1、源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 1圆复习课（一）【教学目标】1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；【教学内容】一、圆的有关概念（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。（2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。（3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。（4）一个圆的半径长为 ，点 P 到圆心的距离为 d，则点 P 在圆外， ；点 P 在圆RRd上， ；点 P 在圆内， 。dd0（5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。（
2、6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。例题分析例 1：P 是平面内任意一点，到圆上的最大距离是 8，最小距离是 2，求该圆的半径。例 2：判断正误：（1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；（2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；（3）经过三个定点，只能作一个圆；（4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。（5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；（6）任何一个四边形都有一个外接圆；（7）等腰三角形的外心一定在它的内部；（8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 2（9）等腰三角形的外接圆的圆心必在
3、其顶角的平分线上；（10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；例 3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。例 4：已知ABC，AC=3，BC=4，C =90，以点 C 为圆心作C ，半径为 r。 （1）当 r 取什么值时，点 A、B 在C 外。 （2）当 r 在什么范围时，点 A 在C 内，点 B 在C 外。AC B巩固练习1、在ABC 中，如果 O 是ABC 的外心，且A=73，那么BOC=_。2、锐角三角形外心的位置在_；直角三角形外心的位置在_；钝角三角形外心的位置在_。3、直角三角形两条直角边分别为 8cm、15cm，则其外
4、接圆半径长为_。4、经过不共线三点 A、B、C 的圆的圆心是_，半径是_；可以画_个圆。5、经过 M、N 两点的圆的圆心在 ，这样的圆有 个。6、圆的半径为 R，则其内接直角三角形斜边长为 ，内接正方形边长为 ，内接等边三角形边长为 。7、已知O 的半径为 4cm， A 为线段 OP 的中点，当 OP=7cm 时，点 A 与O 的位置关系是 。8、直角三角形两条直角边长为 a、b，则直角三角形的外接圆半径是_。源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 39、已知O 的半径为 5，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在直线的距离为2 的点有 个。10、到定点的距离等于定长
5、的点的轨迹是_11、到直线 l 的距离等于 2cm 的点的轨迹是_12、O 的半径 r = 10 cm，圆心到直线 l 的距离 OM = 8 cm，在直线 l 上有一点 N，且 MN = 6 cm。则点 N 与圆 O 的位置关系是 。 二、圆心角、弧、弦、弦心距（1）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径。以圆心为顶点的角叫做圆心角。（2）圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。圆心到弦的距离叫做弦心距。能够重合的两条弧称为等弧；半径长相等的两个圆一定能够重合，把半径长相等的两个
6、圆称为等圆。（3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧） 、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。（4）圆心角的度数等于它所对应弧的度数。例题分析例 1：（1）如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等； B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等； D以上说法都不对（2）在同圆中，圆心角AOB=2COD ，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）A =2 B C 2AC源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展
7、 4例 2：如图，D、E 分别是 O 的半径 OA、OB 上的点，CDOA，CEOB，CD=CE，则 AC 与 BC 弧长的大小关系是 。例 3：AOB=90，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD。O BA CE DF巩固练习1、在 中， ，以 BC 为直径的圆 O 与 AB、AC 分别相交于点 D、E，试判AC06断 的形状。DEOEDOAB C2、在圆 O 中，OA、OB 是两条互相垂直的半径， M 是弦 AB 的中点，过 M 作 MC 平行于OA 且交 于 C，求 的度数。ABM O ABCM3、已知点是O 上的点，、分别是劣弧的三等
