1、12013 2014 学年度第一学期期末高三联考试卷 数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知全集 U=R,集合 )(,021|,1| NMCxNxMU则 = 2若 biia，其中 a,都是实数， i是虚数单位，则 bia= 3某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本已知女生比男生少抽了 10 人，则该校的女生人数应是 人4集合 A2，3， B1，2，3, 从 A， B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是 5若“ 01x”是“ ()(2)0xa”的充分不必要条件
2、,则实数 的取值范围是 6按右面的程序框图运行后,输出的 S应为 7已知等比数列 n的公比 q,且 46,8a成等差数列 ,则 na的前 8 项和为 8长方体 1ABCD中, 13,2ABC,则四面体1的体积为 9函数,(30)82sin()kxy的图像如图，则 k= 10已知平面向量 1(,)axy， 2(,)bxy，若 2,3,ab6a，则 12xy的值为 11已知椭圆2:(0)Cab和圆 22:Oxy,若 C上存在点 P,使得过点P引圆 O的 两 条 切 线 ,切 点 分 别 为 ,AB,满 足 60P,则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值范 围 是 12定义域为 R的偶函数 )(xf
3、满足对 R,有 )1()2(fxf,且当 3,2x 时, 182)(xf ,若函数 |logxya在 0i5?否开始S=0,i=1T=3i1S=S+Ti= i+1是输出 S结束-3 5-2yO83A B CPQ2上至少有三个零点,则 a的取值范围是 13如图，点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点，AB=BC=2，过动点 P 作半圆的切线 PQ，若 3PCQ,则 PAC的面积的最大值为 14已知三次函数 32()()abfxxcdab在R上单调递增，则 23abc的最小值为 二解答题：(本大题共 6 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15已知函数 12sin,3f
4、xxR.(1)求 54f的值;(2)设 106,0, 32cos252ff， ， 求 的值16如图,四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ADEF 是正方形，且 BD平面 CDE， H 是 BE的中点, G 是 AE,DF 的交点.（1）求证: GH平面 CDE；（2）求证:面 ADEF面 ABCD.317某企业有两个生产车间分别在 A、 B两个位置， A车间有 100 名员工， B车间有 400名员工。现要在公路 C上找一点 D,修一条公路 ，并在 D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知 、 、 中任意两点间的距离均有 km1，设BDC，所有员工从车间到食堂步行的总路程为 s.（
5、1）写出 s关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；（2）问食堂 建在距离 A多远时，可使总路程 s最少.18已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于 12,它的一个顶点恰好是抛物线283y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,(i)若直线AB的斜率为 12,求四边形APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.ABPQO xyABCD第 17 题图419已知各项均为正数的数列 na前 项的和为 nS，数列 2na的前 项的和为 nT，且2*34,
6、nnSTN证明数列 是等比数列，并写出通项公式；若 20n对 *恒成立，求 的最小值；若 12,xyna成等差数列，求正整数 ,xy的值20已知函数 (1)()lnaxf R， (1)若 2x是函数 f的极值点，求曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程；(2)若函数 ()f在 0,)上为单调增函数，求 a的取值范围；(3)设 ,mn为正实数，且 n，求证： 2lnm52013 2014 学年度第一学期高三联考试卷 数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知全集 U=R,集合 )(,021|,1| NMCxNxMU则 x|x
7、22若 biia，其中 a,都是实数， i是虚数单位，则 bia= . 53某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本已知女生比男生少抽了 10 人，则该校的女生人数应是 人答案：7604集合 A2，3， B1，2，3, 从 A， B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是 135若“ 0x”是“ ()(2)0xa”的充分不必要条件,则实数 的取值范围是 1,6按右面的程序框图运行后,输出的 S应为 407已知等比数列 na的公比 2q,且 46,8a成等差数列 ,则 n的前 8 项和为 2558长方体 1ABCD中, 13,2ABC
