1、1,2.2 变量可分离方程,该方程的特点: 方程的右端是两个独立的一元函数之积.,2,一、 变量可分离方程的求解,这样对上式两边积分得到,3,注：求方程通解时，我们假设,解：变量分离后得,上式两边积分得,整理得,其中,4,例 2.2.2,求微分方程,的通解.,解: 变形为,积分得:,求积分得:,解得:,5,记,则,故所有的解为:,6,练习,解,通解：,7,二、 齐次方程,引入一个新变量化为变量可分离方程。,求解思想:,8,例2.2.3 求下面初始值问题,解：方程为齐次方程，令,求导后得,分离变量得,事实上, 令,则,故有,即,9,积分上式得,利用初始条件,可定出,代入上式解出,10,求解微分方
2、程,微分方程通解：,解,练习,11,解方程,解,改写方程：,齐次方程,方程变为：,两边积分：,练习,12,分析,解,方程变为,齐次方程,练习,13,两边积分,通解：,分离变量,14,三、 可化为齐次方程的方程,(1),15,此时二元方程组,有惟一解,引入新变量,此时, 方程可化为齐次方程:,16,(2) 若,则存在实数,使得:,或者有,不妨是前者, 则方程可变为,17,3. 对特殊方程,18,例2.2.4求方程,的通解。,解：解方程组,得,令,代入原方程可得到齐次方程,19,还原后得原方程通解为,变量分离后积分,20,解,代入原方程得,非齐次型方程.,方程组,齐次型方程.,方程变为,练习,21
3、,分离变量法得,原方程通解,22,例:雪球融化问题,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在 开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。,球体与表面积的关系为,2.2.3变量可分离方程的应用,23,引入新常数,再利用题中的条件得,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数C和r代入关系式得,24,游船上的传染病人数.,一只游船上有800人,12小时后有3人发病.,故感染者不能被及时隔离.,设传染病的传播速度与受感染的人数及 未受感染的人数之积成正比.,一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时,将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.,解,设y ( t )表示发现首例病人后 t 小时的感染人数。,其中k 0为比例常数.,可分离变量微分方程,初始条件:,练习,25,两边积分,通解,分离变量,26,直升机将在60至72小时将疫苗运到, 试估算疫苗运到时患此传染病的人数。,27,车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,练习,28,两边积分,29,抛物线,30,P.50 1（1，4，5，9，15）2（1，3），6,作 业,
