1、3.4 奇 解,/Singularly solution/,3.4 奇解,包络和奇解,克莱罗方程（Clairant Equation）,本节要求： 1 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。,主要内容,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例 单参数曲线
2、族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族 的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。,二 求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去 C 而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数 C 求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。,注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例1 求直线族,的包络，这里
3、 是参数，p 是常数。,解：,对参数 求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,例2 求直线族,的包络，这里 c 是参数。,解：,对参数 c 求导数,联立,得,从 得到,从 得到,因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。,2 p-判别曲线,结论：方程 的奇解包含在下列方程组,消去 p 而得到的曲线中。,注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例3 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而 是方程的解，且正好是通解的包络。,例4 求方程,的奇解。,解：,从,消去 p，得
4、到 p-判别曲线,经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3 克莱罗方程,形式,其中,是 p 的连续函数。,解法,通解,奇解,例5 求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解 设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,课堂练习：,1 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数 a 。,2 求解方程，并划出积分曲线图。,作业： （一）1，2，7，8 ， （二）1，3 ，（四）,
