1、运筹学习题集1第一章 线性规划11 将下述线性规划问题化成标准形式1) min z 3x 1 4x2 2x3 5 x44x 1 x2 2x3 x 4 2st. x1 x2 x3 2 x4 142x 1 3x2 x3 x4 2x1 ，x 2 ，x 3 0，x 4 无约束2) min z 2x1 2x 2 3x 3 x1 x2 x3 4st. 2x 1 x2 x3 6x10 ，x 2 0，x 3 无约束12 用图解法求解 LP 问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。1) minz2x 13x 24x16x 26st 2x 12x 24x1，x 202) maxz3x 1
2、2x 22x1x 22st 3x 14x 212x1，x 203) maxz3x 15x 26x110x 2120st 5x 1103x 284) maxz5x 16x 22x1x 22st 2x 13x 22x1，x 2013 找出下述 LP 问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）minz5x 12x 23x 32x 4x12x 23x 34x 47st 2x 12x 2x 3 2x43x1，x 2，x 3，x 40运筹学习题集214 分别用图解法与单纯形法求解下列 LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。1) maxz10x 15x 23x14x 29st 5x12x 28
3、x1，x 202) maxz2x 1x 23x15x 215st 6x 12x 224x1，x 2015 分别用大 M 法与两阶段法求解下列 LP 问题。1) minz2x 13x 2x 3x14x 22x 38st 3x 12x 2 6x1，x 2 ，x 302) max z 4x1 5x2 x3 . 3x1 2x2 x3 18 St. 2x1 x2 4 x1 x2 x3 5 3) maxz 5x13x 2 +6x3x12x 2 x 3 18st 2x1x 2 3 x 3 16x1x 2 x 310x1，x 2 ，x 30 1231231234)ma05596.,0zxxst16 求下表中
4、a l 的值。cj （a ） 1 2 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x50 x4 6 （b） （c ） （d） 1 00 x5 1 -1 3 （e ） 0 1j （a ） -1 2 0 0（a） x1 （f） （g） 2 -1 1/2 00 x5 4 （h） （I） 1 1/2 1运筹学习题集3cj （a） 1 2 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5j 0 -7 （j） （k） （l）1.7 某班有男生 30 人，女生 20 人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑 20 个，或栽树 30 棵，或给 25 棵树浇水；女生平均每人挖坑 10 个，或栽树 20
5、 棵，或给 15 棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。1.8 某糖果厂用原料 A、B、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中 A、B、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）A 60 15 2.00 2000B 1.50 2500C 20 60 50 1.00 1200加工费（元/千克） 0.50 0.40 0.30售 价
6、3.40 2.85 2.251.9 某商店制定 712 月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过 500 件，6 月底已存货200 件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。月 份 7 8 9 10 11 12买进单价 28 24 25 27 23 23售出单价 29 24 26 28 22 251.10 某厂接到生产 A、B 两种产品的合同，产品 A 需 200 件，产品 B 需 300 件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品 A 每件需要 2小时，产品 B 每件
7、需要 4 小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品 A需粗加工 4 小时，精加工 10 小时；每件产品 B 需粗加工 7 小时，精加工 12 小时。若毛坯生产阶段能力为 1700 小时，粗加工设备拥有能力为 1000 小时，精加工设备拥有能力为3000 小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时 3 元、3 元、2 元。此外在粗加工阶段允许设备可进行 500 小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本 4.,5 元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。1.11 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工
8、和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为 100 元和 80 元，他们每周都工作 48 小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为 42 和 36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作 10000 小时。第二项工作 20000 小时，第三项工作 30000 小时。又能招收到的工人数为技工不超过 400 人，力工不超过 800 人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(运筹学习题集4第二章 对偶与灵敏度分析21
9、 写出以下线性规划问题的 DLP1) minz2x 12x 24x 3x 13x 24x 3 2st 2x1 x23x 3 3x 14x 23x 3 5x1，x 20，x 3 无约束2) maxz5x 16x 23x 3x 12x 22x 3 5st x 15x 2 x3 34x17x 23x 3 8x1 无约束，x 20，x 303) maxzc 1x1c 2x2c 3x3a11x1a 12x2a 13x3 b 1st a21x1a 22x2a 23x3 b 2a31x1a 32x2a 33x3 b 3x10，x 20，x 3 无约束22 对于给出的 LP：minz 2x13x 25x 36
10、x 4x 12x 23x 3x 4 2st 2x 1x 2x 33x 4 3x j0 （j=1,2,3,4）1) 写出 DLP；2) 用图解法求解 DLP；3) 利用 2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。23 对于给出 LP：maxzx 12x 2x 3x 1 x 2 x 3 2st x 1 x 2 x 3 12x1 x 2 x 3 2x10， x20，x 3 无约束1) 写出 DLP；2) 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值 Z124 已知 LP：maxzx 1x 2x 1 x 2 x 3 2st 2x 1 x2 x 3 1x j0运筹学习题集5试根据对偶问题性质证明上述线性问题目
