1、第一节 空间直角坐标系,一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离 三、小结,横轴 x,y 纵轴,z 竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,向量:,既有大小又有方向的量.,一、向量的概念,向量的两个要素:大小,方向。,向量表示法:,有向线段表示法;,坐标表示法。,有向线段表示法:,有向线段的长度表示向量的大小,,有向线段的方向表示向量的方向。,M1为起点, M2为终点的有向线段表示的向量记为,如果不需要指出起点和终点,可简记为,向量的大小,也叫向量的模,记作,或,自由向量:,不考虑起点位置的向量.,相等向量:,
2、大小相等且方向相同的向量.,负向量:,大小相等但方向相反的向量.,模长为1的向量.,零向量:,模长为0 的向量,记作,单位向量:,如果两个向量,方向相同或相反,则称这两个向,量平行,记作,特殊向量:,零向量的方向可以看作是任意的。,向径:,空间直角坐标系中,原点 o 为起点,任一 点M为终点的向量,常记为,(1)加法:,2 平行四边形法则,二、向量的加减法,1 三角形法则,三、向量与数的乘法,(2),方向任意。,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为,记,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,
3、与,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,即,同理,即,即,结论:,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角,三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,称为方向角.,向量的方向余弦,方向余弦的坐标表示式:,方向余弦的特征:,特殊地:,解,的方向余弦:,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,因此,,关于数量积的说明:,证,证,因为,,因此,,设,-数量积的坐标表达式,两个向量的数量积的坐标表达式:,-两向量夹角余弦的坐标表示式,设,由此可知两向量
4、垂直的充要条件:,定义,向量积也称为“叉积”、“外积”.,右手系;,关于向量积的说明:,证,向量积符合下列运算规律:,(1),(2)分配律:,(3)若 为数:,设,两个向量的向量积的坐标表达式,+,_,三阶行列式:,例3 设,解,解,因此,所求的单位,向量,向量的数量积,向量的向量积,(结果是一个数量),(结果是一个向量),(注意两个向量垂直、平行的充要条件),四、小结,作业:P 402 1,2,3,7,10,共面的充分必要条件是,第七节 平面及其方程,一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结,如果一非零向量垂直于一平 面,这向量就叫做该平面的 法线向量记作,法线向
5、量的特征:,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,例1 求过点,且法线向量,的平面方程。,解,根据平面的点法式方程,,得所求平面方程为,即,平面的点法式方程:,其中法向量,已知点,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,即,平面方程是三元一次方程。,反之,设三元一次方程为,平面过坐标原点;, x 轴;, y 轴;, z 轴;, xoy 面;, yoz 面;, xoz 面。,(2)平面 方程的法向量,平面 的方程为,解,因为,平面 通过 x 轴,,(1)平面 过原点,,设平面 的一般方程为,因此,,于是,平面 的一般方程为,平面 过点 M0(4, 3, 1
6、),即,代入(1):,得:,- 平面的截距式方程,代入平面方程:,整理得平面方程:,a : x 轴上的截距;,b : y 轴上的截距;,c : z 轴上的截距。,定义,两平面的法向量之间的夹角(通常取锐角)称 为两平面的夹角 .,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征:,/,平面的方程,(熟记平面的几种特殊位置的方程),两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,(注意两平面的位置特征),四、小结,作业:P 423 2,3, 6,8,9,第八章 空间直线及其方程,一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
7、 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束 六、小结,空间直线可看成两平面的交线,则 1, 2 的交线,空间直线L 的一般方程为,一、空间直线的一般方程,- 直线的一般方程,方向向量:,如果一非零向量平行于一条 已知直线,这个向量称为这 条直线的方向向量,/,二、空间直线的对称式方程与参数方程,则,/,-直线的对称式方程,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,m,n,p 不全为零。,当 m,n,p 中有一个为零,,例如 m = 0,n0,p 0。,方程(1)理解为,当 m,n,p 中有两个为零,,例如 m = 0,n = 0,p 0。,方程(1)理解为,令,-直线的参数方程,-直线的对称式方程,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直 线的夹角。,直线,直线,-两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系:,/,直线,直线,例如,,直线和它在平面上的投影直线 的夹角 (通常是锐角)称为直 线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,即,或,-直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系:,/,解,为所求夹角,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,