8、分点， ，则046BOCAED 的度数为 _4、请用尺规作图：四等分弧 AB（保留痕迹，不写作法） 。源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 55、如图O 是是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,D 是弧 AC 的中点，已知EAD=114 O，求CAD 在度数。6、如图，已知 AB 是O 的直径， ，BOC=40 0，那么AOE = ABCDE。OA BCDE7、如图，O 是ABC 的外接圆，已知B=60，则CAO 的度数是 。8、 O 的半径为 1，AB 是O 的一条弦，且 AB= ，则弦 AB 所对圆心角的度数为 3。三、垂径定理以及它的推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这
9、条弦，并且平分弦所对的弧。推论： 平 分 弦 所 对 的 优 弧平 分 弦 所 对 的 劣 弧平 分 弦得 到垂 直 于 弦经 过 圆 心一 条 直 线 具 有源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 6（2）在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距四组两种有一组量相等，那么它所对应的其余的量也相等。例题分析例 1：判断：（1）垂直于弦的直线必平分这条弦。（2）平分弦的直径必垂直于这条弦。（3）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上。（4）如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等。（5）（6）如图，如果 AE=BF，那么 。BDAC FEOA BDC（7）圆 O 与圆 是等圆， 则
10、 AB=CD。 /OA例 2：计算。（1）如图，已知圆 O 中， ，求圆的直径长和弦 BC 的长。06,1,DOBEBCEOA BC D源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 7（2）已知 AB、CD 是O 中互相垂直的弦，并且 AB 把 CD 分成 3cm 和 7cm 的两部分，则两条弦和圆心的距离分别为 cm。（3）已知O 的半径为 10cm，弦 MNEF ，且 MN=12cm，EF=16cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 。（4）已知O 中，弦 AB=8cm，圆心到 AB 的距离为 3cm，则此圆的半径为 。 （5）在半径为 25cm 的O 中，弦 AB=40cm，则此弦和弦
11、所对的弧的中点的距离是 。例 3：应用。1、在 1300 多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度 AB（即弧所对的弦长）为 37.4m，拱高 CD（即弧的中点到弦的距离）为 7.2m，求桥拱所在圆的半径。RD BAOC例 4：综合应用1、在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为 AB，顶点 C 在半圆周上，其他两边分别为 6 和 8。现要建造一个内接于三角形 ABC 的矩形水池 DEFN 其中，DE 在 AB 上，如图所示的设计方案是使 AC=8，BC=6。（1）求ABC 中 AB 边上的高 h；（2）设 DN=x，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面
12、积最大？（3）实际施工时，发现 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 8A C B N D F EM 2、如图，直角梯形 ABCD 中，A=B=90 ，AB = 7，BCAD = 1。以 CD 为直径的圆与 AB 有两个不同的交点 E，F，且 AE = 1。问线段 AB 上是否存在点 P，使得以P、A、D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的 P 点有
13、几个？并求 AP 的长。CODABEF巩固练习1、过O 内一点 M 的最长的弦长为 4 cm，最短的弦长为 2 cm，则 OM 的长等于 。2、如图所示，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么O 的半径等于 。3、如果O 中弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 E，AE=4，CE=2，那么O 的半径等于 。4、如图所示，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点，且 AC=CD，AB 的弦心距等于 CD 的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比 。5、如图，用一块直径为 的圆桌布平铺在对角线长为 的正方形桌面上，若四周下垂的最aa源于名校，成
14、就所托创新三维学习法让您全面发展 9大长度相等，则桌布下垂的最大长度 为 。x第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图6、如图，已知 为圆 的弦（非直径） ， 为 的中点， 的延长线交圆于点 ，ABOEABEOC，且交 的延长线于点 ， ，求圆 的半径。CD D:C1:24DA BC DOE7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径。16cmABBA8、已知圆 O 的半径为 10，弦 AB=16，P 是弦 AB 上的
15、一个动点，则 OP 的取值范围是 。9、 是 的直径，弦 于点 ，连结 ，若 ， ，则AB CDABEOC58D=tanCE10、如图，弦 CD 垂直于 O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD ，BD ，则 AB 的23长为。源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 10四、直线和圆的位置关系（1）相离、相切、相交：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）如果圆 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么直线 L
