1、1,这里主要讨论符合相对论要求的单电子（自旋1/2） 的量子力学，并以粒子数守恒和低能的非相对论量子 力学为主。主要内容有：,1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念，为进一步 学习全面的相对论理论打基础；,2.以单电子为研究对象，给出其哈密顿，求得狄拉 克方程的严格解。,在本章的处理中电磁场仍看作外场，并按照经典场 处理。,第三章 狄拉克方程,15 电子的相对论运动方程,2,15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程,不符合狭义相对论要求，因为其中的H是根据经典 非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个 原理中的运动方程，使之符合相对论的要求。,在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中， 只有原
2、理4，即,微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定 谔方程,3,将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式,一.克莱因-高登方程的推导,按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换 下的不变性要求，我们在坐标表象下讨论这个问题。,相比较，发现 与 相对应，而 与 相对应。,在坐标表象下，外场下单粒子的薛定谔方程为,第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而 得到的。,4,根据相对论关系,并考虑上述对应关系,这个方程称为克莱因-高登方程。,在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题：,(1) 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率；,(令 ,若对任意 , 则 为正定),并对任意波函数发生作用，有,5,
3、(5)这一方程除了V=0的自由形式外，无法纳入量子力学已有的体系之中，即无法写成含时薛定谔方程的形式。,(2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的概念，因而这个方程的所有定态解将不断自发辐射到 的能级；,(3)这是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要初始时刻的 外, 还需要 作为初始条件；,(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好；,6,总之，克-高方程无法纳入现有量子力学的框架，而 且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。 因为：,（1）这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程,（2）从这一方程可以导出一个连续性方程,其中,7,
4、而上述流密度表达式与非相对论的表达式,十分相似。,如此看来，既然克莱因-高登方程符合相对论的要 求，那么很可能是态函数不对：,即态函数虽然满足克-高方程，但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。,这个要求更高的方程就是狄拉克方程。,8,二. 狄拉克方程,基于克-高方程的上述情况，狄拉克开始他寻找这 个方程的工作。他希望,（1）这首先是一个对时间的一阶方程，以便纳入 已有的量子力学框架；,（2）同时又要求它的解仍然满足克-高方程。,于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下 列形式：,或简写成,9,式中 和 是四个与时间和位置无关的待 定常量,c是光速。引人c的目的是保证 无量纲。,为了使满足
5、此方程的态函数仍能满足克-高方程，用,从左边作用到（15.5）上，并与克-高方程（V=A=0）,相比较，得待定常数应满足,10,其中对于自由电子，有,既是时间和位置的一阶方程，其解 又满足克- 高方程。,（具体过程看曾谨言量子力学卷II p349）,在此情况下, 式,上式就称为狄拉克方程。写成含时薛定谔方程形式为,11,若 不含时间，则狄拉克方程也有定态解,而 满足,从（15.9）式可以看出， 显然不可能是普通 的数，除了满足下式，,还应该是厄米的，以保证哈密顿算符的厄米性。,对电磁场中的电子，有,12,由于哈密顿算符的构成单元 与单电子 哈密顿算符的构成单元 有很大差别，算 符 的作用空间显
