 x 轴的平行线交抛物线于 C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉，设计成一个“W” 型的班徽， “5”的拼音开头字母为 W， “W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比 （约等512于 0.618） 请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据： 2.236，2.449，结果可保留根号）6考点五：二次函数综合性题目例 6 （2012自贡）如图，抛物线 交 x 轴于点 A（-3 ，0） 、B （1，0） ，交 y 轴于点lC（0，-3） 将抛物线 沿 y 轴
11、翻折得抛物线 l1（1）求 的解析式；1l（2）在 的对称轴上找出点 P，使点 P 到点 A 的对称点 A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于 x 轴的一条直线交抛物线 于 E、F 两点，若以 EF 为直径的圆恰与 x 轴相切，1l求此圆的半径对应训练6 （2012 遵义）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点 O，交 x 轴于点A，其顶点 B 的坐标为（3， ） 3（1）求抛物线的函数解析式及点 A 的坐标；（2）在抛物线上求点 P，使 SPOA =2SAOB ；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使AQO 与AOB 相似？如果存在，请求出 Q 点的坐标；
12、如果不存在，请说明理由【备考真题过关】一、选择题2 （2012 湖州）如图，已知点 A（4，0） ，O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A） ，过 P、O 两点的二次函数 y1 和过 P、A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、 C，射线 OB 与 AC 相交于点 D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）A B C3 D4 5453 （2012 宜昌）已知抛物线 y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限4 （2012 资阳）如图是二次函数
13、 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0 的解集是（ ）A-1x5 Bx5 Cx-1 且 x5 D x-1 或 x55 （2012 义乌市）如图，已知抛物线 y1=-2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y 2若 y1y2，取 y1、y 2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记M=y1=y2例如：当 x=1 时， y1=0，y 2=4，y 1y 2，此时 M=0下列判断：当 x0 时，y 1y 2； 当 x0 时，x 值越大，M 值越小；使得 M 大于 2 的 x 值不存在； 使得 M=1 的 x 值是 或 2其中正
14、确的是（ ）A B C D 6 （2012 大连）如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 C-D-E 上移动，若点 C、D、E 的坐标分别为（-1，4） 、 （3，4） 、 （3，1） ，点 B 的横坐标的最小值为1，则点 A 的横坐标的最大值为（ ）A1 B2 C3 D41 （2012 镇江）若二次函数 y=（x+1） （xm ）的图象的对称轴在 y 轴的右侧，则实数 m的取值范围是（ ）Am1 B 1m0 C 0m1 Dm12 （2012 泰安）二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为（ ）A3
15、B 3 C 6 D93 （2012 杭州）已知抛物线 y=k（x+1） （x ）与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，则能使ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A2 B 3 C 4 D5二、填空题7 （2012 深圳）二次函数 y=x2-2x+6 的最小值是 8 （2012 无锡）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1） ，且经过点 B（1，0） ，则抛物线的函数关系式为 三、解答题9 （2012 杭州）当 k 分别取-1 ，1，2 时，函数 y=（k-1） x2-4x+5-k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值10 （2012 徐州）二
16、次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（4，3） ， （3，0） （1）求 b、c 的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数 y=x2+bx+c 的图象11 （2012 佛山） （1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；y 随 x 变化的部分数值规律如下表：x -1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0有序数对（-1，0） 、 （1，4 ） 、 （3，0）满足 y=ax2+bx+c；已知函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分（如图） （2）直接写出二次函数 y=ax2+bx+c 的三个性质12 （2012 兰州）
17、若 x1、x2 是关于一元二次方程 ax2+bx+c（a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x 2 和系数 a、b、c 有如下关系：x 1+x2= ，x 1x2= 把它称为一元二次方程根bac与系数关系定理如果设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为A（x 1，0） ，B（x 2，0） 利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB=|x1-x2|= = = ；112()4x24()bca224|cbaca参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，抛物
18、线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形（1）当ABC 为直角三角形时，求 b2-4ac 的值；（2）当ABC 为等边三角形时，求 b2-4ac 的值13 （2012 武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关
19、系 h= （t-19） 2+8（0t40） ，且当水面到顶点 C 的距离18不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？14 （2012 无锡）如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C 、D 四个顶点正好重合于上底面上一点） 已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x（cm） （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积
20、S 最大，试问 x 应取何值？15 （2012 黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？（2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量
21、x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）16 （2012 河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计） ，这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板
22、的边长（ cm） 20 30出厂价（元/张） 50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价-成本价） ，求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax 2+bx+c（a0）的顶点坐标为（ ）24,bac17 （2012 资阳）抛物线 y= x2+x+m 的顶点在直线 y=x+3 上，过点 F（-2，2）的直线交14该抛物线于点 M、N 两点（点 M 在点 N 的左边） ，MA x 轴于点 A，NBx 轴于点 B（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示） ，再求 m 的值；（2）设点 N 的横坐标为 a，试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF=NB；
