1、分类号 O151.1 编 号 2012010634毕 业 论 文题 目 学 院 姓 名 专 业 学 号 研 究 类 型 指 导 教 师 提 交 日 期 原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的指 导 下 独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 。 学 位 论 文 中 凡 是 引 用他 人 已 经 发 表 或 未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确注 明 出 处 。 除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ， 不 包 含 任 何 其他 个 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写
2、 过 的 科 研 成 果 。本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 。论 文 作 者 签 名 ： 年 月 日 论 文 指 导 教 师 签 名 ：一元 n 次方程的解法摘 要: 讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special cl
3、asses of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目 录0 引言 11 二,三,四次方程根的情况: .1.二次方程求根公式 .12三次方程求根公式 .23.1.四次方程求根公式 32 几类特殊高次方程的解法
4、 4.解方程 0Axn.4解方程 2cbua43.2解方程 0221 abxcxxnn 54求解方程 10n-1fa 65.求解方程 021xxann .7n3 利用 Mthemic软件解方程 91.求解步骤: 92例题展示 .94 小结 .13参考文献 .14致谢 .15数学与统计学院 2012 届毕业论文1一元 n 次方程的解法0 引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五
5、次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示. 代数学基本定理 每个次数 的复系数多项式在复数域中有一根.11定义 1 形如 的方程称为在0)( 120 nnn axxaxaf 一个数域 S 上的一个未知数的 n 次代数方程， 称为一元 n 次多项式，式中)(fn 为正整数, , , ,., , 都是属于数域 S 的常数 ,称为方程的系数.0a121定义 2 若存在一个常数 C,使 ,则称 C 为多项式 或方程0)(cf )(xf的根.)(xf1 二,三,四次方程根的情况:1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 02cbxa)(a1.1
6、.2 根的表达式 422,11.1.3 根与系数的关系 abx21 acx211.1.4 判别式 cb42当 ,方程有两个不相等的实根;0当 ,方程有两个相等的实根;当 ,方程有两个复根.数学与统计学院 2012 届毕业论文21.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式 (1)023dcxba)(a求解过程: 对(1)式除以 a,并设 .则(1)式可以化成如下形式,y3(2)3qpy(1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2) 的根.对于方程(2)的三个根有 : 332321 pqpqy332322 332232 pqpqy其中 , .21i21i再把 带入 解出
7、 .31,yabx31,x例 1 解方程 .023解 对方程 两边同除以 2,再设 ,方程化为,xx 21yx,543y45,3qp代人以上公式解得: iyi21,132因此解得：.ixix,3211.2.2 根与系数的关系 , , abx321 acx321 adx321数学与统计学院 2012 届毕业论文31.2.3 方程(2)的判别式 32pq当 时,方程有一个实根和两个复根;0当 时,方程有三个实根; 时,有一个三重零根 ;0qp时,三个实根中有两个相等;032pq当 时,有三个不等的实根.1.3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式 ( ) 0234edxcbxaa（3）给(3)式两
8、边同除以 a,原方程可以转化成首项系数为 1 的四次方程；而方程的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.0234edxcbx04824822 222 cbydxcbyx by其中 y 是三次方程 的任一实根.23 ed在方程 中,设 ,则原方程可化为二次方程,024abxcax xy1可解出四个根为 , 其中44,321yacb2842若四次方程为 ,则设 ,原方程可化为二次方程02ecxa2x,可解出四个根为02ecya aec44,321阿贝尔定理 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.2由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论数学与统计学院 2012 届毕
9、业论文4几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义 3 形如 的方程称为二项方程.0Axn2.1 解方程解题过程: 把 A 写成 ,则方程 的 n 个根是sincor0Axn kniknrxnk 2s2cos 1,2几何说明: 复平面上与数 的 n 次方根对应的点是一个正 n 边sicor形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以 为半径的圆上,而这个 n 边形的顶点之n一有辐角 .n定义 4 形如 的方程称为三项方程,其中 a,b,c,n 都不等于02cbuan0,n 为整数.2.2 解方程 2n解题过程: l 令 ,代入以上方程得 ，由此解出 x,则xu02cbxa是一个二项方程
