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类型R1上的Fourier变换与Rn上的Fourier变换.docx

  • 上传人:buyk185
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    1、 1 / 10上的 Fourier 变换与 上的 Fourier 变换R1 Rn摘要:本文分别给出了一维和 n 维的 Fourier 变换的定义,并较系统的给出了Fourier 变换分别在一维和 n 维的性质。并讨论了 Fourier 变换在一维和 n 维中的区别和联系。关键词: 上的 Fourier 变换 上的 Fourier 变换R1 Rn一、 引言在数学中常用变换的方法来简化问题或运算,如在线性代数中的坐标变换;在积分中的变量代换使积分运算化简;在复变函数论中的保角变换,可使复杂的区域变换为较简单的区域,使某些问题容易解决。由此可见,变换的思想是数学中简化问题的常用方法。其中,积分变换的

    2、理论和方法是简化问题的一种重要而有效的数学方法,它不仅应用于许多数学分支,而且在物理与工程技术上都有广泛的应用,特别在自动控制和电信技术上,积分变换是分析问题的重要而有效的手段。积分变换就是通过积分的方法,把一个函数变换为另一个函数。最常用的积分变换有傅里叶(Fourier)变换与拉普拉斯(laplace)变换。本文着重讨论了傅里叶变换分别在一维和 n 维的定义和性质,以及它们之间的区别与联系。二、 正文2.1 上的 Fourier 变换的定义R1对定义在区间 上的实自变量 t 的函数 f(t),乘以 ,然后对(,+) t 由 到 积分。若此广义积分收敛,则此积分确定了一个实变数 的复值 +

    3、函数 F( ),即 ()=+()(2.1.1)这样,式(2.1.1)中的积分给出了函数 f(t)与另一个函数 的对应规律,()这种对应规律叫积分变换。这里的积分变换,称作 Fourier 变换,用记号表示。即 。() ()=()=+()函数 称为函数 f(t)的像函数,或称为函数 f(t)的傅里叶变换的结果,()也简称为 f(t)的傅里叶变换。反之,我们称 f(t)为 的像原函数或傅里叶逆()变换。 的逆变换用记号 表示,所以由(2.1.1)式有() 1()2 / 10()=1()=12+()(2.1.2)对于定义在 上的单侧函数 f(t),可以把 f(t)延拓为 上0,+) (,+)的偶函数

    4、或奇函数,从而使其满足傅里叶积分定理的条件,则有以下结论:当 f(t)延拓为 上的偶函数时,有(,+)()=()=2+0 ()(2.1.3)称为 Fourier 余弦变换。其相应的逆变换为()=1+0 ()(2.1.4)当 f(t)延拓为 上的奇函数时,有(,+)()=()=2+0 ()(2.1.5)称为 Fourier 正弦变换。其相应的逆变换为()=1+0 ()(2.1.6)特别地,当函数 f(t)为定义在 上的偶函数时,其对应的(,+)Fourier 变换为()=()(2.1.7)当 f(t)为定义在 上的奇函数时,其对应的 Fourier 变换为(,+)()=()(2.1.8)2.2

    5、上的 Fourier 变换的性质R12.2.1 线性性质设 与 为任意的两个函数,a、b 为任意常数,则1()2()1()+2()=1()+2()(2.2.1)2.2.2 对称性若 ,则作为 t 的函数 F(t)的像函数为 ,即f(t)=() 2()3 / 10()=2()(2.2.2)2.2.3 相似性设 ,则()=(), 0(2.2.3)()=1|()特别,取 b=-1,就得翻转公式()=()(2.2.4)2.2.4 位移性质1、平移后的像函数设 为实常数,则()=(), 0(0)=0()(2.2.5)2、像函数的平移设 为实常数,则()=(), ()=()(2.2.6)2.2.5 微分性

