1、高三数学第 1 页，共 4 页苏州市 2014 届高三调研测试数学试题 20141样本数据 x1，x 2，x n 的方差 ，其中 221()nisx1nix一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 已知集合 A x | x 0，b 0，求证： 在区间1 ，2上是增函数；()fx 若 ， ，且 在区间1 ，2上是增函数，求由所有点 形成的()f2()eff (,)ab平面区域的面积高三数学第 6 页，共 4 页2014 届高三调研测试数学（附加题） 2014121 【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两题
2、，并在相应的答题区域内ABCD作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4 1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）A如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于 A，B，C，D，E，求证：ABCD = BCDE 选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）B已知 a，b ，若 = 所对应的变换 TM 把直线 2x y = 3 变换成自身，试求RM13ab实数 a，b注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在 4
3、个选做题中选答 2 题若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分第22、23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔NMEDCBA高三数学第
4、 7 页，共 4 页选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）C在极坐标系中，求点 M 关于直线 的对称点 N 的极坐标，并求出 MN 的长(2,)64选修 4 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）D已知 x，y，z 均为正数求证： 1xyzxyz【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在空间直角坐标系 O xyz 中，正四棱锥P ABCD 的侧棱长与底边长都为 ，点 M，N 分32别在 PA，BD 上，且 13PMBNAD（1）求证：MNAD；（2）
5、求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值23 （本小题满分 10 分）设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点，当四点共面时， = 0，当四点不共面时， 的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率 P（ = 0） ；（2）求 的分布列，并求其数学期望 E ( )PONMD CBAx yz（第 22 题）高三数学第 8 页，共 4 页苏州市 2014 届高三调研测试数学试题 20141参考答案与评分标准1 1，0 24 2 3 414 5i 61， 4 7 7 82，） 92 10 1311 （1，2） 122 13 14 263m15解：（1）用
6、正弦定理，由 ，1cosaCb得 2 分1sincosini2ACB ，ii()icossinBA 4 分1sncos2 ， 6 分i0C120 0， 12 分21k ，22(,)41k，222)44(,0)(,)1kkBA由 ，得 15 分OC ， 16 分2k3219解：（1）a n1 = 2an n2 4n 1，设 = 2 (an )， 2 分()()nbc 2bc也即 4 分21n,24,1.abca = 1，b = 2，c = 0 6 分a 1 1 2 = 2，存在 ，使数()fn 列 a n 是公比为 2 的等2高三数学第 11 页，共 4 页比数列 8 分 212nna则 10
7、分（2）a n1 = 2an n2 4n 1， 即 ，221()(1)()n naa 即 12 分() 14 分12(1),()32.nnanbb n是等差数列，a 1 = 1，b n = 2n 3 16 分20 （1）解： 2 分22e()exxfxab当 a = 2，b = 1 时， ，e(11xf令 ，得 或 （舍去） 4 分()0fx2x ，当 时， ， 是减函数，2e(,)()0f()fx当 时， ， 是增函数，1(,)xfx当 时， 取得极小值为 6 分2(f4e（2）令 ，()gxab 证明：a 0，b 0，二次函数 的图象开口向上，()gx对称轴 ，且 ， 8 分2x(1)ga
8、 对一切 恒成立()0g,又 ， 对一切 x(1，2) 恒成立2ex()fx 函数图象是不间断的，()f 在区间1，2上是增函数 10 分fx高三数学第 12 页，共 4 页 解： ，2(2)0,()eff ，即 （*） 2(e,).ba0,2.ab 在区间1，2上是增函数，(fx 对 x(1，2)恒成立)0f则 对 x(1，2) 恒成立2(0gab （*） 12 分1),(4.在（*） （*）的条件下， 且 ，0b12ba且 恒成立244()()2bag综上，点 满足的线性约束条件是 14 分(,)ab0,24,.ba由所有点 形成的平面区域为OAB（如图所示） ，(,)其中 ， ， ，14
9、,3A(,1)2B(,0)C则 SOAB = SOAC SOBC = 4136即OAB 面积为 16 分6OBAb aC 高三数学第 13 页，共 4 页数学（附加题）21 证明：由相交弦定理，得AACCD = MCNCBCCE = MCNC ACCD = BC CE 3 分即（AB BC） CD = BC（CD DE ） 6 分也即 ABCD BCCD = BCCD BCDEABCD = BCDE 10 分解：设 ，B13axby则 3 分,.yx2x y = 3，2(x ay) (bx3y) = 3即( 2 b) x (2a 3) y = 3 6 分此直线即为 2x y = 3， 2 b
10、= 2，2a 3 = 1则 a = 1，b = 4 10 分解：M 关于直线 的对称点为 N 3 分C(2,)64(2,)3MN = 2OM 6 分sin1= 10 分42证明：x，y ，z 都是为正数，D 3 分12()xyz同理可得 2zxyz ， 6 分将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 1xyzxz 10 分NMEDCBA高三数学第 14 页，共 4 页22解：（1）正四棱锥 P ABCD 的侧棱长与底边长都为 ，32OA =3，OP =3 2 分则 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，D （0，3，0） ，P（0，0，3） ，M（1，0，2） ，N（0，1，0） 则 ，
11、 4 分(,)(,)A ，1320DMNAD 5 分（2）设平面 PAD 的法向量为 ，(,)xyzn ， ，(3,0)A3,0AP由 得,Dn.xyz取 z = 1，得 x = 1，y = 1 7 分(,)则 9 分()1()21cos 3|36MNn设 MN 与平面 PAD 所成角为 ，则 2sin|s,|MN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 10 分23高三数学第 15 页，共 4 页23解：（1）从正方体的八个顶点中任取四个点，共有 种不同取法4870C其中共面的情况共有 12 种（ 6 个侧面，6 个对角面） 则 P（ = 0）= 3 分12735（2）任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况： 四点在相对面且异面的对角线上，体积为 146这样的取法共有 2 种 5 分 四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为 16这样的取法共有 70 12 2 = 56 种 7 分 的分布列为= 0=13=16P 6355285 8 分数学期望 E ( ) = 10 分128167
