1、用心 爱心 专心 - 1 -【2006 高考试题】一、选择题（共 11 题）2（北京卷）在复平面内，复数 对应的点位于1i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解： 故选 D1ii（ ） 3 （福建卷）设 a、 b、 c、 dR，则复数( a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad bc=0 B.ac bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=04 （广东卷）若复数 满足方程 ，则z20z3zA. B. C. D. 22i2i解析：由 ，故选 D.zizz2035 （江西卷）已知复数 z 满足（ 3 i）z3 i，则 z（ ）A B. C. D.32i 4i
2、 32i 34i解： 故选 D。3312iiz（ ） 6 （全国卷 I）如果复数 是实数，则实数()mimA B C D122解析：复数 =(m2m)+(1+m 3)i 是实数， 1+m 3=0，m=1，选 B.2()1i用心 爱心 专心 - 2 -8(陕西卷)复数 等于( )(1+i)21 iA.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数 = ，选 C(1+i)21 i ()1ii11 （浙江卷）已知 niminmnii 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中1(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。解
3、析： ，由 、 是实数，得inniim11 mn10 ，故选择 C。i22二、填空题（共 4 题）12 （湖北卷）设 为实数，且 ，则 。,xy51213xyiiixy解： ，()()()()125i ii用心 爱心 专心 - 3 -而 所以 ，解得 x1，y5，5(13)02iii12355xyxy且所以 xy4。13(上海卷)若复数 同时满足 2 ， （ 为虚数单位） ，则 zzizi z解：已知 ；21iZi14(上海卷)若复数 满足 （ 为虚数单位） ，其中 则z(2)(mimR。_z【2005 高考试题】1（广东卷）若 ，其中 、 ， 使虚数单位，则 (D)(2)aibiabRi2a
4、b（）（）（） （）52.（北京卷）若 , ，且 为纯虚数，则实数 a 的值为 12zai34zi12z 383. （福建卷）复数 的共轭复数是 （ B ）iz1A B C Di21ii14. （湖北卷） （ C ）i)(A B C Dii2i5. （湖南卷）复数 z i i2 i3 i4的值是 （B）A1 B0 C1 D i6. （辽宁卷）复数 在复平面内， z 所对应的点在 （B ）.izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限用心 爱心 专心 - 4 -7. (全国卷 II) 设 、 、 、 ，若 为实数，则 ( A)abcdRiabcd(A) (B) (C) (D) 0bcd00
5、0bcad8. (全国卷 III) 已知复数 .zzziz 则 复 数满 足复 数 ,3,23 i2319. （山东卷） （1） （ D 221ii）（A） （B） （C）1 （D）i i 110. （天津卷）2若复数 （ aR， i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a 的值为213（ C ）A2 B4 C6 D611. （浙江卷）在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于( B )1i3(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限12. (重庆卷) （ A ）205)1(iA B C Di20520513. （江西卷）设复数： 为实数，则 x=（ A）1 12,(),
6、zixiRz若A2 B1 C1 D2 14.（上海）在复数范围内解方程 (i 为虚数单位)iz3)(【2004 高考试题】1.（北京）当 时，复数 在复平面上对应的点位于（ D 231mzmi()()321）用心 爱心 专心 - 5 -A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2 （上海）若复数 满足 ，则 的实部是 1 。z2)1(iz3 （湖北）复数 的值是 （ A ）i3(2A16 B16 C D41i34 （湖南）复数 的值是 （ D ）)(iA B C4 D4i【2003 高考试题】 3.（2002 京皖春，4）如果 （ ， ） ，那么复数（1 i） （cos i
7、sin ）的辐角的2主值是（ ）A. B. C. D. 4944474 （2002 全国，2）复数（ i） 3的值是（ ）21A. i B.i C.1 D.1用心 爱心 专心 - 6 -5.（2002 上海，13）如图 121，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） 6.（2001 全国文，5）已知复数 ，则 arg 是（ ）i62z1A. B. C. D.661335 9.（2000 上海理，13）复数 z （ i 是虚数单位）的三角形式是（ )5sin(co3）图 121用心 爱心 专心 - 7 -A.3cos（ ） isin（ ） B.3（cos isin ）555C.3（
