1、 第 1 页 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数 2)(i等于（ ）A 43 B i45 C i23 D i25考点：复数的运算。难度：易。分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。解答： 4)2(2iii31。2. 已知集合 4,2M， 2,N，下列结论成立的是（ ）A N B C NM D 2考点：集合交并补的定义。难度：易。分析：本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直接根据定义选
2、择即可。解答： 4,321M， 2。3. 已知向量 ),(xa， ),(b，则ba的充要条件是（ ）A 2 B C 5x D 0x考点：平面向量的垂直。难度：易。分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量 ),(1yxa， ),(2yxb，则 0021yxba。解答：非零向量 。0)(2x。第 2 页 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 考点：空间几何体的三视图。难度：易。分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：圆的正视图（主视图） 、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）
3、 、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图） 、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图） 、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。5. 已知双曲线 152yax的右焦点为 )0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ）A 314 B 34 C 2 D 43考点：双曲线的离心率。难度：易。分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率 ace即可。解答：双曲线中， 235322caac。6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s值等于（ ）A 3 B 10 C0 D 考点：算法初步。难度：易。分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根
4、据箭头的指向运算即可。解答： 1,sk； 2,2k；30；4s；结束。第 3 页 xyOdrl7. 直线 023yx与圆 42yx相交于 BA,两点，则弦 的长度等于（ ）A 5 B C 3 D1考点：直线和圆。难度：中。分析：本题考查的知识点为直线被圆所截的弦长，利用几何意义， 2drl。解答： 图形如图所示， 圆心为 )0,(，半径为 2，圆心到直线的距离 1)3(1|20|2d，所以 2rl3。8. 函数 )4sin()xf的图像的一条对称轴是（ ）A x B 2 C 4x D 2x考点：三角函数的对称性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。
5、解答：令 )(24Zkx，则 3,当 1k时， 4x。9. 设 0,1,)(xf， 为 无 理 数为 有 理 数xg,1)(，则 )(gf值为（ ）A1 B0 C D x考点：分段函数。难度：中。分析：本题考查的知识点为分段函数的理解，直接应用即可。解答：令 0)(fgf。第 4 页 10. 若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数 m的最大值为（ ）A 1 B1 C D2考点：线性规划。难度：中。分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。解答：可行域如下：所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032
6、，则 m3，即 0。11. 数列 na的通项公式 2cosnan，其前 项和为 nS，则 201等于（ ）A1006 B2012 C503 D0考点：数列和三角函数的周期性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答： 02cos)14(2)(cos)14(1 nna ，)4(2 n，3cs)()3(cs)3(34n ，2o424ona ，所以 14n234na4。即 0620S。）（ 3,0）（ 0,3），（ 3-0),(mxy2第 5 页 12. 已知 cbaxxf ,96)(23 ，且 0)()(cfbfaf ，现给出如下结论：
7、01； 0)1(f； 03f； 3。其中正确结论的序号是（ ）A B C D考点：导数。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。解答： cbaxxf ,96)(23 ，1 )3(42x导数和函数图像如下：由图 04961)( abcf ，2753，且 0)()0(fabcf ，所以 3,1。第卷（非选择题 共 90 分）)(xf)(xfx3x)0,(a)0,(b),(c第 6 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 在 ABC中，已知 06A， 05BC， 3，则 AC_。 【 2
8、】考点：正弦定理。难度：易。分析：本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。解答：在 中， RCcBbAa2sinisin，所以 CBi解得 2。14. 一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_。 【12】考点：分成抽样。难度：易。分析：本题考查的知识点为统计中的分层抽样，直接按成比例计算即可。解答：分层抽样， x56-982，所以 1x。15. 已知关于 的不等式 0a在 R 上恒成立，则实数 a的取值范围是_。 【 )8,0(】考点：一元二次不等式。难度：易。分析：本题考查
9、的知识点为一元二次函数的图像，开口朝上，无根即可。解答：令 0214)(40122 aacba，所以 )8,(。16. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图 1，则最优设计方案如图 2，此时铺设道路的最小总费用为 10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为_。 【16】第 7 页 考点：演绎推理。难度：中。分析：本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，
10、直接计算最小值即可。解答：题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市，连接方法如下：（1） 连接 GF,，此时联通两个城市 GF,，费用为 1；（2） 再连接 D，此时联通三个城市 D，费用为 32；（3） 再连接 C,，此时联通四个城市 C,，费用为 6；（4） 再连接 AF，此时联通五个城市 AGF，费用为 91；（5） 再连接 B,，此时联通六个城市 BD,，费用为 14532；（6） 再连接 E，此时联通七个城市 EC，费用为 62。所以铺设道路的最小总费用为 16。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题
11、满分 12 分）在等差数列 na和等比数列 nb中， 8,141ba， na的前 10 项和 510S。（）求 和 b；（）现分别从 n和 的前 3 项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。考点：等差数列，等比数列，古典概型。难度：易。分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前 n项和公式和古典概型，直接应用。解答：（）设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q第 8 页 则 10 145()nSadadn34 1822nbqbq得： 1,nn（） 123123,4ab，各随机抽取一项写出相应的基本事件有()(4)()(1),2()
12、共 9个符合题意有 ,共 个这两项的值相等的概率为 2918. （本小题满分 12 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程 abxy，其中xbyab,20（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是 4 元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）考点：线性回归，二次函数。难度：易。分析：本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。解答：（I） 1(8.248.69)8.56x903070y.22axyx（II）工厂获得利润 (4)
13、31zyx当 34x时， max361.5（元）第 9 页 19. （本小题满分 12 分）如图，在长方体 1DCBA中， 2,1A，M为棱 1D上的一点。（I）求三棱锥 1的体积；（II）当 CA1取得最小值时，求证： MB1平面 AC。考点：立体几何。难度：中。分析：本题考查的知识点为棱锥的体积，和垂直的判定。解答：（I）点 A到面 1MC的距离为 1AD得：三棱锥 的体积 1 113323MCVSACDA（II）将矩形 1饶 1按逆时针旋转 90展开，与矩形 共面1AC，当且仅当点 是棱 1D的中点时， M1取得最小值在 MB中， 2212,5, 3ABBCD得： 21 1M同理： 1,
14、C面 A20. （本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1） 00202 17cos3in17cos3sin；（2） 55；第 10 页 （3） 00202 12cos8in1cos8sin；（4） 48)(4)3( ；（5） 00202 5cssi5csi 。（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。考点：三角恒等变换。难度：中。分析：本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。解答：（I）选择（2）： 20200013sin15cosin15cossin24（
15、II）三角恒等式为： (3)i()2200222sicos(3)sic11nni(cosin)2sics4421. （本小题满分 12 分）如图，等边三角形 OAB的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线 )0(2:pyxE上。（I）求抛物线 的方程；（II）设动直线 l与抛物线 E相切于点 P，与直线 1y相交于点 Q。证明：以 为直径的圆恒过 轴上某定点。考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。难度：难。分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：（I）设 12(,)(,)AxyB；则 221,xpy212112 21()0(,0)Opyp
