1、定 义 3.方 程 x2 - dy2 = 1， 4 ( x， y Z， 正 整 数 d 不 是 平 方 数 ) 是 x2 - dy2 = c 的 一 种 特 殊 情 况 ， 称 为 沛 尔 (Pell)方 程 。 这 种 二 元 二 次 方 程 比 较 复 杂 ， 它 们 本 质 上 归 结 为 双 曲 线 方 程 x2 - dy2 = c 的 研 究 ， 其 中 c， d 都 是 整 数 ， d 0 且 非 平 方 数 ， 而 c 0。 它 主 要 用 于 证 明 问 题 有 无 数 多 个 整 数 解 。 对 于 具 体 的 d 可 用 尝 试 法 求 出一 组 成 正 整 数 解 。 如
2、 果 上 述 pell 方 程 有 正 整 数 解 (x， y)， 则 称 使 x + yd0.5 的 最 小 的 正 整 数 解 为 它 的 最 小 解 。 定 理 4.Pell 方 程 x2 - dy2 = 1 ( x， y Z， 正 整 数 d 不 是 平 方 数 )必有 正 整 数 解 ， 且 若 设 它 的 最 小 解 为 (x_1， y_1)， 则 它 的 全 部 解 可 以 表 示 成 ：(特 殊 方 程 之 佩 尔 方 程 1)上 面 的 公 式 也 可 以 写 成 以 下 几 种 形 式 ： (特 殊 方 程 之 佩 尔 方 程 2)(特 殊 方 程 之 佩 尔 方 程 3)
3、(特 殊 方 程 之 佩 尔 方 程 4)定 理 5.Pell 方 程 x2 - dy2 = -1 ( x， y Z， 正 整 数 d 不 是 平 方 数 )要么 无 正 整 数 解 ， 要 么 有 无 穷 多 组 正 整 数 解 ， 且 在 后 一 种 情 况 下 ， 设 它 的 最 小解 为 (x_1， y_1)， 则 它 的 全 部 解 可 以 表 示 为 (特 殊 方 程 之 佩 尔 方 程 3) 若一个丢番图方程具有以下的形式：且 n 为正整数，则称此方程为佩尔方程(英文：Pells equation 德文：Pellsche Gleichung)若 n 是完全平方数，则这个方程式只有
4、解（实际上对任意的 n，都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由的连分数求出另外，当 n 为偶数时， x2 ny2 = 1 形式的方程无整数解佩尔方程的解设 是的连分数表示:的渐近分数列，由连分数理论知存在 i 使得( pi,qi) 为佩尔方程的解。取其中最小的 i，将对应的 ( pi,qi) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x1,y1) ，则所有的解( xi,yi) 可表示成如下形式：或者由以下递推公式得到：例子首先根据根号 7 的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。第一项：， 不是解； 第二项：， 不是解； 第三项：， 不是解； 第四
5、项：， 是解。 于是最小解是(8,3)。计算的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151;3096720)、 (130576328,49353213) 与代数数论的联系佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式给出了环 （即二次域）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅的范数是一，即是域上的一个单元。根据迪利克雷单元定理，的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总
6、可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。与切比雪夫多项式的联系佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若 Ti (x)和 Ui (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。进一步有：如果( xi,yi)是佩尔方程的第 i 个解，那么xi = Ti (x1) yi = y1Ui - 1(x1) 。 佩尔方程与费马合数关系其中 n 为非负整数。 如果费马数是复合数，必然以这样形式：=（2 n + 2a + 1）（2 n + 2b + 1）。（1）ba. 经过推导以后得出：(2
7、n + 1(a + b) + 1)2-(2n + 1)=1。（2）对于佩尔方程; x2 Dy2 = 1,（3）可以把(2 n + 1(a + b) + 1)2看成 x2；把(2 n + 1)看成 y2；把看成 D.例如 n=5 时，y=64，a=5，b=52，347.于是：3350529-64（2740734540）=1。(注：2740734540=2 20+52342。52342=52347-5=b-a)例如 n=6 时，y=128，a=1，071。b=262，814，145，745。（8,611,893,927,909,377）-128（1,125,899,906,842,624+262,814,144,674）=1。（注：1,125,899,906,842,624= 。262,814,144,674=（b-a）例如 n=7，y=256。（2,852,374,425,137,128,275,969）-2562112+（11,141,914,943,546,878,042）=1不再一一叙述，对于佩尔方程的深入理解，就可能解决是否有无穷个费马合数，或者是否仅仅只有 5 个费马素数等等问题， 因为当 n4 时（也有解，但是没有（2）式这样的形式解），没有这样形式的解，已经找到区分费马素数与合数的形式。
