1、可降阶高阶微分方程第三节一一一一、型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程第九九九九章二二二二、型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程三三三三、型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程一一一一、)()(xfyn=令令令令,)1(?=nyz因此因此因此因此1d)(Cxxfz+=即即即即型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程22同理可得同理可得同理可得同理可得2)2(d Cxyn+=?1d)(Cxxf+xd =xxfd)(依次通过依次通过依次通过依次通过n次积分次积分次积分次积分, 可得含可得含可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解个任意常数的通解个任意
2、常数的通解.21CxC+例例例例1.cos2xeyx?=求解求解求解求解解解解解()12cosCxdxeyx+?=12sin21Cxex+?=33xey241=xey281=xsin+21xC+32CxC+xcos+21CxC+例例例例2.2,111002的特解的特解的特解的特解满足初始条件满足初始条件满足初始条件满足初始条件求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程=+=xxyyxy解解解解对方程两端积分对方程两端积分对方程两端积分对方程两端积分，得得得得12d11Cxxy+=,1arctanCx+=44.21=C.2arctan+=xy两端再积分两端再积分两端再积分两端再积分，得得得得2d2
3、arctanCxxy+=,2)1ln(21arctan22Cxxxx+?=,20得得得得由条件由条件由条件由条件=xy所以所以所以所以.12=C将初始条件代入将初始条件代入将初始条件代入将初始条件代入，得得得得2d2arctanCxxy+=,2)1ln(21arctan22Cxxxx+?=55.12=C将初始条件代入将初始条件代入将初始条件代入将初始条件代入，得得得得.12)1ln(21arctan2+?=xxxxy故所求特解为故所求特解为故所求特解为故所求特解为),(yxfy=型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程设设设设,)(xpy=原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程原方程化为
4、一阶方程原方程化为一阶方程设其通解为设其通解为设其通解为设其通解为),(1Cxp?=二二二二、661则得则得则得则得),(1Cxy?=再一次积分再一次积分再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy+=?.5tan的通解的通解的通解的通解求求求求+=yxy解解解解,5tandd+=?pxxp即即即即.cot5cotddxpxxp=?例例例例3,py=令令令令.),(型型型型属于属于属于属于yxfy=.ddxpy=则则则则77即即即即dx.5sindd1?=xCxy1dcotdcotcot5Cxeepxxxx+=?,5sin1?=xC.5
5、cos21CxxCy+?=例例例例4;1)0(,0)0(,0)1(2=?yyyxyx求解求解求解求解解解解解,py=则则则则xppx=?)1(2代入方程有代入方程有代入方程有代入方程有,py=设设设设型型型型，属于属于属于属于)(yx,fy=可分离变量方程可分离变量方程可分离变量方程可分离变量方程88xppx=?)1(2分离变量得分离变量得分离变量得分离变量得xxxppd1d2?=代入方程有代入方程有代入方程有代入方程有两边积分得两边积分得两边积分得两边积分得12ln)1ln(21lnCxp+?=即即即即211xCp?=,1)0(=y代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件所以所以所以
6、所以211xpy?=.11=C得得得得991x?两边积分得两边积分得两边积分得两边积分得2arcsinCxy+=.02=C得得得得故所求特解为故所求特解为故所求特解为故所求特解为.arcsinxy=,0)0(=y代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件三三三三、),(yyfy=型的微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程令令令令),(ypy=xpydd=则则则则xyypdddd?=故方程化为故方程化为故方程化为故方程化为设其通解为设其通解为设其通解为设其通解为),(Cyp?=即得即得即得即得1010设其通解为设其通解为设其通解为设其通解为),(1Cyp?=即得即得即得即得分离变量后
