1、- 1 -（第 5 题）开始输入 xy5x4yx 22x+2输出 y结束YN（第 4 题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.0160 50 75 100 125 150泰州市 2015 届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 设集合 A3 ， m， B3 m，3，且 A B，则实数 m 的值是 【答案】02 已知复数 z (1i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为 【答案】33 已知实数 x， y 满足条件 |1xy ,则 z2 x+y 的最小值是 【答案】34 为了
2、解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示已知在 50 7)， 中的频数为 100，则 n 的值为 【答案】10005 在如图所示的算法流程图中，若输出的 y 的值为 26，则输入的 x 的值为 【答案】46 从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为 x，则 log2x 为整数的概率为 【答案】 97 在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 为抛物线 x28 y 的焦点，则 F 到双曲线219yx的渐近线的距离为 【答案】 1058 在等差数列 an中，若 an+an+24 n+6（ nN *） ，则该数列的通项公式 an
3、 【答案】2 n+19 给出下列三个命题：- 2 -（第 10 题）A BCDEF（第 11 题）P“ a b”是“3 a3 b”的充分不必要条件；“ ”是“cos cos ”的必要不充分条件；“ a0” 是“函数 f(x) x3+ax2（ xR）为奇函数”的充要条件其中正确命题的序号为 【答案】10已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V cm 3【答案】 21611 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点以 A 为圆心， AE 为半径，作弧交 AD 于点 F若 P 为劣弧 AF上的动点，则 PCDA的最小值为 【答
4、案】 5212 已知函数3201()5 xmxf ， ， .若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围为 【答案】 （5 ，0）13在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（5 ， a）作圆 x2+y22 ax+2y10 的两条切线，切点分别为 M(x1， y1)， N(x2， y2)，且 2120yx，则实数 a 的值为 【答案】3 或14已知正实数 x， y 满足 4310yx，则 xy 的取值范围为 【答案】- 3 -二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分
5、）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， B1C AB，侧面 BCC1B1为菱形（1）求证：平面 ABC1平面 BCC1B1；（2）如果点 D， E 分别为 A1C1， BB1的中点，求证： DE平面 ABC1解：（1）因三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 BCC1B1为菱形，故 B1C BC1 2 分又 B1C AB，且 AB， BC1为平面 ABC1内的两条相交直线，故 B1C平面 ABC1 5 分因 B1C平面 BCC1B1，故平面 ABC1平面 BCC1B1 7 分（2）如图，取 AA1的中点 F，连 DF， FE又 D 为 A1C1的中点，故 DF AC1， EF AB因 DF平面
6、 ABC1， AC1平面 ABC1，故 DF面 ABC1 10 分同理， EF面 ABC1因 DF， EF 为平面 DEF 内的两条相交直线，故平面 DEF面 ABC1 12 分因 DE平面 DEF，故 DE面 ABC1 14 分16 （本 小题满分 14 分）已知函数 ()sin()fxAx（其中 A， ， 为常数，且 A0， 0， 2 ）的部分图象如图所示（1）求函数 f(x)的解析式； （2）若 3，求 sin()6的值解：（1）由图可知， A2 ， 2 分ABCDA1B1C1（第 15 题答图）EFABCDA1B1C1（第 15 题）ExyO22（第 16 题）33- 4 -T 2，故
7、 1，所以， f(x) 2sin()x 4 分又 ()sin(3f，且 ，故 6于是， f(x) 2i)6x 7 分（2）由 f，得 3sin(4 9 分所以， sin()i2)cos2()666 12 分= 11sin(8 14 分17 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆21xyab(a b0)的两焦点分别为F1( 3，0)， F2( 3，0)，且经过点( 3， )（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点 B， C， D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设直线 CD， CB， OB， OC 的斜率分别为 k1， k2， k3， k
8、4，且 k1k2 k3k4 求 k1k2的值；求 OB2+OC2的值解：（1）方法一依题意， c 3， a2 b2+3， 2 分由 2214b，解得 b21( b2 34，不合，舍去)，从而 a24 故所求椭圆方程为： 21xy 离心率 e 32 5 分方法二由椭圆的定义知，2 a 222211(3)(0)(3)(0)4 ，yxOF1 F2BC（第 17 题）D- 5 -即 a2 2 分又因 c 3，故 b21 下略（2）设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则 D( x1， y1)，于是 k1k2 121 122221(4x 4 8 分方法一由知， k3k4 k1k2 ，故 x1x2
9、 124y所以，( x1x2)2(4 y1y2)2，即( x1x2)226()4x 22116()xx，所以， 4 11 分又 2221()()4xy22114xy，故 21y所以， OB2+OC2 2215 14 分方法二由知， k3k4 k1k2 将直线 y k3x 方程代入椭圆214xy中，得 21234xk 9 分同理， 2241所以， 222341xk 223341()kk4 11 分下同方法一- 6 -18 （本小题满分 16 分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为 200 m，圆心角为 120的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区， 其
