1、圆周角,28.1圆的认识,3、下列命题是真命题的是( ) (1)垂直弦的直径平分这条弦 (2)相等的圆心角所对的弧相等 (3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形 A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3),一、旧知回放:,1.圆心角的定义?,答:相等.,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?,B,课前热身,4、如图,O中,AOB=100,则AB弧的度数为_,AnB弧的度数为_。,100,260,5、判断题: (1)相等的圆心角所对的弧相等 。 (2)等弦对等弧 。 (3)等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧 。(5)平
2、分弦的直径垂直于弦 。,圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?,探索1:,二、探索新知:,思考:三个图中的BAC的顶点A各在圆的什么位置?角的两边和圆是什么关系?,探索:,你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?,特征:, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,练习:,1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由。,不是,不是,是,不是,不是,图,图,图,图,图,2、指出图中的圆周角。,ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC,思考:,问题:画一个圆,以A、C为弧的端点能画多少个圆周角?它们有
3、什么关系?,为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.,类比圆心角探知圆周角,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系?,提示:注意圆心与圆周角的位置关系.,如图,观察弧AC所对的圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,说说你的想法,并与同伴交流.,提示:注意圆心与圆周角的位置关系.,圆周角和圆心角的关系,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,解:AOC是ABO的外角,,AOC=B+A.,OA=OB,,A=
4、B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,理解并掌握这个模型.,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,圆周角和圆心角的关系,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,提示:能否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由
5、1可得:, ABC = AOC.,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,圆周角和圆心角的关系,ABD = AOD,CBD = COD,圆周角定理,综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:,圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.,即 ABC = AOC.,圆心在角的边上,圆心在角外,圆心在角内,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。,归 纳,2、如图,在O中,若弧AB等于弧EF,能否得到C = G呢?,可以得到C=G,同圆中,等弧所对的圆周角相等。,用
6、于找相等的弧,用于找相等的角,探 究,同弧或等弧所对的圆周角相等;,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。,例1.如图:OA、OB、OC都是 O的半径 AOB=2BOC. 求证:ACB=2BAC.,AOB=2BOC,ACB=2BAC,证明:,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,ACB= AOB,BAC= BOC,练习:,2.如图,圆心角AOB=100,则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,3、 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半圆上的两点,COD=500,则CAD=_,25,做做看,收
7、获知多少?,一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。,36或144,2 、如图,已知圆心角AOB=100,求圆周角 ACB=_、ADB=_。,1、半径为R的圆中,有一弦分圆周成1:4两部分,则弦所对的圆周角的度数是 。,二、计算,130,50,A,B,C1,O,C2,C3,圆周角定理及推论,一 、这节课主要学习了两个知识点: 1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。,总结扩展:,三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛,也是中考的一个重要考点,望同学们灵活运用。,
8、1、判断: (1)等弧所对的圆周角相等. ( ) (2)相等的圆周角所对的弧也相等.( ) (3)90。的角所对的弦是直径。 ( ) (4)同弦所对的圆周角相等。 ( ),X,X,X,巩 固 练 习,4、AB、AC为O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,如果ADB=35,求BOC的度数。,解AB=AC ABD=ADB=35 BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140,2.如图(2),在O中,B,D,E的大小有什么关系? 为什么? 3.如图(3),AB是直径,你能确定C的度数吗?,拓展 化心动为行动,1.如图(1),在O中,BAD =50,求C的大小.,B=D=E,C=130,C=9
9、0,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90o的圆周角所对的弦是直径。,归 纳,如图, O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ACB的平分线交O于D,求BC、BD的长,2、如图,AD是ABC的高,AE是ABC的外接圆直径。求证:AB AC = AE AD,分析:要证AB AC = AE AD,则证ADC ABE,或ACE ADB即可.,即要证,小结:,思想方法:一种方法和一种思想: 在证明中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想 分类时应作到不重不漏; 化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题,例4:,一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角C=4
10、5求这个人工湖的直径.,A,B,C,例4:,一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角C=45求这个人工湖的直径.,A,B,C,D,圆周角,在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(ABC)有关.,思考:图中的ABC的顶点B在圆的什么位置?ABC的两边和圆是什么关系?,圆周角,圆周角: ABC, ADC, AEC.这三个角的大小有什么关系?,圆周角,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?,结束寄语,盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.,再见,