1、第八章 布莱克-斯克尔斯方程,第一节 傅里叶变换,第二节 布莱克-斯克尔斯方程的解,傅里叶(Fourier)变换是一种对连续时间函数的积分变换, 通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等),又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用. 离散和快速傅里叶变换在计算机时代更是特别重要,第一节 傅里叶变换,2,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、傅里叶变换与逆变换,1. 傅里叶变换与逆变换的概念,傅里叶积分定理,设f(x)在区间(-, )满足下列条件：,(1) f(x)在任何有限区间上满足展开为傅里叶级数的
2、条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点;,(2) f(x)在(-, )上的绝对可积, 即,收敛;,则在f(x)的连续点处,(8.1.01),设f(x)在区间(-, )满足下列条件：,(1) f(x)在任何有限区间上满足展开为傅里叶级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点;,(2) f(x)在(-, )上的绝对可积, 即,收敛;,在f(x)的间断点处,(8.1.02),一、傅里叶变换与逆变换,1. 傅里叶变换与逆变换的概念,傅里叶积分定理,定义1. 若f(x)是区间(-, )上的绝对可积函数, 称积分,(8.1.03),为f(x)的傅里叶变换, 记为,即,(8.1.03)
3、,称积分,(8.1.04),为,的傅里叶逆变换, 记为,8.1.04),即,我们常称表达式(8.1.04)或(8.1.04)为反演公式.,如果f(x)满足傅里叶积分定理条件, 那么在f(x)的连续点处成立傅里叶变换及其反演公式：,(8.1.04),例1. 设,求它的傅里叶变换,解:,欧拉公式,例2. 设,求它的傅里叶变换,解:,例3. 求,求它的傅里叶变换,并证明,解:,例3. 求,求它的傅里叶变换,并证明,解:,再由傅里叶逆变换的定义, 有,2. 傅里叶变换的性质,以下假定所讨论的函数满足傅里叶积分定理的条件.,性质1. (线性性),设a1, a2是常数,则,(8.1.05),(8.1.06
4、),证明：,由积分的线性性, 结论显然.,2. 傅里叶变换的性质,以下假定所讨论的函数满足傅里叶积分定理的条件.,性质2. (微分性),设,则,证明：,并且,在(-, )上存在,(n为正整数).,如果当x时,当n=1时,如果当x时,则,如果当x时,则,性质3. (积分性),设,则,证明：,并且F(0)=0.,因为,如果,(8.1.08),所以,三、傅里叶变换法解偏微分方程,将线性偏微分方程中的未知函数看做某个自变量的一元函数，对方程两端取傅里叶变换而将其转化成常微分方程, 再利用所给的条件求出常微分方程的解, 再将这个解进行傅里叶逆变换就得到偏微分方程的解.,例4. 求解一维热传导方程的初值问
5、题,解:,将u视为x的一元函数, 对(*)两端关于x进行傅里叶变换,(*),(*),一阶常系数齐次线性方程的初值问题,对上式进行傅里叶逆变换, 就得到初值问题(*)的解,(*),其中最后一个等号是利用了积分公式,在这个公式中, 令,即得结论.,人们通常称(*)为一维热传导方程的泊松(Poisson)公式.,本节结束！,对布莱克-斯克尔斯方程,(8.2.01),进行多次变量替换, 将方程化成热传导方程的形式,然后利用泊松(Poisson)公式公式求出布莱克-斯克尔斯方程(8.2.01)的解 .,第二节 布莱克-斯克尔斯方程的解,(8.2.02),(1)令,则,(8.2.03),(2)令,则,(8.2.04),(3)令,则,(8.2.05),(4)令,则,或,一维热传导方程,利用一维热传导方程的泊松公式(*), 得,这就是热传导方程(8.2.05)的解.,(8.2.06),现在逐步换回原变量,第一项中令,第二项中令,在(8.2.06)的,现在逐步换回原变量,第一项中令,第二项中令,在(8.2.06)的,令,(8.2.08),其中N()是标准正态分布函数,所以,(8.2.09),(8.2.10),其中,这样, 我们就求出了布莱克-斯克尔斯方程(8.2.01)的解(8.2.09).,(8.2.09),无价值看涨期权的多头,E份现金或无价值看涨期权的多头,本节结束！,