6、然不是单电子的函数空间，而 是另外一个新的空间。,这样，电子的态函数 应是在单电子的函 数空间和这新的空间的直积空间中的矢量。下一节 我们会知道，这个新空间是和电子的自旋有关系的。,以后我们把 笼统地写成 ，以强调它不 是单纯的时空的标量函数，而是这种标量函数空间 和另一个空间的直积空间中的矢量。,13,三. 狄拉克方程的协变形式,概念：(1)罗仑兹变换,在洛仑兹变换下具有确定的变换性质。,(2)协变,为了展示方程的相对论不变性，常把方程写成协 变的形式。为此，令,14,（这些算符在后面的推导中非常重要）,将狄拉克方程写成如下形式,定义4D形式的动量算符为,并且定义四个新的算符,用 左乘（15
7、.12）式，利用,15,可证明（这里不证）Dirac方程在洛伦兹变换、空 间反演和时间反演下确实是协变的。,这样就得到狄拉克方程的协变形式,16,再定义 ：,则有,称为 算符。由于常以矩阵的形式出现，又常之 为 矩阵。,既然 都是厄米算符，根据前面的定义， 算符和 算符也是厄米的。此外由厄米性及式,可知四个 算符以及 都是幺正的。,17,15.3 自旋算符,前面在建立Dirac方程的过程中引入了算符 ， 这就是说，在整体运动的位形Hilbert空间之外又发现了一个新的空间，我们说过这个新空间与自旋有关。,一. 自旋算符的寻找,1. 从对易关系入手,设电子的自旋算符为S，它应满足角动量对易关系和
8、自旋算符的反对易关系。,令 ，则 的三个分量应满足,18,为了寻找满足这些关系的（也称自旋算符）， 试用 来构造。,由前面所得结论可知，算符 满足,但不满足,若取两个 的乘积，肯定满足（15.19）式：,注意：c 是待定常数，不是光速！,为使（15.18）式得到满足，c可以是i。,19,对于,因为,所以只要取 ，则找到了满足正确对易关系的自旋算符：,也可写成紧凑的形式,容易验证，上式即,20,对于上面给出的算符，容易证明,2.一些算符的关系,此外，有,21,利用,设A,B是位形空间的算符，因而与新的自旋空间的算符 对易，即,以上各式利用有关算符的定义及算符的运算公式比较容易推出。,另外还有,2
9、2,1.自旋角动量是否守恒量？,二. 自由电子的守恒量,已知自由电子的哈密顿为,所以自由电子的自旋并不是守恒量。,利用,利用,23,2. 轨道角动量是否守恒量？,所以自由电子的轨道角动量不是守恒量。,24,3. 总角动量是否守恒量？,由前可知，对角动量,所以总角动量是守恒量。对于自由电子，这是一个 必然的结果，这说明自旋算符的构造 是正确的。,4. 自由电子的动量P是否守恒量？,由 前可知,故自由电子的动量P显然是守恒量。,25,利用,5. 自由电子的螺旋度是否守恒量？,定义螺旋度为自旋在动量方向上的投影，即,所以自由电子的螺旋度是一个守恒量。,26,16 矩阵,16.1 矩阵的维数,求自旋空
10、间的维数，可借助于有限群的知识， 这里只做简单的介绍。,以 算符乘法为群乘，以 为生成元， 取它们的各种乘积为群元，由 满足下列关系,在建立狄拉克方程的过程中，出现了一个新的 空间自旋空间。这一节我们从五个 算符的对 易关系入手找出这个空间的维数，进一步求出这 些算符的矩阵表示。,27,由群论的不可约表示（不再介绍）方法，可以发现 这个狄拉克群有一个4维的不可约表示。这个4维的表 示空间正是我们所寻找的 算符所在的自旋空间。,群元肯定是有限个。按照群元的构成分，可写为,一共32个。这32个元构成一个群，称为Dirac群。,28,16.2 矩阵的各种表示,一. 矩阵构造的准备工作,前面所介绍的泡
11、利矩阵,满足下面的关系,上一节我们已经知道 算符所在的空间是4D的， 算符 的表示都应是 44 矩阵。下面用一个 比较系统的方法求出 矩阵的各种表示。,29,我们的目的是寻找四个矩阵，使之满足式,这时应把Pauli矩阵理解为三个形式不变的矩阵，而 脱离与自旋的关系。因为Pauli 矩阵是在Sz表象中给 出的，表象不同，表示当然也不同。,现在不可能再找出一个22矩阵与Pauli矩阵满足反对易关系, 但可以利用矩阵直积构造几个44矩阵。,以求得 。,30,上两式中，处于矩阵元地位的 是22矩阵(Pauli)， 1代表22单位矩阵，而i代表22单位矩阵乘以i。,升格为44矩阵后，可以验证三个 仍是平
12、方为 1和反对易的，三个 也是如此。下面证明：,31,利用矩阵直积运算规则，有,可见,同理有,而,且,32,二. 矩阵的构造,利用前面所得的44矩阵 ，寻找四个平方为1而又互相对易的矩阵。方法如下：,1.写出 的9个乘积：,显然，由于 都是对易的，上面的三个横行中，每行的三个矩阵都是彼此反对易而平方为1,三个竖列中每列的三个矩阵也是如此。例如第一行，令,33,则,但,所以各矩阵平方和为1.,即A1，A2是反对易的。,34,2. 补齐上述乘积中各行、列的元素,在第一行中再加入一矩阵,它与前面的三个矩阵互相反对易，且,再在后面加一个矩阵,它与原有的三个矩阵及 都反对易，且,这样在第一行中，我们找到
13、了5个平方为1，互为反对易的44矩阵。,35,其它各行、列都可以分别补上两个矩阵，成为5个一组的平方为1、互相反对易的矩阵。,赋予其中四个以 ，剩下的那个冠以正负号就是 。,详见下表：,36,在上表中，我们把第1、2、3行称为第1、2、3组， 而把第1、2、3列称为第4、5、6组，每组有5个平方为1而又互相反对易的44矩阵,每个矩阵都是厄米和幺正的，而每一组中的5个矩阵都可以随意令它们为 （加以适当的正负号）。,矩 阵 的 各 种 表 示,37,三. 矩阵的确定,在不同的文献中，不同的表象选用不同的 矩阵，教材中都有介绍。这里介绍两组比较通用的标准表象或Pauli-Dirac表象，其中第一组给