10、,从而再解出 u,方程的解.0xun例 2 03124u解 令 ,代入方程得 ，求解此方程得 ,从x0342x 3,12x而有 ,或 ,解这两方程 ,得出原方程的解为122.31,1,4321 uu定义 5 形如 的方程称为倒数方程（其02abxcxbaxnn中 和 项 的系数相同）.knx2.3 解方程 221xcxxnn数学与统计学院 2012 届毕业论文52.3.1 方程求解过程：a) 解偶次 倒数方程,对方程两边除以 ,再令 ,则原方程可kn2kxxz1化为 z 的 次方程 ,解此方程 ,得 z 值,然后对应 x 的值可由二次方程k求出.012xb) 解奇次 倒数方程归结到解偶次倒数方
11、程,奇数次倒数方程必有12kn一个根为 ,因此,先把原方程除以 化成偶数次方程再求解.1x1x例 3 求方程 的根.0253524 x解 由于 是原方程的一个根,因此把原方程除以 ,得到四次倒数1x 1x162234xx再对其除以 ,然后合并整理得：2x 016322xx令 ,则 从而上式变为:xz1122z,01632即 ,解得0232z 25,41z因而有确定 x 得两个方程:,0022 xx和由这两个方程解得:.21,3,3542 x定义 6 对于一般的方程 10n-10nfaxax a假定 则原方程可解.1,2,kaq数学与统计学院 2012 届毕业论文62.4 求解方程 10n-10
12、nfxaxax a求解过程: 对于 ,利用 ,则此方程为1- 0nq1000nnnnxqqx方程两边同除以 ,得 a(4)11nnxx对(4)同乘以 得,q,10nxq即,解得:1nx, .1nxq nkikxk ,210s2co去掉增根 得到原方程的解. .,21sin12conkkqxk 特别的,当 时1q .,21sin12conkkxk 例 4 解方程 .0368435x解 方程的系数成等比数列,且公比 ,直接利用以上公式求解,由q得.,21sin12conkkqxk 数学与统计学院 2012 届毕业论文7iixixiix315sn3co242sc31n32osc54321 定义 7
13、对于一般的方程 0121axxann n假定 则此方程也可解.,2,11kqak2.5 求解方程 0121 axxann n求解过程: 对于 ,由于 ,代入21n nqa0以下方程 0121axxann得 000 qq两边同除以 ,得到0a(5)121xxnn再给(3)两边同乘以 ,得到 q(6) 0231 qqnn得, 561nx即 1nq则 .,210,si2co1nkkqxn 数学与统计学院 2012 届毕业论文8.,210,2sin1conkkqxk 去掉增根 ,则原方程的解为qx1 .,21,sin12conkkqxk 例 5 04816322345x解 方程的系数成等比数列,且公比
14、 ,直接利用以上公式求解,由q.,21,sin12conkkqxk 可得, iixix iix3145sn3co21421snco21343snco25431 定理 2 设 是数域 P 上的任意多项式,那3nnaxaf 11么方程 的根与矩阵 A 的特征根相同,其中 A 的形式如下:0xf 0010121 na证 设矩阵 对应的特征矩阵为A数学与统计学院 2012 届毕业论文90010112 naaAE则 按 第 一 列 展 开001121 naAE nnn nnnnnnn naa aaaaa 121 1121211 12100 0010 令 ,以上定理得证.x因此,把求方程 的根转化为求矩阵
15、 A 的特征值的问题,关于求矩阵0xf的特征值问题,可以用 软件求得.aMthemic3 利用 软件解方程atheic3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵 ;A第二步:打开 软件,输入命令 EigenvaluesA;aMthemic第三步:求得矩阵 得特征值;第四步:得到原方程的解.3.2 例题展示例 6 02322xx数学与统计学院 2012 届毕业论文10解 取 0123A求矩阵 的特征值,打开 软件,输入 命令,运行得aMthemicAsEigenvalu出结果.运行过程:原方程的解为: ixix1,213例 7 求解方程 .025524 x解 取 011253012A求矩阵
16、的特征值,打开 软件,输入 命令,运行得AaMthemicAsEigenvalu出结果.运行过程:数学与统计学院 2012 届毕业论文11即原方程的解: .32,1,2,35431 xxx例 8 解方程 .06845解 取 03211602A求矩阵 的特征值,打开 软件,输入 命令,运行得aMthemicAsEigenvalu出结果.运行过程:原方程的解: .31,31,31,2 541 ixixixix 例 9 解方程 .028645数学与统计学院 2012 届毕业论文12解 取 03211680412A求矩阵 的特征值,打开 软件,输入 命令,运行得出AaMthemicAsEigenval
17、u结果.运行过程:原方程的解: ixixx3143142153数学与统计学院 2012 届毕业论文134 小结通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利aMthemic用 软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的t方法给求解高次方程带来了极大地方便.数学与统计学院 2012 届毕业论文14参考文献:1王萼芳,石生明.高等代数M. 第三版.高等教育出版社:2003.7:27 2安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究J.高校讲台.2007.12:134-1353罗芳.求解高次实系数代
18、数方程的 Excel 算法J.雁北师范学院学报.2004.20(5):60-614张景晓.四类高次代数方程的升幂解法J. 聊城大学学报 .2003.16(3):20-225张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解 J.河北理工教学研究.2003.2:5-76张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解J. 数学通报 .2003.8:42-437张栋恩,许晓革.高等数学实验M. 高等教育出版社.2004.7数学与统计学院 2012 届毕业论文15致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!
