1、方程有两个相等实数根是否能改为有一个实数根？河北省临西县第一中学 （054900）高孝军 李其福在教授 P34 用公式法（人教版2009 年 3 月第 2 版，2013 年 6 月第 8 次印刷）解一元二次方程时，对于求根公式,当=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根可否改为有一个实数根学生产生了困惑。经过同学们归纳梳理之后，形成了如下意见：意见 1：当=0 时，方程有两个相等的实数根是正确的。意见 2：当=0 时，方程有两个相等的实数根可以改为方程有一个实数根。意见 3：讨论 1 和讨论 2 都对。意见 4：不知道哪个对哪个错。持意见 1 的同学认为，教材是这样叙述的，难道会出错吗？他们在
2、相信教材的基础上认为：当=0 时，方程有两个相等的实数根是正确的，不应改动。持意见 2 的同学认为，既然这两个根是相等的，并且是一模一样的，可以省略一个根，把两个相等的实数根合写成一个实数根就可以了。既然如此，怎样分析才能使同学们明白谁对谁错，我进行了思考。思考一：利用平方根的意义对求根公式进行解释1、对意见 1 的解释。一元二次方程的一般形式 （a 、b、c 是常数，a ） ，用配方法进行求解得到结果 02bxa0。因为,a0，所以 ，所以 。所以，根的判别公式 的值有224)(cbax242acb42三种情况： （不讨论） 。0,04,022 acbacb（1）当 时， 0。根据平方根的意
3、义可知， 有两个不相等的平方根。42acb2 2)(abx于是得： ，即 ， ，所以当x2 acbx24c42时，方程有两个不相等的实数根042acb， 。acbx241acbx242（2）当 时，把 代入 x1，x 2 中，得：00，即 ，所以当 时，方程有两个相abxabx 2,21 ab042acb等的实数根。从以上的分析中得出意见 1 是正确的。2、对意见 2 的解释。当 时，把两个相等的实数根通常说成只有一个实数根，只是一种个人认识，而这种认识04acb不符合 n 次 n 解的原理，故讨论 2 是错误的。评析：利用平方根的意义对 有两个相等的实数根进行讲解后，一部分学生纠正了对当 0
4、4acb时有一个实数根的错误认识，但仍有部分同学感到困惑。042acb思考二：利用函数图象与 x 轴交点的个数对求根公式进行了解释对于任何一个一元二次方程 （a 、b、c 是常数，a ）可以看作是二次函数的图像 02ba0（a、b、c 是常数，a ）与平面直角坐标系中 x 轴交点的横坐标。于是对二次函数进行xy2 配方后可得 （a、b、c 是常数，a ） ，其顶点坐标为（ ） 。由224)(024,abc于二次函数 （a、b、c 是常数，a ）的图象是一条抛物线，而二次函数的图象位于平面xy2 直角坐标系的哪一象限，与二次项系数 a，一次项系数 b，常数项 c 有密切的联系。二次项系数 a 决
5、定抛物线的开口方向。当 a0（a0） ，抛物线开口向上（向下） 。一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线 的对称轴是直线 ，故xay2 ax2b=0 时对称轴为 y 轴。 时，a,b 同号，对称轴在 y 轴左侧； 时，a,b 异号，对称轴在 y 轴右侧。0b 0b常数项 c 的大小决定二次函数图象与 y 轴交点的位置。当 x=0 时，y=c，所以抛物线与 y 轴有且只有一个交点(0,c)；当 c=0 时，抛物线经过原点；当 c0 （c0）时，抛物线与 y 轴交与正（负）半轴。从以上分析可以知道，确定二次函数图象的位置可以由二次项系数 a，常数项 c 与顶点坐标
6、（）共同来确定。a 决定图象开口方向； c 决定图像与 y 轴的正半轴、原点、负半轴相交；24,bca顶点坐标决定图像的最大值与最小值。函数图象与 x 轴有交点即一元二次方程有实数根，函数图象与 x 轴无交点即一元二次方程没有实数根。当 时，抛物线 （a ） 与 x 轴相交有两个公共点，这两个042acb cbay20公共点分布在对称轴 的两侧，说明一元二次方程有两个不相等的实数根。bx当 时，抛物线 （a ）与 x 轴相交只有一个公共点，即顶点坐2ccxy2标坐落在 x 轴上。其实质是分布在对称轴 两侧的两个公共点，沿对称轴两侧图像的轨迹向抛物b线的顶点处移动，逐渐重合而成为一个公共点，即一
7、元二次方程有两个相等的实数根。从而证明意见 1 是正确的，意见 2 是错误的。评析：在理解二次函数 （a、b、c 是常数，a ）的图象的基础上，可知抛物线与xay2 0x 轴相交于两点、相交于一点、没有交点三种情况来判定一元二次方程根的情况。思考三：利用因式分解法之完全平方公式对求根公式进行解释一元二次方程 （a、b、c 是常数，a ） 的右边为 0，左边可以利用完全平方公式02xa0进行因式分解。即一元二次方程 （a、b、c 是常数，a ）的左边可以分解为2。由=0 知，方程可变为 ，即 ，解之得，04)2(2abcxa 0)2(x 02)(abx。所以一元二次方程当=0 时有两个相等的实数
8、根。可知意见 2 是错误的。如,1，左边是典型的完全平方公式的形式，即 ，而 可以写成(2x-042x 0)1(2x0)1(x1)(2x-1) =0 两个一次式乘积等于 0 的形式。即 2x-1=0 或 2x-1=0，解之得 ，所以 2,。所以一元二次方程有两个相等的实数根。211x评析：利用完全平方公式解一元二次方程要对一元二次方程的左边进行因式分解，化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现了降次的目的。思考四：对求根公式的升华原句( P 36)：由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多与两个。单从本句表达的意义不难理解一元二次方程的根不可能多于两个，也就是说一元二次方程的根可以有两个、一个、0 个（没有）实数根。当 时，一元二次方程有两个（不相等和相等）实数根；042acb当 时，一元二次方程有 0 个实数根（没有实数根） 。从而说明“一元二次方程的根不可042acb能多于两个”这句话是错误的。应改为“由求根公式可知，一元二次方程的根应为两个或 0 个。 ”通过对一元二次方程求根公式的思考发现，当 时，有两个相等的实数根不可能改为有042acb一个实数根这种说法。以上观点如有不对的地方，敬请专家和各位同仁斧正。联系地址：河北省邢台市临西县第一中学 高孝军 邮政编码：054900 联系电话：13831949399 邮箱：