10、中 A， B 分别在半径 OP， OQ 上， C， D 在圆弧 APQ上， CD AB； OAB 区域为文化展示区， AB 长为503m；其余空地为绿化区域，且 CD 长不得超过 200 m（1）试确定 A， B 的位置，使 OAB 的周长最大？（2）当 OAB 的周长最大时，设 DOC=2，试将运动休闲区 ABCD 的面积 S 表示为 的函数，并求出 S 的最大值解：（1）设 (02OAmBn ， ， ， ， ，在 中， 2 cos3OAB，即 2(503)n， 2 分所以，222 2()()()()4mnm， 4 分所以 10n ，当且仅当 m=n=50 时， 取得最大值，此时 OAB周长
11、取得最大值答：当 OAB、 都为 50 m 时， OAB的周长最大 6 分（2）当 AOB 的周长最大时，梯形 ACBD 为等腰梯形过 作 OF CD 交 CD 于 F，交 AB 于 E，则 EF、 分别为 AB， CD 的中点，所以 DO，由 C20 ，得 (6 ， 8 分在 中， sincosOF， 又在 AE中， co253A，故 20s5E 10 分所以， 1(5034sin)(0s)2S 68co15(3sin64sic3)， (06 ， 12 分（一直没有交代范围扣 2 分）令 ()8cosisicof， ( ， ，ABCDPQ（第 18 题）OABCDPQ（第 18 题答图）OE
12、F- 7 -()83sincos64216sin()64cos2f， (06 ， ，又 y= 16()及 y= 在 0 ， 上均为单调递减函数，故 )f在 0 ， 上为单调递减函数因 31(6(4)2f0，故 ()f0 在 (6 ， 上恒成立，于是， )f在 ， 上为单调递增函数 14 分所以当 6时， ()f有最大值，此时 S 有最大值为 625(813)答：当 时，梯形 ABCD面积有最大值，且最大值为 m2 16 分19 （本小题满分 16 分）已知数列 an， bn中， a1=1，21()nnab， nN ，数列 bn的前 n 项和为 Sn（1）若 12n，求 Sn；（2）是否存在等比
13、数列 an，使 2nbS对任意 nN *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列 an的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若 a1 a2 an，求证：0 Sn2解：（1）当 an 时， bn 1()4n 3 2 分所以， Sn 12(182nn 4 分（2）满足条件的数列 an存在且只有两个，其通项公式为 an=1 和 an= 1()证明：在 2nb中，令 n=1，得 b3=b1设 an= 1q，则 bn= 21()nq 6 分由 b3=b1，得 232若 q=，则 bn=0，满足题设条件此时 an=1 和 an= 1() 8 分若 q 1，则 3q，即 q2 =1，矛盾综上，满足条件的数列
14、an存在，且只有两个，一是 an=1，另一是 an= 1() 10 分- 8 -（3）因 1=a1 a2 an，故 0n ，0 1na1，于是 021na1所以， 21()nnb0， n1 ，2，3，所以， Sn b1+b2+bn0 13 分又， 1()na 11()()nnaa 11()()nn 12()n故， Sn b1+b2+bn 12231()()2()naaa 1()na 1()n2所以，0 Sn2 16 分20 （本小题满分 16 分）已知函数 1()lnfxax（ aR） （1）若 a=2，求函数 ()f在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数） ；（2）若 ()fx恰
15、有一个零点，求 a 的取值集合；（3）若 有两零点 x1， x2(x1 x2)，求证：2 x1+x2 13ea1 解：（1）由题设， ()f ，故 f在(1，e 2)上单调递减 2 分所以 ()fx在(1，e 2)上至多只有一个零点又 2211( 0，故函数 ()fx在(1，e 2)上只有一个零点 4 分（2） ()fx 2，令 ()fx0 ，得 x1 当 x1 时， f0， 在 1 )， 上单调递减；当 0 x1 时， ()x0， (fx在(0，1)上单调递增，故 ma()f f(1) a1 6 分当 x0 ，即 a1 时，因最大值点唯一，故符合题设； 8 分当 a()f0，即 a1 时，
16、f(x)0 恒成立，不合题设；当 max0，即 a1 时，一方面， ea1， 1()eaf0；- 9 -另一方面， ea1， (e)2aaf2 ae a0(易证：e xe x)，于是， f(x)有两零点，不合题设综上， a 的取值集合为1 10 分（3）证：先证 x1+x22依题设，有 a 1ln 2lx，于是 212lnx记 21x t， t1，则 1lt，故 1lt于是， x1+x2 x1(t+1)2lnt， x1+x2221(ln)tt记函数 g(x) ， x1因21)0，故 g(x)在 )， 上单调递增于是， t1 时， g(t) g(1)0 又 lnt0，所以， x1+x22 13
17、分再证 x1+x2 3ea1 因 f(x)0 h(x) ax1 xlnx0 ，故 x1， x2也是 h(x)的两零点由 ) a1ln x0 ，得 x 1ea(记 p ea)仿（1）知， p 是 h(x)的唯一最大值点，故有 12(0.x ， 作函数 h(x) 2lnlnp，则 ()ph0，故 h(x)单调递增故，当 x p 时， h(x) h(p)0 ；当 0 x p 时， h(x)0于是， ax11 x1lnx1 112)ln整理，得 21 1(2ln)(l)papxp0，即， 113eeaxx0同理， 212()a0 故， 1a 211(3e)eaax，1212()(3e)axxx，于是，
18、 综上，2 x1+x2 1a1 16 分- 10 -21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明 、证明过程或演算步骤A （本小题满分 10 分）如图， BC 为圆 O 的直径， A 为圆 O 上一点，过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点P， AH PB 于 H求证： PAAH PCHB证：连 AC， AB因 BC 为圆 O 的直径，故 AC AB又 AH PB，故 AH2 CHHB，即 AHBC 5 分因 PA 为圆 O 的切线，故 PAC B在 Rt ABC 中， B+ ACB0 在 Rt ACH 中， CAH+ ACB0 所以， HAC B所以， PAC CAH，所以， PCAH，即 PAC所以， B，即 PAAH PCHB 10 分B （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，0） ， B（2，0） ， C（1，2） ，矩阵012M，点 A， B， C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 A， ， ，求 ABC的面积解：因 0， 201，21，即 ()()2ABC， ， ， ， ， 6 分故 112S 10 分CABOP（第 21（A）题答图）HCABOP（第 21（A）题）H
