1、引言：简谐波,波源和介质中的各质点都作简谐振动的波称为简谐波。, 简谐波是理想模型，只能在各向同性、 均匀、 无限大、 无吸收的连续弹性介质中传播。,(2) 简谐波是最简单、最基本的波动，任何复杂的波可看作由简谐波叠加而成。,9-2 平面简谐波的波动方程,一、平面简谐波的概念,波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也作简谐振动，且波面是平面的波称为平面简谐波。,平面简谐波的特点：, 参与波动的所有质点振幅都相同；, 各质点都作频率相同的谐振动；, 相位以匀速直线运动沿波的传播方向传递。,二、平面简谐波的波动方程（波函数）, 波动方程应是这样一个方程（函数），它既可以描述波传到的空间中所有质元的
2、运动状态，又能表示波的传播过程。,1、对平面简谐波的波动方程的说明：,(2) 对平面简谐波，同一波面上各点的运动状态都相同，因此，可选一条波线来研究。,(3) 波动方程是介质中任一质元的振动方程,2、平面简谐波的波动方程, 波沿x轴正向传播，波速为 u，原点处质点振动为,求这列波的波动方程。,p,x,任意点P 位于O点右侧，,任意点P 的振动方程为,O点 时刻的相位,P点t 时刻的相位,=,设P点振动方程为,任意点P 位于O点左侧，,P点t 时刻的相位,O点 时刻的相位,=,p,x,任意点P 的振动方程为,以波速u沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程为：,设P点振动方程为, 波沿x轴负向传播，
3、波速为 u，原点处质点振动为,求这列波的波动方程。,p,x,任意点P点位于O点右侧时，,P点t 时刻的相位,任意点P的振动方程为,O点 时刻的相位,=,设P点振动方程为,任意点P点位于O点左侧，,P点t 时刻的相位,O点 时刻的相位,=,p,x,任意点P的振动方程为,以波速u沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程为：,设P点振动方程为,为原点处质点的振动初相。,一列沿x轴传播的平面简谐波，波速为u，原点处质点的振动方程为：,说明：,波沿x轴正向传播时，取“-”号，波沿x轴负向传播时取“+”号；,波速u始终取正值，用箭头表示其方向；,波动方程还可写为多种形式，如：,则这列波的波动方程（波函数）为：
4、,例题1 ：,解：,方程可改写为,对照波动方程标准形式，有,波沿x轴正向传播, 波沿x轴传播，波速为u，x=x0处质点振动方程为：,求这列波的波动方程。,（举例说明）,例题2 ：,解1：,用建立波动方程的方法求解,Q,x,在x轴上任选一点Q,Q点t 时刻的相位,P点 时刻的相位,=,任意点Q的振动方程为,整理得波动方程为,设Q点振动方程为,解2：,先求原点处振动方程，再写出波动方程,O点t 时刻的相位,P点 时刻的相位,=,原点O的振动方程为,整理得,波动方程为,可设原点振动方程为,解3：,根据波动方程是任一质点的振动方程这一物理意义来求解。,在P点，x=3，则P点的振动方程为,设原点O的初相
5、位为 ，则波动方程为,比照已知的P点振动方程,波动方程为,三、波动方程的物理意义,波动方程,1、当x =x1=常数,表示 x=x1 处质元的振动方程。, x1 处质点的振动初相为, x1 相位比原点处相位落后 ，且 x1 越大，相位落后越多，故传播方向上各质点的相位依次落后。这就是波动的基本特征。,表示介质中各质点在 t1时刻偏离平衡位置的位移分布,2、当t = t1=常数,-波形方程,波形曲线（波形图）,注意区分质点的振动速度与波的传播速度。,讨论1：波线上任意两点间的相位差,-波程差,即相差一个波长整数倍距离的质点振动状态完全相同，说明波长是波在空间上的周期性标志。,x1的相位,x2的相位
6、,相位差,x1、x2两点的相位差为,讨论2：同一质点在不同时刻的振动相位差,即质点在经过周期整数倍的时间后振动状态完全相同，说明T 是波在时间上的周期性的标志,同一质点在t 时间的相位差为,3、当x , t 均变化,描写不同位置质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，即体现了各个不同时刻的波形。,4、当x = x1，t = t1都是常数,= y1 = 常数,表示 t1时刻，x1点偏离平衡位置的位移,讨论：波向前传播过程中波形是否发生变化？,考察 t2= t1+t 时刻，x2= x1+x= x1+ut 处质点的位移,= y1,波形无畸变地朝前推进，在t 时间内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x=u
7、t ，这种波也称为行波。,t1,t2=t1+t,x1,y1,y,x2,u,x = u t,x,.,.,平面简谐波沿 ox 轴正向传播，u = 5m/s，已知坐标原点的振动曲线如图。求：点的振动方程； x = 5/4 处质点的振动方程， t = 3s 时其波形曲线。,解：,例题3 ：,由图知,振动方程,其振动曲线图示,给定 ，得振动方程,u = 5m/s,波动方程,给定时间 ，得波形方程,波形曲线如图所示,已知 T = 2s， t = 1/3 s 时的波形如图(右行)，求波函数、D点的振动方程。,解：,例题5 ：,由图和已知条件,设波函数为,1,1,已知 T = 2s， t = 1/3 s 时的波形如图(右行)，求波函数、D点的振动方程。,?,1,已知 T = 2s， t = 1/3 s 时的波形如图(右行)，求波函数、D点的振动方程。,波线上各点的简谐运动图,