7、积分分离变量后积分分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解得原方程的通解得原方程的通解例例例例5 求解求解求解求解.02=?yyy代入方程得代入方程得代入方程得代入方程得解解解解xpydd=则则则则xyypdddd=yppdd=1111两端积分得两端积分得两端积分得两端积分得,lnlnln1Cyp+=,1yCp=即即即即一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程故所求通解为故所求通解为故所求通解为故所求通解为例例例例6,21）数数数数的面积成正比的面积成正比的面积成正比的面积成正比（比例系比例系比例系比例系kOMPy向横轴作垂线向横轴作垂线向横轴作垂线
8、向横轴作垂线，由点由点由点由点的切线与横轴交于的切线与横轴交于的切线与横轴交于的切线与横轴交于处处处处，其上任一点其上任一点其上任一点其上任一点一平面曲线经过原点一平面曲线经过原点一平面曲线经过原点一平面曲线经过原点MTMO垂足为垂足为垂足为垂足为P,已知三角形已知三角形已知三角形已知三角形MTP的面积与曲边三角形的面积与曲边三角形的面积与曲边三角形的面积与曲边三角形求此曲线求此曲线求此曲线求此曲线L的方程为的方程为的方程为的方程为y = y(x) )(:xyyL=的方程的方程的方程的方程.1212解解解解oxL的方程为的方程为的方程为的方程为y = y(x) y(0) = 0, 且且且且任意
9、点任意点任意点任意点M(x, y)处处处处的切线的切线的切线的切线方程为方程为方程为方程为)(:xyyL=?T?)0,(xP),(yxM?).)(xXxyyY?=?，令0=Y.yyxX?=.,）（为0yyxT?的面积是曲边三角形的面积是曲边三角形的面积是曲边三角形的面积是曲边三角形依题意依题意依题意依题意，三角形三角形三角形三角形OMPMTP)(xXxyyY?=?oxy)(:xyyL=?T?)0,(xP),(yxM?1313即即即即倍倍倍倍面积的面积的面积的面积的.k.d)(210=?xttykyyyxx）（=xttykyy02d)(2,)(22222kyyyyyy=?yyyk=?2)22(,
10、ddpxy=令令令令,dddd22yppxy=则则则则得得得得代入方程代入方程代入方程代入方程),1(,dd)22(2ypyppk=?1414不合题意），（消去0=xyppdd,dd)22(=?ppyykdy得得得得.lnlnln)22(Cpyk?=?于是于是于是于是,dd22xCyyk=?2112CxCyk+=?得得得得.lnlnln)22(Cpyk?=?,22kCyp?=xydd151521CxCy+=().)12(1CkC?=其中其中其中其中故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为得得得得由条件由条件由条件由条件,0,0)0(2=CyxCyk112=?.2
11、1）（k解解解解例例例例7.)(3的通解的通解的通解的通解求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程yyy+=型方程，若看成),(yxfy=,ddpxy=设设设设则则则则,ddd22xpy=方程即不显含方程即不显含方程即不显含方程即不显含x,也不显含也不显含也不显含也不显含y1616.dd3ppxp+=方程化为方程化为方程化为方程化为,dpx=设设设设则则则则,dd2xx=得=+xpppd)(d12,ln1ln2Cxpp+=+,12xCepp=+即即即即,12xCeyy=+.解此一阶方程较困难解此一阶方程较困难解此一阶方程较困难解此一阶方程较困难1717，则设则设则设则设pxy=dd，yppxy
12、dddd22=，ppypp+=3dd型方程型方程型方程型方程，若看成若看成若看成若看成),(yyfy=;,0Cyp=时时时时.1dd,02+=pypp时时时时得得得得分离变量并积分分离变量并积分分离变量并积分分离变量并积分=+yppd1d2,1arctanCyp+=).tan(dCypy+=1818).tan(dd1Cypxy+=,dd)cot(1xyCy=+,ln)sin(ln21CxCy+=+即即即即.)sin(21xeCCy=+内容小结内容小结内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法降阶法降阶法降阶法降阶法次积分次积分 次积分次积分
13、1919令令令令,)(xpy=令令令令,)(ypy= 与 与 与 与 1. 方程方程方程方程 代 求解代 求解 代 求解代 求解?:令令令令 一 一 一 一 , 方 方 方 方 . 可可 可可. 有时 后 方 有时 后 方 有时 后 方 有时 后 方 .例 例 例 例 ,20202. 解二阶可降阶微分方程初 题 意 题解二阶可降阶微分方程初 题 意 题解二阶可降阶微分方程初 题 意 题解二阶可降阶微分方程初 题 意 题?:(1) 一 一 一 一 , 边解边 常数 边解边 常数 边解边 常数 边解边 常数 .(2) 平方时平方时 平方时平方时, 题意 正题意 正 题意 正题意 正.)且满足上可currency1，“数,)(,)(100=+fxf合题合题合题合题0d)(11)()(0=+?+xttfxxfxf);(xf求currency1数解解解解x2121解解解解0d)()()1()()1(0=?+xttfxfxxfx)()2()()1(xfxxfx+?=+),(xfp=设设设