11、标函数值无界。25 给出 LP：maxz2x 14x 2x 3x 4x 1 3x2 x 4 82x1 x2 6st. x 2 x 3 x46x1 x2 x 3 9xj01) 写出 DLP；2) 已知原问题最优解 X（ 2,2，4,0） ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。26 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题1) minz4x 112x 218x 3 x1 3x 3 3st 2 x 22x 3 5 x j0 (j=1,2,3)123231)min54.60,zxstx27 考虑如下线性规划问题minz60x 140x 280x 33x12x 2 x3 2st 4x1 x23x 3 4
12、2x12x 22x 3 3x j01) 写出 DLP；2) 用对偶单纯形法求解原问题；3) 用单纯形法求解其对偶问题；4) 对比以上两题计算结果。28 已知 LP：maxz2x 1x 2x 3x1 x2 x36st x 12x 2 4x1，x 2，x 301) 用单纯形法求最优解2) 分析当目标函数变为 maxz2x 13x 2x 3 时最优解的变化；3) 分析第一个约束条件右端系数变为 3 时最优解的变化。运筹学习题集629 给出线性规划问题maxz2x 13x 2x 31/3x1 1/3x21/3x 31st 1/3x1 4/3x27/3x 33xj0用单纯形法求解得最终单纯形表如下cj
13、2 3 1 0 0CB XB B x1 x2 x3 x4 X52 x1 1 1 0 1 4 13 x2 2 0 1 2 1 1j 0 0 3 5 1试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化： 1) 目标函数中变量 x3 的系数变为 6；2) 分别确定目标函数中变量 x1 和 x2 的系数 C1、C 2 在什么范围内变动时最优解不变；3) 约束条件的右端由 1 变为 2 ；3 32.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要 A、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件） 。产品原料 甲 乙 可用量（千克） 原料成本（元/千克）A 2 4 160 1.0B 3 2 180 2.0销售
14、价（元） 13 16（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。（2）原料 A、B 的影子价格各为多少。（3）现有新产品丙，每件消耗 3 千克原料 A 和 4 千克原料 B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。（4）工厂可在市场上买到原料 A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为 1000、2000、2000 件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为 1500 件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知
15、丙百货商店要求至少供应 C 玩具 1000 件，而拒绝进 A 玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。甲 乙 丙 可供量A 5 4 1000B 16 8 9 2000C 12 10 11 2000运筹学习题集7第三章 运输问题31 根据下表，用表上作业法求最优解。B1 B2 B3 B4 产量A1 4 1 4 6 8A2 1 2 5 0 8A3 3 7 5 1 4销量 6 5 6 3 2032 根据下表，用表上作业法求最优解。B1 B2 B3 B4 产量A1 9 3 8 7 3A2 4 9 4 5 3A3 5 7 6 2 5销量 1 3 2 5 1133 求给出的产销不平衡问题的最优
16、解B1 B2 B3 B4 产量A1 5 12 3 4 8A2 11 8 5 9 5A3 9 7 1 5 9销量 4 3 5 63.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。假定在第 1，2 和 3 面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为 12 元、16 元和 11 元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位） 。食品厂面粉厂 1 2 3 面粉厂产值123348101111284203020销量 15 25 203.5 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定
17、销的。已知 1 至 6 月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表： 正 常 生 产 能 力 （ 台 ） 加 班 生 产 能 力 （ 台 ） 销 量 （ 台 ） 单 台 费 用 （ 万 元 ） 1月 份 60 10 104 15 2月 份 50 10 75 14 3月 份 90 20 115 13.5 4月 份 100 40 160 13 5月 份 100 40 103 13 6月 份 80 40 70 13.5 运筹学习题集8已知上年末库存 103 台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本 0.1 万元,每台机器每月的平均仓储费、维
18、护费为 0.2 万元。在 7-8月份销售淡季，全厂停产 1 个月，因此在 6 月份完成销售合同后还要留出库存 80 台。加班生产机器每台增加成本 1 万元。问应如何安排 1-6 月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？3.6 设有 A、B、C 三个化肥厂供应 1、2、3、4 四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表：试求总费用为最低的化肥调拨方案第四章 动态规划41 现有天然气站 A，需铺设管理到用气单位 E，可以选择的设计路线如下图，B、C、D 各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：万元） ，试设计费用最低的线路。42 一艘货轮在 A 港装货后驶往 F 港
19、，中途需靠港加油、加淡水三次，从 A 港到 F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F 港有 3 个码头 F1，F 2，F 3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。713475147105151312AB11B2C11C2C3B3D1D2E5106403050255060 302040302030604550AB11B2C11C2C3D1F1D24030F2F3F1 2 3 4 产 量 A 6 13 2 17 50 B 14 19 5 6 C 9 20 23 - 50 最 低 需 要 量 30 7 0 10 最 高 需 要 量 5 0 3 不 限 运筹学习题集943 某公司有资金 4
