1、第十七章 坐标系与参数方程高考导航考试要求 重难点击 命题展望一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2 .了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，
2、体会它们的区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程. 3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；
3、曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数 方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念 【例 1】已知ABC
4、 的三个顶点的极坐标分别为 A(5， )，B(5 ， )，6 2C(4 ， )，试判断 ABC 的形状，并求出它的面积.33【解析】在极坐标系中，设极点 为 O，由已知得 AOB ，BOC ，AOC .3 56 56又|OA |OB |5，|OC |4 ，由余弦定理得3|AC|2|OA| 2| OC|22|OA| |OC|cosAOC5 2(4 )2254 cos 133，3 356所以|AC | .同理，|BC| .133 133所以|AC |BC|，所以 ABC 为等腰三角形.又|AB| |OA|OB|5，所以 AB 边上的高 h ，|AC|2 (f(1,2)|AB|)21332所以 SA
5、BC 5 .121332 6534【点拨】判断ABC 的形状，就 需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练 1】(1)点 A(5， )在条件： 0， ( 2，0)下极坐标为 3， 0， (2，4) 下极坐标为 ；(2)点 P( ， )与曲线 C：cos 的位置关系是 .12 43 2【解析】(1)(5 ， )；(5， ).(2)点 P 在曲线 C 上.53 103题型二 直角坐标与极坐标的互化 【例 2】O 1 和O 2 的极坐标方程分别为 4cos ， 4sin .(1)把O 1 和 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O 1 和O 2 交点
6、的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为 xcos ，ysin ，由 4cos ，得 24 cos ，所以 x2y 24x ，即 x2y 2 4x0 为O 1 的直角坐标方程.同理，x 2y 24y0 为O 2 的直角坐标方程.(2) 由 ,2解得 0,1y或 .2,x即 O1，O2 的交点为(0,0)和(2，2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为 xy0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点， x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到 .【变式训练 2】在极坐标系中，设圆 3 上的点到直线 (cos
7、sin )2 的距离为 d，求 d 的最3大值.【解析】将极坐标方程 3 化为普通方程 x2y 29，(cos sin )2 可化为 x y2.3 3在 x2y 29 上任取一点 A(3cos ，3sin )，则点 A 到直线的距离为 d ，它 的最大值为 4. |3cos 33sin 2|2 |6sin( 30) 2|2题型三 极坐标的应用【例 3】过原点的一动直线交圆 x2(y1) 21 于点 Q，在直线 OQ 上取一点 P，使 P 到直线 y2 的距离等于| PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点 P 的轨迹方程.【解析】以 O 为极点，Ox 为 极轴，建立极坐标系，如右图所示，过 P
8、 作 PR 垂直于直线 y2 ，则有|PQ|PR |.设 P(，)，Q(0，)，则有 02sin .因为|PR| PQ|，所以|2 sin | |2sin |，所以2 或 sin 1，即为点 P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为 x2y 24或 x0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解 题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简 化运算过程， 转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练 3】如图，点 A 在直线 x5 上移动，等腰OPA 的顶角OPA 为120(O，P，A 按顺时针方向排列) ，求点 P 的轨迹方程.【解析】取 O 为极点，x 正半轴为极轴，建立
9、极坐标系，则直线 x5 的极坐标方程为 cos 5.设 A(0，0)，P(，)，因为点 A 在直线 cos 5 上，所以 0cos 05.因为OPA 为等腰三角形，且OPA120，而|OP|，| OA| 0 以及POA30，所以 0 ，且 0 30.3把代入 ，得点 P 的轨迹的极坐标方程为 cos(30)5.3题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例 4】定义变换 T： , cos siniyxx可把平面直角坐标系上的点 P(x，y) 变换成点 P(x，y).特别地，若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P与点 P 重合，则称点 P 是曲线 M 在变换 T下的不动点.(1
10、)若椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，且焦距为 2 ，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2.2求椭圆 C 的标准方程，并求出当 tan 时，其两个焦点 F1、F 2 经变换公式 T 变换后得到的点 F1和 F234的坐标；(2)当 tan 时，求 (1)中的椭圆 C在变换 T 下的所有不动点的坐标.34【解析】(1)设椭圆 C 的标准方程为 1(ab0) ，x2a2 y2b2由椭圆定义知焦距 2c2 c ，即 a2b 22.2 2又由已知得 a2b 24，故由 、可解得 a23， b21.即椭圆 C 的标准方程为 y 21，x23且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为 F1( ，0)和 F2