    6、质1、导数的像函数设 f 连续且在 上分段光滑, ,则当 f 和 为绝对可(,+)lim|()=0 积时,有()=()(2.2.7)如果 f 和它的前 n-1 阶导数连续,第 n 阶导数分段连续,f 及其直到 n 阶导数都绝对可积,并且当 时 f 和它的前 n-1 阶导数都趋于零,则|n=0,1,2, ()()=()() (2.2.8)2、像函数的导数设 ,则()=()4 / 10()=()(2.2.9)一般地有 n=0,1,2, ()=()() (2.2.10)2.2.6 积分性质若 t 的函数 满足傅里叶积分定理的条件,则()()=1()(2.2.11)2.2.7 卷积与卷积定理含参变量

    7、t 的积分 是 t 的函数,称作函数 与+1()2() 1()的卷积函数,简称卷积,记作 ,即2() 1()2()1()2()=+1()2()(2.2.12)容易验证卷积满足交换律、结合律和对加法的分配率,即(1) 12=21(2) (12)3=1(23)(3) 1(2+3)=12+13卷积定理 两个函数卷积的像函数,等于两个函数各自像函数的乘积,即1()2()=1()2()(2.2.13)频谱卷积定理 两函数乘积的像函数,等于它们像函数卷积的 倍,即121()2()=121()2()(2.2.14)不难把卷积定理推广到 n 重卷积的情况:1()2()()=1()2()()(2.2.15)5

    8、/ 10(2.2.16)1()2()()=1(2)11()2()()2卷积定理提供了卷积计算的简便方法:化卷积计算为乘积运算。2.2.8 巴塞弗(Persevel)恒等式设 , ,则()=() ()=()+()()=2+()()(2.2.17)式中横线是共轭复数的记号。 3特别地,当 时,有()=()+|()|2=2+|()|2(2.2.18)2.3 上的 Fourier 变换的定义R若要用傅里叶变换去解多维问题,首先必须将傅里叶变换的概念推广到多元函数去。n 元函数 的傅里叶变换定义如下:f(1,2,)(1,2,)=f(1,2,)=+共 次 f(1,2,)( 11+22+) 12(2.3.1

    9、)此处假定 f 在 n 维空间 上连续可导并绝对可积。傅里叶逆变换公式为f(1,2,)= 1(2)+共 次 (1,2,)( 11+22+) 12(2.3.2) 42.4 上的 Fourier 变换的性质R上 Fourier 变换的性质与 上 Fourier 变换的性质类似。为表示方便 nRn R1维函数 简记为 f。(1,2,)2.4.1 线性性质6 / 10设 与 为任意的两个 n 维函数,下面简记为 和1(1,2,) 2(1,2,) 1, a、 b 为任意常数,则21+2=1+2(2.4.1)2.4.2 对称性若 f 的像函数是 ,则(1,2,) (1,2,)(1,2,)=(2)(1,2,

    10、)(2.4.2)证明:由f(1,2,)= 1(2)+共 次 (1,2,)( 11+22+) 12得f(1,2,)= 1(2)+共 次 (1,2,)( 11+22+) 12将 与 (k=1,2, ,n)互换得 f(1,2,)= 1(2)+共 次 (1,2,)( 11+22+) 12即 (1,2,)=(2)(1,2,)2.4.3 相似性设 ,则(1,2,)=(1,2,), 0(2.4.3)(1,2,)=1|(1,2,)证明:令 (k=1,2, ,n),则有u= 7 / 10当 b0 时,(1,2,)=+共 次 f(1,2,)( 11+22+) 12=1+共 次 f(1,2,)( 11+22+) 1

    11、2=1(1,2,)同理可证当 b0 时,(1,2,)= 1()+共 次 f(1,2,)( 11+22+) 12=1()(1,2,)综上所述, (1,2,)=1|(1,2,)2.4.4 位移性质1、平移后的像函数设 (k=1,2, ,n)为实常数,则(1,2,)=(1,2,), (2.4.4(11,22,)=(11+22+)(1,2,))证明:令 (k=1,2, ,n),则有= (11,22,)=+共 次 (11,22,)( 11+22+) 128 / 10=+共 次 (1,2,)( 11+22+) (11+22+)12=(11+22+)(1,2,)2、像函数的平移设 为实常数,则(1,2,)=