16、 与圆 O 相交，；直线 L 与圆 O 相切，d=R；直线 L 与圆 O 相交， ；Rd R（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；例题分析例 1：在 中， ，以 A 为圆心，当半径为多长时，ABCcmBC6,45,300圆 A 与 BC 相切？相交？相离？例 2：（1）矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，AE=AD，以点 E 为圆心，EC 长为半径作圆E，圆 E 与 AE 交于点 F，连接 DF。求证：DF 是圆 E 的切线。FDAB CE源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 11（2）在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，以 AC 为直径作圆
17、 O，与 BC 交于点 E，过点 E 作，垂足为点 D。求证： DE 为圆 O 的切线；ABEDEOBA CD例 3：等边三角形 ABC 的边长为 厘米，圆 O 的半径为 r 厘米，圆心 O 从点 A 出发，36沿着线路 AB、BC、CA 运动，回到点 A。圆 O 随着点 O 的运动而移动。若 r 为 3 厘米，求圆 O 首次与 BC 边相切时，AO 的长。巩固练习1、在 中，若 OA=OB=2，圆 O 半径为 1，当 时，直线 AB 与圆 OOAB AB相切；当 满足 时，直线 AB 与圆 O 相交；当 满足时，直线 AB 与圆O 相离。 2、OA 平分 ，P 是 OA 上任一点（O 点除外
18、） ，如要以 P 为圆心的圆与 OC 相离，C那么圆 P 与 OB 的位置关系是 。 3、在 中， ，点 O 为 AB 上的一点， ，O 的半径 rAB003,9AmB为 ，当 m 取 时，BC 与O 相离，当 m 取 时，BC 与 O 相切；当 m 取 21时，直线 BC 与O 相交。4、已知 ，点 D 是 AC 边上的一点，AD=5，则以点 D 为圆心，且与射线 AB03BAC相交两点的圆半径 R 的取值范围 。 5、在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 ，半径是 5 的圆 P 与直线 y=x 的位置关系是 0,6。源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 126、在平面直角坐标系中，
19、以原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆，下列直线与圆 O 有交点的是（ ） 。A、 ；B 、 ；C 、 ；D、 ； 2xyxy24yx7、平面直角坐标系中，圆 M 的圆心坐标为 ，半径是 2，如果圆 M 与 y 轴所在直线0,m相切，则 m= ，如果圆 M 与 y 轴所在直线相交，则 m 的取值范围是 。8、菱形对角线交于 O 点，以 O 圆心，O 到菱形一边的距离为半径的圆 O 与菱形各边的位置关系是 。9、在 中， ，如果圆 C 与斜边 AB 有公共点，则圆ABCRt4,3,90BACC 的半径 r 的取值范围是 。 10、过正方形 ABCD 顶点 A 作一条直线，分别交 BD、CD、BC
20、 的延长线于 E、F、G。求证：（1） ；（2）CE 与 的外接圆 O 相切；DEFGFFEB CA DG11、在 中， ，若以 A 为圆心，2cm 为半径的圆与 BC 相AcmACcB2,4切，求 。 12、如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 M，过点 B 作 BECD ，交 AC 的延长线于点 E，连结 BC。 （1）求证： BE 为O 的切线；（2）如果 CD=6，tanBCD= ，求12O 的直径。课后作业：1、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米，现有一艘宽为3 米，船舱顶端为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，问此货船能否顺利通过
21、这座拱源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 13桥？为什么？2、P 是半径为 2cm 的O 内的一点，OP=1cm，那么过 P 点的弦与圆弧组成弓形，其中面积最小的弓形面积为 cm2。3、已知一条弧的长是 3cm，弧的半径是 6cm，则这条弧所对的圆心角是 度。4、已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么 等于 。CDAB5、如 图 ， O 是 的外接圆，连结 OA、OC，O 的 半 径 R=2， sinB= ， 则ABC 34弦 AC 的 长 为 。OCBA6、AB 是O 的直径,弦 CDAB 于 E，如果 AB=10,CD=8，那么 AE 的长为_ 7、如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，过弧 BC 的中点 D 做 AC 的垂线交 AC 的延长线于 E，若 DE = 2，EC = 1。则O 的直径是 。 OA BC DE8、已知直线 AB 是圆 O 的切线，直径 CD 为 10，则点 C、D 到直线 AB 的距离之和为 。9、AB 为圆 O 直径，AD 和过圆上任意一点 C 的切线互相垂直，求证：AC 平分 DAB源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展 14ODA BC10、在圆 O 中，AB 为直径，过 B 点的切线与 AD 的延长线交于点 C，AD=CD，则。ACsinDC BAO