11、( ，0).2 2对于变换 T：, cos siniyxx当 tan= 43时，可得 .54,3yx设 F1(x1，y1)和 F2(x2，y2)分别是由 F1( ，0)和 F2( ，0)的坐标经变换公式 T 变换得到.2 2于是 ,5304)2(53,1y即 F1的坐标为( ， )；425 325又 ,52304253,2yx即 F2的坐标为( ， ).425 325(2)设 P(x，y)是椭圆 C 在变换 T 下的不动点， 则当 tan 时，34有 yx543,x3y ，由点 P(x，y)C，即 P(3y，y)C，得 y 21(3y)23 ,231x因而椭圆 C 的不 动点共有两个，分 别为
12、( ， )和( ， ).32 12 32 12【变式训练 4】在直角坐标系中，直线 x2y2 经过伸缩变换 后变成直线2x y 4. 【解析】 .4,yx总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定 0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程. 17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例 1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) sin co2,4yx ( 为参数 )；(2) 2)e(,ttttbya(t 为参数，a，b0).【解析】(1) ,1)94()2(94 cos
13、, in si co2,4 2 yxyxyyx所以 5x24x y17y 2810. (2)由题意可得 .ettttbya所以 2 2 得 4，所以 1，其中 x0.4x2a2 4y2b2 x2a2 y2b2【变式训练 1】把下列参数方程化为普 通方程，并指出曲线所表示的图形.(1) ; cosin,yx (2) ;1,tyx(3) ;13,2tyt(4) 3. tan5,sec46yx【解析】(1)x 22(y )， x ，图形为一段抛物线弧.12 2 2(2)x1，y 2 或 y2，图形为两条射线.(3)x2y 23y0(y 3)，图形是一个圆，但是除去点 (0,3).(4) 1，图形是双
14、曲线.(x 6)216 (y 3)225题型二 根据直线的参数方程求弦长 【例 2】已知直线 l 的参数方程为 tyx3,2(t 为参数) ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 21.(1)求曲线 C 的普通方程；(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线 C：2cos 2 2(cos2sin 2)1，化成普通方程为 x2y 21. (2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 tyx23,(t 为参数). 把代入 得 (2 )2( t)21，整理得 t24t60.t2 32设其两根为 t1，t2，则 t1t 24，t 1t26.从而弦长为|t 1t 2| 2 .(t1 t
15、2)2 4t1t2 42 4( 6) 40 10方法二：把直线的参数方程化为普通方程为 y (x2) ，3代入 x2y 21，得 2x212x 130.设 l 与 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 26，x 1x2 ，132所以|AB| 2 2 .1 3 (x1 x2)2 4x1x2 62 26 10【变式训练 2】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 tyx531,4(t 为参数)，若以 O 为极点 ，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 cos( )，求直线 l 被曲线 C 所截的弦24长.【解析】将方程 tyx531,4(t 为参
16、数)化为普通方程为 3x4y 10. 将方程 cos( )化为普通方程 为 x2y 2xy0.24表示圆心为( ， )，半径为 r 的圆，12 12 22则圆心到直线的距离 d ，弦 长2 2 . 110 r2 d2 12 1100 75题型三 参数方程综合运用【例 3】(2009 海南、宁夏)已知曲线 C1： tyx sin3,co4 (t 为参数) ，C 2： sin3,co8yx ( 为参数).(1)化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： tyx2,(t 为
17、2参数) 距离的最小值.【解析】(1)C 1：(x4) 2(y 3) 21， C2： 1.x264 y29C1 是以(4,3)为圆心，1 为半径的圆；C2 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴， 长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆.(2)当 t 时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故 M(24cos ，2 sin ).2 32C3为直线 x2 y70，M 到 C3 的距离 d |4cos 3sin 13|，55从而 cos ，sin 时， d 取最小值 .45 35 855【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 sin2,co4yx( 为参数) ，
18、以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线 C2 的极坐标方程为 2cos 4sin (0).(1)化曲线 C1、 C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线 C1 与 x 轴的一个交点的坐标为 P(m,0)(m0) ，经过点 P 作曲线 C2 的切线 l，求切线 l 的方程.【解析】(1)曲线 C1： 1；曲线 C2：(x1) 2(y2) 25.x216 y24曲线 C1为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上， 长半轴长是 4，短半轴长是 2 的椭圆；曲线 C2为圆心为(1，2)，半径为 的圆.5(2)曲线 C1： 1 与 x 轴 的交点坐标为( 4,0)和(4,0)， 因为 m0，所以点 P 的坐标为(4,0). 显然切x216 y24线 l 的斜率存在，设为 k，则切 线 l 的方程为 yk (x4).由曲线 C2为圆心为(1，2)，半径为 的圆得 ，5|k 2 4k|k2 1 5解得 k ，所以切线 l 的方程为 y (x4).3 102 3 102总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量 x，y 的取值范围而造成错误. 2.消除参数的常用方法有：代入消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.
