1、24.3 正多边形和圆,1.正多边形与圆 如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边形一 定是_. 2.正多边形的有关概念 (1)中心:正多边形的_. (2)半径:正多边形_的半径. (3)中心角:正多边形每一边所对的_. (4)边心距:正多边形的_到正多边形的一边的_.,正n边形,外接圆的圆心,外接圆,圆心角,中心,距离,3.正多边形的画法 先将_n等分,然后顺次连接各分点所得的多边形为_ _. 4.利用尺规在圆中作正六边形和正方形 (1)正六边形:在半径为R的圆上依次截取等于_的弦,将圆_等 分,顺次连接各分点得_形. (2)正方形:作出已知圆的互相垂直的直径将圆_等分,顺次连
2、 接各分点得_形.,正n,圆心角,边形,R,六,正六边,四,正方,【思维诊断】(打“”或“”) 1.将一个圆分成5份,依次连接各分点所得的五边形为正五边 形.( ) 2.三角形外接圆的圆心叫做三角形的中心.( ) 3.正六边形外接圆的半径等于其边长.( ) 4.正八边形的中心角等于45.( ),知识点一 正多边形的性质与判定 【示范题1】已知:如图,ABC是O的内接等 腰三角形,顶角BAC=36,弦BD,CE分别平分 ABC,ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形.,【解题探究】(1)由ABC是等腰三角形,BAC=36,BD,CE是 两底角的平分线,可得哪些角相等? 提示:BAC=ABD=D
3、BC=BCE=ECA. (2)对于(1)中相等的角的顶点都在O上,故它们都是圆周角. (3)由(1),(2)可得到什么结论? 提示: 因此五边形AEBCD是正五边形.,【尝试解答】AB=AC，BAC=36，ABC=ACB=72，BD，CE分别平分 ABC，ACB，BAC=ABD=DBC=BCE=ECA. 因此五边形AEBCD是正五边形.,【想一想】 各边相等的多边形一定是正多边形吗? 提示:不一定,如菱形的各边相等,但它不是正多边形.,【备选例题】已知O和O上的一点A(如图). (1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边 形AEFCGH; (2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上, 求证:
4、DE是O的内接正十二边形的一边.,【解析】(1)作法:作直径AC;作直径BDAC; 依次连接A,B,C,D四点. 四边形ABCD即为O的内接正方形. 分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧, 交O于E,H,F,G; 顺次连接A,E,F,C,G,H各点; 六边形AEFCGH为O的内接正六边形, 如图所示.,(2)连接OE,DE.AOD= =90,AOE= =60, DOE=AOD-AOE=30.DE为O的内接正十二边形的 一边.,【方法一点通】 正多边形的判定方法 1.定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等. 2.正多边形与圆的关系判定:多边形为圆内接多边形时,判断该多边形的顶点将圆等分即可.
5、,知识点二 正多边形有关的计算 【示范题2】如图所示,已知O的周长等于6cm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.,【思路点拨】连接OD,OE,过点O作OHDE于H,由周长公式,可求出半径,OH为等边DOE的高,由勾股定理求出OH,求出DOE的面积,即可得正六边形ABCDEF的面积.,【自主解答】连接OD,OE,过点O作OHDE于H,则EH=DH= DE, 设O的半径为R,由题意知2R=6, R=3(cm).正六边形的边长等于半径, DE=3,在RtEOH中,OE=3,EH= ,由勾股定理得, OH= 正六边形ABCDEF的面积为:(cm2).,【想一想】 正六边形的边长和半径有怎
6、样的数量关系?为什么? 提示:相等,正六边形的中心角为60,边和半径构成等边三角形.,【备选例题】已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等， 求它们的面积的比值. 【解析】设它们的周长是1.根据题意，得正三角形的边长是正六边形的边长是 则正三角形的边心距是 正六 边形的边心距是 则正三角形的面积是 正六边形的面 积是 则它们的面积比是23.,【方法一点通】 正多边形有关量的计算 1.与正n边形有关的角. (1)中心角:每一个中心角度数为: (2)内角:每个内角度数为: (3)外角:每个外角的度数为:,2.正多边形的半径R、边心距r、边长a的关系: +r2=R2. 3.正n边形周长l与边长a,面积S与边长a、边心距r的关系:周长 l=na;面积S= arn.,