8、,则四面体 1的体积为_.69函数,(0)82sin()()3kxy的图像如图，则 k= 110已知平面向量 1(,)axy， 2(,)bxy，若 2,3,ab6a，则 12xy的值为 2311已知椭圆2:1(0)xyCab和圆 22:Oxyb,若 C上存在点 P,使得过点P引圆 O的 两 条 切 线 ,切 点 分 别 为 ,AB,满 足 60P,则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值i5?否开始S=0,i=1T=3i1S=S+Ti= i+1是输出 S结束-3 5-2yO836范 围 是 3,1)212定义域为 R的偶函数 (xf满足对 R,有 )1()2(fxf,且当 3,2x 时, 8)(
9、2xf ,若函数 |logxya在 0上至少有三个零点,则 a的取值范围是 )3,0(13如图，点 C 为半圆的直径 AB 延长线上一点，AB=BC=2，过动点 P 作半圆的切线 PQ，若 PCQ,则 PAC的面积的最大值为 314已知三次函数 2()()abfxxcdab在R上单调递增，则 23abc的最小值为 3572 二解答题：(本大题共 6 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15已知函数 1sin,3fxxR.(1)求 54f的值;(2)设 106,0,332cos252ff， ， 求 的值【答案】解: (1) 5sinsin4164f 6 分(2) 051
10、232i,i,0,cos31323f 8 分64sincos,in;, 5f10 分1235416coscoin.12 分930,0,s.2114分A B CPQ716如图,四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ADEF 是正方形，且 BD平面 CDE， H 是 BE的中点, G 是 AE,DF 的交点.（1）求证: GH平面 CDE；（2）求证:面 ADEF面 ABCD.证明： 是 ,AEDF的交点， G是 AE中点，又 H是 BE的中点， B中， H/， 2 分 ABCD 为平行四边形 ABCD /GCD， 4 分又 ,EGHCDE平 /H平面 7 分 B平 面 ，所以 DE， 9 分又
11、因为四边形 AF为正方形， 10 分B，EDC面，- 12 分AF面B面 面. 14 分17某企业有两个生产车间分别在 A、 B两个位置， A车间有 100 名员工， B车间有 400 名员工。现要在公路 C上找一点 D,修一条公路 ，并在 D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知 、 、 中任意两点间的距离均有 km1，设 C，所有员工从车间到食堂步行的总路程为 s.（1）写出 s关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；（2）问食堂 D建在距离 A多远时，可使总路程 s最少解：（1）在 BC中， )120in(si60inCDB， 2 分ABCD第 17 题图8,sin23BDsin
12、)10(C，则 sin)120(AD。4 分i)2(i400 i4co35，其中 32。 6 分（2） 22 sin10sins)4(coi35 s。8 分令 0得 41cos。记 )3,(,0 10 分当 cs时， s，当 41o时， ，所以 s在 ),3(0上，单调递减，在 20上，单调递增，所以当 0，即 41cos时， s取得最小值。 12 分此时， 5sin， sin)20(ADsin21co31sinco2311052431答：当 1052AD时，可使总路程 s最少。 14 分18已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于 12,它的一个顶点恰好是抛物线283y的焦点.(1)
13、求椭圆C的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A、B是椭圆上位 于直线PQ两侧的动点,9(i)若直线AB的斜率为 12,求四边形 APBQ面积的最大值;(ii)当A、B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.解:(1)设椭圆 C的方程为 )0(12bayx则 23b. 由 21,ca,得 4 椭圆 C 的方程为 6xy 4 分(2)(i)解:设 12(,)(,)AB,直线 AB的方程为 txy21, 代入26xy,得 01tx 由 0,解得 4t 由韦达定理得 2,2121tx. 6 分四边形 APBQ的面积 23486txS 当 0t, max3
14、 9 分(ii)解:当 ,则 PA、 B的斜率之和为 0,设直线 PA的斜率为 k 则 PB的斜率为 k, 的直线方程为 3(2)ykx 由 23()(1)216yx (1)代入(2)整理得 2(34)8(32)4()80kxkxk 11 分218x同理 PB的直线方程为 )(xky,可得 222 43)(43)(kkx 21122648,343kxx14 分21)()()( 122121 xkxkykABABPQO xy10所以 AB的斜率为定值 21 16 分19已知各项均为正数的数列 na前 项的和为 nS，数列 2na的前 项的和为 nT，且2*34,nnSTN证明数列 是等比数列，并
15、写出通项公式；若 20n对 *恒成立，求 的最小值；若 12,xyna成等差数列，求正整数 ,xy的值（1）因为 2()34nST，其中 nS是数列 na的前 项和， nT是数列 2na的前 项和，且 0，当 时，由 211()34a，解得 1a，2 分当 2n时，由 22()，解得 2； 4 分由 )(nTS，知 411nnTS，两式相减得03)4211 n a，即 03)(1nnaS，5 分亦即 2n，从而 1,2)nS ，再次相减得1,()nna，又 12a，所以 1,()n所以数列 n是首项为 1，公比为 的等比数列， 7 分其通项公式为 2na *N 8 分（2）由（1）可得 nnnS211，143nnT， 10 分若 02nTS对 *N恒成立，只需 126312nnn对 *N恒成立，