20、万元，可向 A、B、C 三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。投资额及收益项目0 1 2 3 4A 0 41 48 60 66B 0 42 50 60 66C 0 64 68 78 764.4 某厂有 1000 台机器，高负荷生产，产品年产量 S1 与投入机器数 Y1 的关系为S18Y1，机器完好率为 0.7；低负荷生产，产品年产量 S2 与投入机器数 Y2 的关系为S25Y2，机器完好率为 0.9；请制定一个五年计划，使总产量最大。4.5 某厂准备连续 3 个月生产 A 种产品，每月初开始生产。A 的生产成本费用为 x2，其中x 是 A 产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月
21、每单位为 1 元。估计 3 个月的需求量分别为 d1 100， d2 110， d3 120。现设开始时第一个月月初存货 s00，第三个月的月末存货 s3 0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。4.6 某公司为主要电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划，这四个月的需求如表 1 所示。生产成本随着生产数量而变化。调试费为 4，除了调度费用外，每月生产的头两台各花费为 2，后两台花费为 1。最大生产能力每月为 4 台，生产成本如 2 所示。表 1表 24.7 某工厂生产三种
22、产品，各种产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过 6t，问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。运筹学习题集10产品 重量（t/ 件） 利润（千元/件）1 2 802 3 1303 4 1804.8 用动态规划方法求解 213213max490,zx第五章 存储论51 某建筑工地每月需用水泥 800t，每 t 定价 2000 元，不可缺货。设每 t 每月保管费率为 0.2%，每次订购费为 300 元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。52 一汽车公司每年使用某种零件 150，000 件，每件每年保管费 0.2 元，不允许缺货，试比较每次订购费为 1,000
23、 元或 100 元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。53 某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产 1000 台，但对该拖拉机的市场需要量为每年 4,000 台。已知每次生产的准备费用为 15,000 元，每台拖拉机每月的存贮费为 10 元，允许缺货（缺货费为 20 元/台月） ，求经济生产批量、经济周期与最小费用。54 某产品每月需求量为 8 件，生产准备费用为 100 元，存贮费为 5 元/月件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月 20 件和 40 件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。55 对某种电子元件每月需求量为 4,000 件，每件成本为 150 元，
24、每年的存贮费为成本的 10%，每次订购费为 500 元。求：（1） 不允许缺货条件下的最优存贮策略；（2） 允许缺货（缺货费为 100 元/件年）条件下的最优存贮策略。56 某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为 150 件，订购费为每次400 元，存贮费为 0.96 元/件月，并不允许缺货。（1） 求经济订购批量、经济周期与最小费用；（2） 该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的 10%，求这时的最优存贮策略。57 某公司每年需电容器 15,000 个，每次订购费 80 元，保管费 1 元/个年，不允许缺货。若采购量少于 1000
25、 个时，每个单价为 5 元，当一次采购 1000 个以上时每个单运筹学习题集11价降为 4.9 元。求该公司的最优采购策略。58 某工厂对某种物料的年需要量为 10,000 单位，每次订货费为 2,000 元，存贮费率为 20%。该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在 2,000 单位以下时，单价为 100 元；当采购数量在 2,000 及以上单位时，单价为 80 元。求最优采购策略。59 某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为 300 万件，不允许缺货；一次订购费为 100 元；存贮费为 0.1 元/件月。该外购件进货单价和订购批量 Q 有关，具体如下表，求最佳订购策略。批量（
26、件） 0Q10000 10000Q30000 30000Q50000 Q50000单价（元） 1.00 0.98 0.96 0.94510 试证明：一个允许缺货的 EOQ 模型的费用，决不会超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不允许缺货的 EOQ 模型的费用。511 某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装。据估计，该时装可能的销售量见下表：销售量 r（套） 150 160 170 180 190概率 P（r） 0.05 0.1 0.5 0.3 0.05该款式时装每套进价 180 元，售价 200 元。因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套 120 元。问该时装屋在季度初时一次
27、性进货多少为宜？第六章 排队论61 某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为 Poisson 流，平均 3 人/h ，修理时间服从负指数分布，平均需 10min。求：（1） 店内空闲的概率；（2） 有 4 个顾客的概率；（3） 至少有 1 个顾客的概率；（4） 店内顾客的平均数；（5） 等待服务的顾客的平均数；（6） 平均等待修理时间；（7） 一个顾客在店内逗留时间超过 15 min 的概率。62 设有一单人打字室，顾客的到达为为 Poisson 流，平均到达时间间隔为 20 min ，打字时间服从负指数分布，平均为 15min。求：（1） 顾客来打字不必等待的概率；（2） 打字室内顾客的平均数；
28、（3） 顾客在打字室内的平均逗留时间；（4） 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过 1.25h，则主人将考虑增加设备及运筹学习题集12打字员。问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做。63 汽车按平均 90 辆/h 的 Poisson 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为 38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均 30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过 5 辆和新系统中关卡的空闲时间不超过 10%时才是合算的。根据这一要求，分析采用新装置是否合算。6.4 有一个 M/M/1/5 系统，平均服务率 10。就两种到达率 6，15 已得到相应的概率 pn,如下表所示，试就两种到达率分析：（1） 有效到达率和系统的服务强度；（2） 系统中顾客的平均数；（3） 系统的满员率；（4） 服务台应从哪些方面改进工作，理由是什么？系统中顾客数 n （6） pn, （15） pn,0123450.420.250.150.090.050.040.050.070.110.160.240.371
