1、第 10 章 气体分子运动论10.1 已知温度为 27的气体作用于器壁上的压强为 105Pa，求此气体内单位体积里的分子数解：根据气体压强公式 p = nkT，其中 k = 1.3810-23JK-1 称为玻尔兹曼常数当 T = 300K 时，气体单位体积内的分子数为 n = p/kT = 2.4151025(m-3)10.2 一个温度为 17、容积 11.210-3m3 的真空系统已抽到其真空度为 1.3310-3Pa为了提高其真空度，将它放在 300的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来烘烤后容器内压强为 1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？解：烘烤前容器内单位体积内的分子为
2、 n1 = p1/kT1 = 3.321017(m-3)，烘烤后容器内单位体积内的分子为 n2 = p2/kT2 = 1.681020(m-3)器壁原来吸附的分子数为 N = (n2 n1)V = 1.88101810.3 已知 275K 和 1.00103Pa 条件下气体的密度 = 1.2410-5gcm-3，求：（1）气体的方均根速率 ；2v（2）气体的摩尔质量 ，并指出是什么气体解：（1）气体的密度为 = 1.2410-2(kgm-3)，根据气体压强和能量的公式 ，得213pv气体的方均根速度为 = 491.87(ms-1)23/vp（2）根据理想气体状态方程 ，由于气体密度为 = M/
3、V，所以方程可变为MVRT，气体的摩尔质量为 = RT/p = 0.0283(kg)这种气体是氮气 N2pRT10.4 当温度为 0时，求：（1）N 2 分子的平均平动动能和平均转动动能；（2）7gN 2 气体的内能 、解：（1）N 2 分子有 t = 3 个平动自由度，其平均平动动能为 = 5.6510-21(J)2twkT将 N2 分子当作刚体，它就还有 r = 2 个转动自由度，其平均转动动能为= 3.7710-21(J)rwkT（2）N 2 分子的摩尔质量为 = 0.028kg，质量 M = 0.007kg 的 N2 分子的摩尔数为 n0 = M/ = 0.25，分子总数为 N = n
4、0NA，其中 NA = 6.021023 为阿佛伽德罗常数，而气体普适常量 R = kNA = 8.31(JK-1mol-1)N 2 分子的自由度为 i = t + r = 5，气体的内能为= 1.417103(J)00iiEkTknRT10.5 一个能量为 1.610-7J 的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气 0.01mol，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？解：氖气是堕性气体，分子式是 Ne，只能平动动能，自由度为 i = t = 31当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式 02iEnRT可得气体升高的温度为 = 1.2810-6(K)02ETinR10.6
5、 某些恒星的温度达到 108K 的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率多大？解：（1）质子的平动自由度为 t = 3，平均平动动能为 = 2.0710-15(J)2twkT（2）质子的质量为 mp = 1.672611027(kg)，由于 ，p1tmv所以质子的方均根速率为 = 1.573106(ms-1)2ptkTv10.7 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为 250K；另一半装有氧气，温度为 310K两种气体的压强均为 p0求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？解：设氦气和氧气分子各有 N1 和 N2 个，氦
6、气是单原子分子，自由度为 i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为 i2 = 5隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为， 11iEkT2ikT隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为 12iEN这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有 i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T由于压强 ，所以 ；同理可得 01NpnkTV0pVk0pVk将 N1 和 N2 的公式代入上面公式可得 ，12102()iiii约去公因子，可得混合气体的温度为 = 284.4(K)12()Ti混合气体的压强为= 1.0275 p012()pnkTkTV012()pVk2120()i10.8
7、 将（10.19）式表示成以理想气体最可几速率 vp 为单位表示的形式，即令 x = v/vp，若已知 ，试计算：210ed.7468x（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？（3）参照表 11.1，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间解：理想气体分子数占分子总数的比率为 dN/N = f(v)dv，2其中 f(v)是麦克斯韦速率分布函数： 23/2()4)exp()mvfvkTk设 x = v/vp，其中 ，则 dv = vpdx，p2kT因此速率分为 dN/N = g(x)dx，其中 2()e（
