1、第一部分 分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系 关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当 时，求 和 时的值.三、 （方程非齐次的情形）求定解问题四、 （边界非齐次的情形）求定解问题五、 （Possion 方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件） ；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三
2、题）可以用 Laplace 变换求解。第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 220, 0,ttuaxtx(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式(3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题 2301,1, 0cos,yxuxy注意：只考应用 Fourier 变换和 Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移 和初始速度 为奇函数，则xx,0ut(2) 若初始位移 和初始速度 为偶函数，则 x三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解(2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将 在区间 内展成勒让德多项式的级数2fx1,二、在半径为 的球内求调和函数，使 132cosru（提示：边界条件仅与 有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明： （弱） ，其中0limxx1,20xx21、证明： （弱）sinlmNx22、证明：当 时， 弱收敛于23、求 在 上的余弦级数，并证明该级数若收敛于0x0, x24、求 在 上的正弦级数，并证明该级数若收敛于,