8、cos isin ） D.3（cos isin ）46510.（2000 京皖春，1）复数 z13 i， z21 i，则 z z1z2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.（1998 全国，8）复数 i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（ ）A. B. i213213C. D.ii13.（1996 全国，4）复数 等于（ ）54)31(2iA.1+ i B.1+ i 3C.1 i D.1 i14.（1994 上海，16）设复数 z= i（ i 为虚数单位） ，则满足等式 zn=z 且大于231 的正整数 n 中最小的是（ ）用心 爱心
9、 专心 - 8 -A.3 B.4 C.6 D.715.（1994 全国，9）如果复数 z 满足| z+i|+|z i|=2，那么| z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.25二、填空题16.（2003 上海春，6）已知 z 为复数，则 z+ 2 的一个充要条件是 z 满足 .17.（2002 京皖春，16）对于任意两个复数 z1 x1 y1i， z2 x2 y2i（ x1、 y1、 x2、 y2为实数） ，定义运算“”为： z1 z2 x1x2 y1y2设非零复数 w1、 w2在复平面内对应的点分别为 P1、 P2，点 O 为坐标原点如果 w1 w20，那么在 P1OP2中，
10、P1OP2的大小为 18.（2002 上海，1）若 z C，且（3 z） i1（ i 为虚数单位） ，则 z 19.（2001 上海春，2）若复数 z 满足方程 i=i1（ i 是虚数单位） ，则 z=_.20.（1997 上海理，9）已知 a= （ i 是虚数单位） ，那么 a4=_.2121.（1995 上海，20）复数 z 满足（1+2 i） =4+3i，那么 z=_.z三、解答题26.（2001 上海理，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz w|w z2n1， nN 用心 爱心 专心 - 9 -（）设 是方程 x 的一个根，试用列举法表示集合 M ；21（）设复数 Mz，求证：
11、 M Mz27.（2001 上海文，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz w|w zn， nN （）设 z 是方程 x+ =0 的一个根，试用列举法表示集合 Mz若在 Mz中任取两个数，1求其和为零的概率 P；（）若集合 Mz中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由28.（2000 上海春，18）设复数 z 满足| z|5，且（34 i） z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，| z m|5 （ mR） ，求 z 和 m 的值.2 30.（1999 全国理，20）设复数 z3cos i2sin .求函数y arg z（0 ）的最大值以及对应的 值.2 3
12、1.（1999 上海理，19）已知方程 x2（4 i） x4 ai0（ aR）有实数根 b，且z=a+bi，求复数 （1 ci） （ c0）的辐角主值的取值范围.z 32.（1999 上海文，19）设复数 z 满足 4z+2 =3 +i， =sin icos （ R）.3求 z 的值和| z |的取值范围. 33.（1998 上海文，18）已知复数 z1满足（ z12） i=1+i，复数 z2的虚部为 2，且z1z2是实数，求复数 z2的模. 34.（1998 上海理，18）已知向量 所表示的复数 z 满足（ z2） i=1+i，将 绕OZOZ用心 爱心 专心 - 10 -原点 O 按顺时针方
13、向旋转 得 ，设 所表示的复数为 z，求复数 z+ i 的辐41OZ1 2角主值. 35.（1997 全国文，20）已知复数 z= i， w= i，求复数 zw+zw3的模2312及辐角主值.38.（1996 上海理，22）设 z 是虚数， w=z+ 是实数，且1 2.（）求| z|的值及 z 的实部的取值范围；（）设 u= ，求证： u 为纯虚数；1（）求 w u2的最小值.39.（1995 上海，22）已知复数 z1、 z2满足| z1|=|z2|1，且 z1+z2= i.求3z1、 z2的值. 40.（1995 全国文，22）设复数 z=cos +isin ， （ ，2 ）.求复数 z2
14、+z 的模和辐角. 41.（1995 全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1， Z2， Z3， O（其中 O 是原点） ，已知 Z2对应复数 z2=1+ i，求 Z1和 Z3对应的复数. 42.（1994 全国理，21）已知 z=1+i，（）设 w=z2+3 4，求 w 的三角形式.用心 爱心 专心 - 11 -（）如果 =1 i，求实数 a， b 的值.12zbax43.（1994 上海，22）设 w 为复数，它的辐角主值为 ，且 为实数，求复数434)(2w.答案解析2.答案：A解析：由已知 z= （ m4）2（ m+1） i在复平面对51)2(12imi应