14、 ， 第二组给出 。见下表,Pauli-Dirac表象中的,38,注意教材中的符号错误,Pauli-Dirac表象中的,上表所确定的 矩阵是比较常用的，称为Pauli-Dirac表象或标准表象，其特点是 是对角的：,而 矩阵具有下列形式,39,可得自旋算符的矩阵形式是对角的：,利用,注意：算符 代表物理量，在不同表象中矩阵形式是不同的，与前面提到的形式不变的44 矩阵不同。,在讨论单电子的Dirac方程时，绝大多数使用Dirac-Pauli表象，其它表象多用在量子场论中。,40,17 自由电子Dirac方程的严格解,一. Dirac-Pauli表象下的算符和态矢量,在 Dirac-Pauli表
15、象下，,写成4D形式，有,41,若有外场，则Dirac方程可以写为,自旋算符写为,在Dirac-Pauli表象中，上面的Dirac方程中态函数 是函数空间与4D的自旋空间二者直积空间中的矢量， 其一般形式可写成一列矩阵，矩阵元是x,y,z 的函数:,42,对自由电子， ，Dirac方程变为,1. 厄米算符完备组的确定,(17.6)式形式的量为旋量,而(17.5)式形式的量为双旋量。,有时也把4D的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩 阵元 又分别是两2D矩阵：,二. 自由电子的Dirac方程的求解,43,因V=0，故可令,代入上式，得 满足的定态狄拉克方程,然而对于自由电子来说，这样的本征矢量是
16、高度简 并的, 为求出确切的态矢量, 应当找一组包括H 在内的厄米算符完备组,去求这组厄米算符的共同本征矢量。,44,前面我们讲过，自由电子的动量 和螺旋度 都是守 恒量，其中,这样可以选择包括 在内的厄米算符完备组。位置空间和自旋空间的自由度都包括了。,2. 共同本征矢量的求解,先求 的本征函数,即,45,在xyz表象中，取 得本征值 可为任何实矢量，而 的位置函数部分均应为 ，即,式中 分别是不含x, y, z 的2D的一列矩阵。,利用式 ，由 得,令 同时又是 的本征矢量，以便定出 。,上式右边的1是由这一方程的久期行列式定出的c 值，与自旋在任何空间的投影都是 一致。,46,即 满足的
17、方程形式上相同，其解最多可以相差一 常数。,由上式得22矩阵方程,现在求 。令,则上述22矩阵方程成为,47,取p的方向为 ，则上式可化为,代回式 得,正本征值对应,负本征值对应,其解为 正本征值,负本征值,48,这里已把 写成比较对称的形式，并且已经归一 化。将上式代回式,这是 的共同本征矢量，上号的本征值是 ,下 号的本征值是 。下面的任务是决定常数 。,中, 并记住 只差一个常数. 若将此常数写为 , 则,49,令 是哈密顿的本征矢量，则,是哈密顿的本征值，即电子的本征能量。,又,由式 得,可将上述本征值方程写为下列形式,50,其久期方程是,解之得电子的能量,从而给出 的解为,取,则,5
18、1,本征值 本征矢量,其中N为归一化系数,52,由此得出结论：,在相对论理论中，自由电子的态函数在位形空间中 与非相对论相同，仍然是平面波，而在新的 4D 自旋 空间中是一列矩阵.,下标表示能量E的符号及自旋 Sz 的方向。,当动量本征值取 z 轴方向，即 时，这一列矩 阵成为（见上表的自旋波函数 ）,53,由 知，低能极限时， ，由此可以看 出，在Dirac-Pauli表象中，自旋空间的四个基矢为,前两个描写正能态，后两个描写负能态；对于自由电子的态矢量(17.21)式， 的状态中有少量负能态叠加在其上，同样 状态中也有少量正能态成分。,54,三. 关于负能态的问题,上面只是形式地解 Dir
19、ac方程。事实上在相对论经 典力学中，一切粒子的总能量都是正的，总能为负的 粒子并不存在，然而在前面的解中有一半是负能态。,简单地摈弃负能态是不行的，因为这样破坏其完全 性；但也不能简单地承认负能态的存在，因为负能态 没有下限，如存在的话，处于正能态的粒子将成为不 稳定的，它们将通过跃迁，特别是自发跃迁不断地落 入能量较低的负能态中。,55,狄拉克本人提出了一个理论，认为负能态是存在的， 但已充满了电子。由于Pauli不相容原理，正能态的电 子不会再落入负能态去；而负能态的电子海是不能被 观察到的。,相反如果在负能态的电子海中出现一个能量为-E， 动量为 , 螺旋度为+态的空缺（即在 态上缺少一 个电子），则能观察到一个能量为+E, 动量为 而螺 旋度仍为正（即自旋也改变了方向）的带正电荷的粒 子。这一理论称为空穴理论。这就从理论上预言了正 电子的存在。,56,由于时间关系，氢原子的求解不再介绍。,虽然不久之后果然发现了正电子，但空穴理论只是 一个过渡性理论。从电荷的角度看，弥漫全空间的负 电荷无法观察。这种说法虽然可以接受，但从质量的 角度则是无法接受的.,在也是Dirac为之奠基的量子电动力学中，并不需要 空穴和电子海的概念。 量子电动力学目前已经相当完 善，它是关于电子和正电子的圆满的、全面的和符合 实验的理论。,57,感谢各位同学 对教学工作的配合！,