    12、(1,2,), (=1,2,n)(11+)=(11,)(2.2.5)证明:(11+)=+共 次 f(11+)( 11+22+) 12=+共 次 f(11)1+(1)12=(11,)2.4.5 微分性1、导数的像函数k=1,2, ,n = (2.4.6)一般地有 k=1,2, ,n;m=1,2, =() (2.4.7)(2.4.8)21=()=12、像函数的导数k=1,2, ,n = (2.4.9)一般地有9 / 10k=1,2, ,n;m=1,2, =() (2.4.10)k=1,2, ,n 21=()=1 (2.4.11)以上各结论的证明比较麻烦,故证明在此被略去了。不过在证明上述结论的过程

    13、中,需要用到微分和积分交换顺序、积分交换顺序和分部积分法。所以函数 f 需要满足相应的条件。例如:在式 2.4.8 中要求 f 及其各阶偏导数在上连续。2.4.6 积分性质若 t 的函数 满足傅里叶积分定理21(1,2,)12的条件,则 21(1,2,)12= 1()=1(1,2,)(2.4.11)证明:设 (1,2,)=21(1,2,)12则由微分性质得 21(1,2,)=()=1而 ,所以21(1,2,)=(1,2,)=()=121(1,2,)12即21(1,2,)12= 1()=1(1,2,)2.4.7 卷积性质12=12(2.4.12)其中12=+共 次 1(1,2,)2(1,2,)

    14、12(2.4.13)12=1(2)12一般地,10 / 1012=12(2.4.14)12=1(2)12(2.4.15)2.5 上的 Fourier 变换与 上的 Fourier 变换的区别R1 R一维的 Fourier 变换与 n 维的 Fourier 变换无论是从定义或者是从相对应的性质作比较,都可以看出在形式上 n 维的 Fourier 变换要复杂一些。但是,在一维的 Fourier 变换中有两种特别的形式,分别是 Fourier 余弦变换和Fourier 正弦变换。而在 n 维的 Fourier 变换中是没有的。上的 Fourier 变换与 上的 Fourier 变换的最大区别显然是在

    15、维数上。R1 R由于维数的不同,也就决定了它们的使用范围的不同。一维的 Fourier 变换解决的是一维的问题。若要 Fourier 变换去解多维问题,则需要用到 n 维的Fourier 变换。2.6 上的 Fourier 变换与 上的 Fourier 变换的联系R1 R首先,无论是利用一维的 Fourier 变换解决问题,还是利用 n 维的Fourier 变换解决问题,均是把问题转化为积分方程求解。由前面一维 Fourier 变换的性质和 n 维 Fourier 变换的性质对比就可以看出,它们的性质非常的类似。n 维 Fourier 变换的概念就是由一维 Fourier 变换的概念推广到多元

    16、函数上得到的。并且在 n 维 Fourier 变换中,令 n=1,即可得到一维的 Fourier 变换的定义和性质。三、 小结虽然许多书都对 Fourier 变换作了比较详尽的叙述,但是几乎都略去了 n维 Fourier 变换的叙述。本文虽然没有什么创新,但是对 n 维 Fourier 变换的性质作了比较详尽的研究。并对一维的 Fourier 变换和 n 维的 Fourier 变换进行了简单的对比。参考文献1复旦大学编.数学物理方程M.上海:上海科学技术出版社,1986 年.2刁元胜.积分变换M.广东:华南理工大学出版社,2003 年.3周肇锡.工程数学 拉普拉斯变换与傅里叶变换M.国防工业出版社, 1990 年.4美Tyn MyintU,杨年钧 姜广良 尤全德译.数学物理方程M.辽宁:辽宁科学技术出版社,1985 年.

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