15、点如果在第一象限，则 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于04第一象限.3.答案：B解析：（1 i） （cos isin ） （cos isin ） （cos isin ）24用心 爱心 专心 - 12 - cos（ ） isin（ ） 244 （ ， ） （ ， ）35该复数的辐角主值是 46.答案：D解法一： 35arg21ar),3sin(co2)321( zziz解法二： )(i1z 应在第四象限，tan ， arg ,023,213z1arg 是 z58.答案：B用心 爱心 专心 - 13 -解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是iiiii 32)1)(3)sn()3)
16、co(3( 9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数 对应点在第二象限，而选项)5sin(cozA、B 中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项 D 不是复数的三角形式，也可排除，所以选 C.解法二：把复数 直接化为复数的三角形式，即)5sin(co3z).54sin(co3 )5si(z 12.答案：D用心 爱心 专心 - 14 -解法一： i=cos +isin23 i 的三个立方根是 cos （ k=0，1，2）32sin3k当 k=0 时， ；iii 2sco2sn3co当 k=1 时， ；iii 21367snc3s3cs 当 k=2 时， .iii s1co42sn42cos 1
17、3.答案：B解法一： ，)4sin(co2i故（2+2 i） 4=26（cos +isin ）=2 6，1 ，)3sin(co23i故 .35sinco)31(5i于是 ,iiii 31)2(2)()31(25654 所以选 B.用心 爱心 专心 - 15 -解法二：原式= iii 231)231()231(62554 iii 314)(31应选 B14.答案：B解析： z= i 是 z3=1 的一个根，记 z= ， 4= ，故选 B.2117.答案： 2用心 爱心 专心 - 16 -解析：设 iyxziyxzOPOP2121, w1 w20 由定义 x1x2 y1y20 OP1 OP2 P1
18、OP2 21.答案：2+ i解析：由已知 ，iiiz 25)83(641)2(342故 z=2+i.22.解法一：设 z a bi（ a， bR） ，则（13 i） z a3 b（3 a b） i由题意，得 a3 b0| | ，25|i| z| 102ba将 a3 b 代入，解得 a15， b15故 （7 i） i25解法二：由题意，设（13 i） z ki， k0 且 kR，则 )31(ik用心 爱心 专心 - 17 -| |5 ， k502故 （7 i） 23.解： z1 i， az2 b （ a2 b）（ a2 b） i，（ a2 z） 2（ a2） 244（ a2） i（ a24 a）
19、4（ a2） i，因为 a， b 都是实数，所以由 az2 b （ a2 z） 2得).(42,两式相加，整理得 a26 a80，解得 a12， a24，对应得 b11， b22所以，所求实数为 a2， b1 或 a4， b2（） z71， zcos isin z7cos7 isin7 1，7 2 kz z2 z41 z3 z5 z61cos（2 k 4 ） isin（2 k 4 ）cos（2 k 2 ） isin（2 k 2 ）cos（2 k ） isin（2 k ） 1（cos4 isin4 cos2 isin2 cos isin ）2（cos cos2 cos4 ）1，用心 爱心 专心
20、- 18 -cos cos2 cos4 21解法二： z2z51， z2 5同理 z3 ， z46 z z2 z41 42z z z z1cos2 cos cos4 2解法二：| z|1 可看成 z 为半径为 1，圆心为（0，0）的圆.而 z1可看成在坐标系中的点（2，2）| z z1|的最大值可以看成点（2，2）到圆上的点距离最大.由图 122 可知：|z z1|max2 126.（）解： 是方程 x2 x10 的根用心 爱心 专心 - 19 - 1 （1 i）或 2 （1 i）2当 1 （1 i）时， 12 i， 12n1 12)(ni )1(2),(),(),(,111 iiiiiiM当
21、 2 （1 i）时， 22 i 12 ,22M M )1(2),(),(),1( iiii 28.解：设 z x yi（ x、 yR） ，| z|5， x2 y225，而（34 i） z（34 i） （ x yi）（3 x4 y）（4 x3 y） i，又（34 i） z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，用心 爱心 专心 - 20 -3 x4 y4 x3 y0，得 y7 x x ， y22即 z（ i） ； z（17 i） 7当 z17 i 时，有|17 i m|5 ，22即（1 m） 27 250，得 m=0， m=2.当 z（17 i）时，同理可得 m0， m2解：该直线上的任
