1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程,主题1椭圆的定义1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形?提示:得到一个椭圆.,2.在椭圆的形成过程中,有哪些不变的量?提示:细绳的长度不变,即动点到两定点的距离和不变.,结论:椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这_叫做椭圆的焦点,_叫做椭圆的焦距.,常数,两个定点,两焦点间的距离,【微思考】1.当动点P与两定点F1,F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹是什么?,提示:如图,
2、当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P在线段F1F2上,所以点P的轨迹是线段F1F2.,2.判断一个点的轨迹是否是椭圆,应该满足什么条件?提示:需满足两个条件:一是该点到两个定点的距离的和是常数,二是该常数要大于两定点间的距离.,主题2椭圆的标准方程1.根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程?提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立坐标系,然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程.,2.在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式?提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可.,结论:椭圆的标准方程,(0,-c),(0,c)
3、,【微思考】椭圆的标准方程中,参数a,b(ab0)与c满足的关系能否用图表示?方程 =1与 =1有何不同?,提示:a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a,b,c的关系如图.,当ab0时,方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆,方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.,【预习自测】1.在椭圆的标准方程中,a=6,b= ,则椭圆的标准方程是(),【解析】选D.因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.,2.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为()A.椭圆B.圆C.无轨迹D.椭圆或线段或无轨迹【解析】选D
4、.当2a|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a|F1F2|时,轨迹不存在.,3.已知椭圆 =1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是(),【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为,4.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为_.【解析】由题意知0m216,即0m4或-4m|F1F2|,适合该条件的点的轨迹是椭圆;选项D中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,(2)由椭圆方程 知:a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10.所以|PF2|=5.答案
5、:5,【方法总结】椭圆定义的双向运用(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.,【巩固训练】若F1,F2是两个定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【解析】选A.因为|MF1|+|MF2|=8,|F1F2|=6,所以点M的轨迹是椭圆.,【补偿训练】椭圆 上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于_.,【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10
6、-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|= |MF2|=4.答案:4,类型二定义法求椭圆的标准方程【典例2】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.,【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.,【解析】设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r,又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|
7、AB|).,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6,所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为,【延伸探究】典例中条件改为已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.,【解析】设圆P的半径为r,则 所以|PA|+|PB|=126=|AB|,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且 所以a=6,b2=27,所以点P的轨迹方程是 =1.,【方法总结】定义法求椭圆的标准方程(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该
8、常数(定值)大于两定点间的距离.(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.,【拓展延伸】定义法是求轨迹方程的一种常用方法.求解时,若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程.,【巩固训练】如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.,【解析】由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|,所以|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.所以|CM|+|MA|=4.又因为|AC|=2,所以M点轨迹为椭圆.由椭圆的定义知:
9、a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3.所以所求轨迹方程为: =1.,类型三待定系数法求椭圆的标准方程【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).(3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).,【解题指南】根据条件设出椭圆的标准方程,代入已知点确定椭圆的系数.,【解析】(1)由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为2a= =10,所以a=5.又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为,(2)由于椭圆的焦点在y轴上
10、,所以设它的标准方程为 (ab0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以 故所求椭圆的标准方程为 +x2=1.,(3)方法一:当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有 故所求椭圆的标准方程为,当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为 (ab0).依题意有 因为ab0,所以无解.所以所求椭圆的标准方程为,方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),依题意有 解得 所以所求椭圆的标准方程为,【方法总结】待定系数法的应用策略(1)确定曲线的方程时,若能明确方程的形式,则可设出曲线方程,建立含参数的等式,求出参数的值,再代入所设方程.(2)由于椭圆Ax2+By
11、2=1(A0,B0,AB)包含焦点在x轴上(AB)两类情况.因此,方法二的处理避免了分类讨论,达到了简化运算的目的.,【巩固训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过两点 (2)过点( ),且与椭圆 =1有相同的焦点.,【解析】(1)方法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为 =1(ab0).由已知条件得 所以所求椭圆的标准方程为,若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为 =1(ab0).由已知条件得 即a2=4,b2=8,则a2b0矛盾,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为,方法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).将两点 代入, 所以所求椭圆的标准方程为,(2)因为所求
12、椭圆与椭圆 =1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.,设它的标准方程为 =1(ab0).因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.又点( )在椭圆上,所以 即 =1,由得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为 =1.,【补偿训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.(2)经过点A(0,2)和B,【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为,(2)设所求椭圆的标准方程为Mx2+Ny2=1(M0,N0,MN).因为椭圆经过A(0,2)和B 两点,所以 所以所求椭圆方程为x2+ =1.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结椭圆标准方程的求法(1)待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b.(2)相关点法(代入法):即先找到动点的相关点,然后通过相关点的轨迹方程,确定动点的轨迹方程.,
