1、- 1 -高二理数周考试题（圆锥曲线 2）解答题(本大题共 5 小题， 共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.(本小题满分 8 分)设椭圆的中心为坐标原点，它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60的角，两准线间的距离等于 8 ，求椭圆方程.3xyABFO2.(本小题满分 10 分)已知椭圆 + =1,过点 P(2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此162x4y弦所在的直线方程.PA(,)x yB21-4O3.(本小题满分 12 分)求以椭圆 + =1 的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为 的双642x1y 65曲线方程.4.(本小题满分 12 分)如下图，双曲线 =1
2、(bN *)的两个焦点为 F1、 F2， P 为双曲线2上一点，| OP|k10,解得 1k ,说明命题正确.答案:15、解:依题意，设所求椭圆方程为 + =1,2axby椭圆右焦点 F(c,0)与短轴两端点 A、 B 连成 60的角，如图，则 AFB=60, AFB 为等边三角形，于是有 a=2b. 又由两准线间的距离等于 8 ，得 =8 . 32ba3联立两方程，解得 a=6,b=3.故所求椭圆方程为 + =1.362x9y16、解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为 A(x1,y1)、 B(x2,y2).又 P(2,1), .164,21yx得( x1 x2)(x1+x2)+4(y1 y2)
3、(y1+y2)=0, = = = =kAB.21)(421y4 lAB的方程为 y1= (x2).17、分析:已知渐近线方程为 bxay=0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为 b2x2 a2y2=(0),根据其他条件,确定 的正负. - 5 -解:椭圆的顶点坐标为(8,0)、(0,4).双曲线渐近线方程为 x y=0,3则可设双曲线方程为 x23 y2=k(k0)，即 =1.kx23y若以(8,0)为焦点,则 k+ =64,得 k=48,双曲线方程为 =1；3482x16y若以(0,4)为焦点,则 k=16,得 k=12,双曲线方程为 =1.218、解:| PF1|、| F1F2|
4、、| PF2|成等差数列，| PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c.又| PF1| PF2|=2a=4,| PF1|=2c+2,|PF2|=2c2.根据中线定理有| PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2) 2(52+c2),(2 c+2)2+(2c2) 22(52+c2).8 c2+850+2c2. c27,即 4+b27. b23.又 bN *, b=1.所求双曲线方程为 y2=1.4x19、(1)解: H 点坐标为( x, y),则 D 点坐标为( x,0),由定比分点坐标公式可知, A 点的坐标为( x, y).34 =(x+2,y), =(x2, y).BC34
5、由 BH CA 知 x24+ y2=0,即 + =1,2 G 的方程为 + =1(y0).43(2)解法一:显然 P、 Q 恰好为 G 的两个焦点,| |+| |=4,| |=2.M若 , , 成等差数列,则 + = =1.|1|1|1MP|Q|2| | |=| |+| |=4.PQP由 可得| |=| |=2,4|M- 6 - M 点为 + =1 的短轴端点.42x3y当 M 点的坐标为(0, )或(0, )时, , , 成等差数列.3|1MP|Q|1解法二:设 M 点的坐标为( x,y),显然 P、 Q 恰好为 + =1 的两个焦点,423| |+| |=4,| |=2.P , , 成等差数列,|1MP|1 + = =1.|Q|2由椭圆第二定义可得| |=a+ex,| |=a ex,PMQ + =1.解得 x=0.)4(21x)(1 M 点的坐标为(0, )或(0, ).33当 M 点的坐标为(0, )或(0, )时, , , 成等差数列.|1MP|Q|1