22、一点 P（ x， y） ，其经变换后得到的点 Q（ x y， x y）仍在该直线3上， x y k（ x y） b，33用心 爱心 专心 - 21 -即（ k1） y（ k ） x b，3330.解：由 0 得 tan 02由 z3cos i2sin ，得 0arg z 及 tan（arg z） tan232cosin故 tanytan（ arg z） tan2t31tan312 2tan 2tan36 t2ta1当且仅当 2tan （0 ）时，tn32即 tan 时，上式取等号.26用心 爱心 专心 - 22 -所以当 arctan 时，函数 tany 取最大值26126由 y arg z
23、得 y（ ） ,由于在（ ）内正切函数是递增函数，函数 y 也取最大值 arctan 2, 126评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.复数 （1 ci）的辐角主值在0，z2)范围内，有 arg （1 ci） arctan arctan（ 1） ，cc20 c1，0 11，c2有 0arctan（ 1） ，4用心 爱心 专心 - 23 -0arg （1 ci） z432.解：设 z=a+bi（ a， bR） ，则 =a bi，代入 4z+2 =3 +i
24、z3得 4（ a+bi）+2（ a bi）=3 +i.3 . z= i.213b21|z |=| i（sin icos ）|3= )6sin(2cosin32)cos21()sin2( 1sin（ ）1，022sin（ ）4.660| z |2.用心 爱心 专心 - 24 -评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.34.解：由（ z2） i=1+i 得 z= +2=3 ii1 z= zcos（ ）+ isin（ ） =（3 i） （ i）= 2 i442z+ i= i=2（ i）=2（cos +isin ）2247
25、arg（ z1+ i）= 47评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.35.解法一： zw+zw3=zw（1+ w2）=（ i） （ i） （1+ i）312= （1+ i） 2（ i）=1)13()(iii )65sin(co故复数 zw+zw3的模为 ，辐角主值为 .265解法二： w= i=cos +isin4用心 爱心 专心 - 25 -zw+zw3=z（ w+w3）= z（cos +isin ）+（cos +isin ） 344=z（cos +isin ）+（cos +isin ） = z（ ）43 ii22= )21(2)31( ii )65sin(co故复数 zw+
26、zw3的模为 ，辐角主值为 .65评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.又因为| OP|=| |=1，| OQ|=|z2 3|=|z|2| |3=1z| OP|=|OQ|.由此知 OPQ 为等腰直角三角形.证法二： z=cos（ ）+ isin（ ）.66 z3= i又 = .4sinco2i 4=1用心 爱心 专心 - 26 -于是 izz2433232|由此得 OP OQ，| OP|=|OQ|故 OPQ 为等腰直角三角形.（2）由 z1=1+mi（ m0） ， z12=z2得 z2=（1 m2）+2 mi =（1+ m2）+2 mitan = 2由 m0，知 m+ 2，于是
27、1tan 01又 （ m2+1）0，2 m0，得 43因此所求 的取值范围为 ， ）.38.解：（）设 z=a+bi， a、 bR， b0则 w=a+bi+ iai )()(122因为 w 是实数， b0，所以 a2 b2=1，即| z|=1.用心 爱心 专心 - 27 -于是 w=2a，1 w=2a2， a1，所以 z 的实部的取值范围是（ ，1）.（） .iabiabizu 1)(212因为 a（ ，1） ， b0，所以 u 为纯虚数.239.解：由| z1 z2|=1，得（ z1+z2） （ ）=1，又| z1|=|z2|=1，故可得21z1 + z2=1，所以 z1 的实部= z2的实
28、部= .又| z2|=1，故 z2的虚部为2111，3z2= i， z2=z1 .13)3(i于是 z1+z1 ，ii)(所以 z1=1， z2= 或 z1= ， z2=1.i3i3用心 爱心 专心 - 28 -所以 ，或iz23121232zi40.解法一： z2+z=（cos +isin ） 2+cos +isin =cos2 +isin2 +cos +isin=2cos cos +i2sin cos =2cos （cos +isin ）32=2cos cos（ + ）+ isin（ + ） 232 （ ，2 ） ， （ ， ） ，2cos 0复数 z2+z 的模为2cos ，辐角为 2k
29、 + + （ k Z）3解法二：设 Z1、 3对应的复数分别是 z1、 z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得用心 爱心 专心 - 29 -213iz z1 z2（1 i） （1 i） （1 i） i3213z3 z2 z1（1 i）（ i） i242.解：（）由 z=1+i，有 w=（1+ i） 23（1 i）4=1 i，所以 w 的三角形式是（cos ）245sn43.解：因为 w 为复数，arg w ，所以设 w=r（cos isin ） ，4343则 ，R,)4(2)(12)(2(1sncosinco4) 2222 irriirrir从而 4 r20，得 r=2.用心 爱心 专心 - 30 -因此 w2（cos i)43sin2