8、1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为，设 ，211004()edxN210dxI则 2 2edxxI 2210(e)xx即 ，11(.7648)所以 = 0.4276 = 42.76%12(0.3e)NI（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为= 0.5724 = 57.24%21（3）对于氧气分子，速率在 v1v2 之间的分子数占分子总数的比率为，21()dvNf1 23/24()exp()dvmvkTk其中 m 表示氧分子的质量用 m表示氢分子的质量，则 m = 16m，对于氢分子的同一比率则有，取 v = 4v，可得21 23/2664()exp()dv v
9、kk，21 23/24 vNT可见：氧气分子速率从 v1 到 v2 之间的分子数的比率与氢气分子速率从 4v1 到 4v2 之间的分子数的比率相同从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的 2 倍时，这种气体分子速率从 v1 到 v2 之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从 v1 到 v2 之间的分子数的比率相同10.9 由 108 题结果，求速率在 0.99vp 到 1.01vp 之间的分子数占分子总数的百分比解：分子数比率为 ，其中 1.0.9()dNgx 24()exgx利用中值定理得 = 0.0166 = 1.66%1.090.10.11 已知 f(v)是麦克斯韦
10、分子速率分布函数，说明以下各式物理意义（1）f(v)dv；（2）nf(v)dv，n 为分子数密度；3（3） ；21()dvf（4） ，v p 为最可几速率；p0（5） p2()vf解：（1）由公式 dN/N = f(v)dv 可知：f(v)dv 表示分子数在速率区间 vv+dv 之中分子数的比率 dN/N（2）由于 n = N/V，可得 ndN/N = dN/V，因此 nf(v)dv 表示分子数在速率区间 vv+dv 之中分子数密度（3） 表示分子在速率区间 v1 到 v2 之间的平均速率21()vf（4） 表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率p0（5） 表示分子速率大于最可几速率
11、的速率平方的平均值p2()dvf10.12 质量为 6.210-14g 的微粒悬浮于 27的液体中，观察到它的方均根速率为 1.4cms-1由这些结果计算阿佛加德罗常数 NA解：当粒子平动时，其平均平动动能为 ，231wkTmv由此得阿氏常数为 = 6.15451023(mol-1)23ARkmv10.14 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的 75%设空气温度为 0，空气的平均摩尔质量为 0.028 9kgmol-1解：根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系其中 m 是一个分子的质量0exp()gzkT用 NA 表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为 = NAm，气体的普适常数为 R =
12、k.NA压强公式可表示为 高度为 = 2304(m)0()R0lnpRTzg10.17 在标准状态下 CO2 气体分子的平均自由程 = 6.2910-8m，求两次碰撞之间的平均时间和 CO2 气体分子的有效直径解：C 的原子量是 12，O 的原子量是 16，CO 2 的分子量是 44，摩尔质量为 = 0.044kgmol-1，其平均速率为= 362.3(ms-1)8kTRvm两次碰撞之间的平均时间为 = 1.73610-10(s)根据公式 ，tv2kTdp可得 CO2 气体分子的有效直径为 = 3.64810-10(m)2kTdp10.20 容器贮有 O2 气，其压强为 1.013105Pa，
13、温度为 27，有效直径为 d = 2.910-10m，求：4（1）单位体积中的分子数 n；（2）氧分子质量 m；（3）气体密度 ；（4）分子间平均距离 l；（5）最可几速率 vp；（6）平均速率 ；（7）方均根速率 ；2（8）分子的平均总动能 ；（9）分子平均碰撞频率 ；z（10）分子平均自由程 解：（1）由 p = nkT 得单位体积中的分子数为 n = p/kT = 2.4510-25(m-3)（2）氧分子的原子质量单位是 32，一质量单位是 u = 1.6605510-27kg，分子的质量为m = 32u = 5.3110-26(kg) （3）根据理想气体状态方程 ，氧的摩尔质量 = 0
14、.032 kgmol-1，MpVRT其密度为 = 1.30(kgm-3)RT（4）一个分子占有体积为 v = 1/ n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为l = (1/n)1/3 = 3.44510-9(m)（5）最可几速率为 = 394.7(ms-1)p2km（6）平均速率为 = 445.4(ms-1)8Tv（7）方均根速率为 = 483.5(ms-1)23k（8）分子的自由度为 i = 5，平均总动能为 = 1.03510-20(J)2ikT（9）分子平均碰撞频率为 = 4.07109(s-1)2zdnv（10）分子平均自由程为 = 1.0910-7(m)kTp10.21 设氢的范德瓦
15、耳斯常量 b 值为 1mol 气体体积总和的 4 倍将气体分子看作刚球，试计算 H2 分子的直径 （对于 H2，b = 2.6610 -5m3mol-1） 解：1mol 气体有 NA = 6.021023 个分子，设分子直径为 d，将分子当作刚性球体，则有，可解得分子直径为 = 2.7610-10(m)34()Adb 1/3()6AbdN10.22 1mol 气体在 0时的体积为 0.55L，试用范德瓦耳斯方程计算它的压强再将它看作理想气体，压强又为多少？（a = 0.364Pam 6mol-1，b = 4.2710-5m3mol-1）解：气体体积为 v = 0.5510-3m-3根据范氏方程 ，2()apvRT可得压强为 = 3.67106(Pa)2RTapb而理想气体的压强为 = 4.12106(Pa)v5
