1、张家口市职教中心数学学案 - 1 -第五章 三角函数学案（1）角的推广（一）目标1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义；2. 掌握所有与 角终边相同的角(包括 角)的表示方法；3体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.复习1初中是如何定义角的？ 2初中我们所接触的角的范围是 新课初中所学习的角的意义是否有些狭隘？（在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720” （即转体 2 周） ， “转体 1080”（即转体 3 周） ；如时钟快了 5 分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了 5 分钟，又该如何校正？在奥运会上跳水运动员
2、的跳水难度系数经常有转体多少多少度，这些度数是否超过了我们初中所学角的范围？）1角的新定义： （请试着标出关键词）2推广后的角可以如何进行分类？3什么叫解析法？4象限角是如何定义的？5什么叫做终边相同的角？6试着在 0到 2000范围内写出与 30的终边相同的角.观察有没有什么规律，这样的规律如何表示.结论：所有与终边相同的角连同 在内可以构成一个集合： 7相等的角终边一定相同，那终边相同的角一定相等吗？张家口市职教中心数学学案 - 2 -例 1 在 0 到 360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.()2()64(3)95012例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合
3、 S，并把 S 中在 间的角写出来：72036（1）60 .21-（ ） 3614（ ）练习1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90的角是锐角吗？090的角是锐角吗？2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420 (2)75 (3)855 (4)510注意:以后凡是没有给出 “始边落在 x 轴的正半轴上” 都默认为此条件.作业1下列命题中正确的是( )（A）终边在 y 轴非负半轴上的角是直角 （B）第二象限角一定是钝角（C）第四象限角一定是负角 （D）若 360（ Z） ，则 与 终边相同2与 120角终边相同
4、的角是( )（A）600k360， Z （B）120k 360， Z（C）120(2k1）180， Z 张家口市职教中心数学学案 - 3 -（D）660k360， Z3若角 与 终边相同，则一定有( )（A） 180 （B） 0 （C） 360， Z （D） 360， Z4与 1840终边相同的最小正角为 ，与1840终边相同的最小正角是 .5今天是星期一，100 天后的那一天是星期 ，100 天前的那一天是星期 .6钟表经过 4 小时，时针与分针各转了 (填度).7在直角坐标系中，作出下列各角(1)360 (2)720 (3)1080 (4)14408已知 A 锐角 ，B 0到 90的角 ，
5、C 第一象限角，D 小于 90的角求: AB ，A C， CD，AD9将下列各角表示为 360（ Z，0 360）的形式，并判断角在第几象限.（1） 56024 （2）56024 （3）290315（4）290315 （5）3900 （6）390010写出终边落在第一象限角的角集合: 写出终边落在第二象限角的角集合: 写出终边落在第三象限角的角集合: 写出终边落在第四象限角的角集合: 11试写出终边落在 x 轴正半轴的所有角的集合: 张家口市职教中心数学学案 - 4 -学案（2）角的推广（二）目标1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与 角终边相同的角（包括 角） 、象限角、
6、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 2掌握所有与 角终边相同的角（包括 角） 、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角.4写出终边在 y 轴上的角的集合.5写出所有轴上角的集合.6用区间的形式表示象限角.7写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).8已知是第二象限角，问 是第几象限角？2 的终边落在哪里？分别加以说明.练习1若 A k360，kZ ；B k180，kZ ； Ck90，kZ ，则下列关系中正确的是( )（A）AB C （B）A B C （C）A BC
7、 （D ）A B C2若是第四象限角，则 180 是( ) （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第四象限角3. 若与 的终边互为反向延长线，则有( )（A） 180 （B） 180 张家口市职教中心数学学案 - 5 -（C） （D） （2 1）180， Z4终边在第一或第三象限角的集合是 .5. 为第四象限角，则 2的终边在 ;角 45+ 90的终边在第 象限.作业一1写出与 37023终边相同角的集合 S，并把 S 中在720360间的角写出来.2. 在 直 角 坐 标 系 中 作 出 角 ，Zk6018，kZk609，k角的终边.3写出角的终边在图中阴影区域内的角的
8、集合(不包括边界).4. 已知角 是第三象限角,试判断 , 的终边落在什么位置.235. 经过 3 小时 35 分钟,时钟与分钟转过的度数之差是 .6. 集合 ,|60,AkZA|6027,BkZA那么集合 A,B,C 的关系如何?|18,C作业二1在 |360 1440中与2116终边相同的角有( )（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个2. 在 |360 1620中与 2116终边相同的角有( )（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）5 个3. 角 45 180， Z 的终边落在 ( )（A）第一或第三象限 （B）第一或第二象限（C）第二或第四象限 （D）第三或第
9、四象限4. 第二象限角的集合可表示为 .5. 角 的终边落在一、三象限角平分线上，则角 的集合是 .6. 角 是第二象限角，则 180 是第 象限角； 是第 象限角；180是第_象限角.张家口市职教中心数学学案 - 6 -学案（3）弧度制目标1理解弧度制的定义；2掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3熟记特殊角的弧度数.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角. 4写出终边在 y 轴上的角的集合.5. 写出所有轴上角的集合.6. 用区间的形式表示象限角.新课1. 什么是弧度制？ 2. 弧度与角度如何进行转换？3. 试理解下图4. 弧长公式与扇形面积公
10、式：例 1 把 化成弧度3067例 2 把 化成度rad5注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；正角零角负角正实数零负实数张家口市职教中心数学学案 - 7 -2今后在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略.如：3 表示 3rad ， sin表示rad 角的正弦；3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度例 3 用弧度制表示：1. 终边在 轴上的角的集合 x2. 终边在 轴上的角的集合 y3. 终边在坐标轴上的角的集合练习1. 下列各对角中终边相同的角是( )（A） （ Z） （B）
11、 和 k2和 32（C） 和 （D）971910和2. 若 3，则角 的终边在( )（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3. 若 是第四象限角，则 一定在( )（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限4. (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .5. 7 弧度的角在第 象限，与 7 弧度角终边相同的最小正角为 .6. 圆弧长度等于其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7. (选做)求值： .sintatncostancos36428. 已知集合 A 2 2 ， Z ， B 4 4 ，求 A B.9. 现在时针和
12、分针都指向 12 点，试用弧度制表示 15 分钟后，时针和分针的夹角.作业已知 是第二象限角，试说明下列各角终边所在位置： (1) (2) (3)2 23张家口市职教中心数学学案 - 8 -学案（4）三角函数的定义目标1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数；3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.新课在初中，我们对于三角函数的定义是基于直角三角形，而到了高中阶段，我们要在直角坐标系的圆里进行定义.1. 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离 .022yxyxr2比值 叫做 的正弦 记作： yrsin比值 叫
13、做 的余弦 记作： rxco比值 叫做 的正切 记作： ytayx比值 叫做 的余切 记作： xcot比值 叫做 的正割 记作： xrxrse比值 叫做 的余割 记作： yyc根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角 ，上述六个比值都不会随 P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角 的终边在纵轴上时，即 时，终边上任意Z)(2k一点 P 的横坐标 x 都为 0，所以 tan 、sec 无意义；当角 的终边在横轴上时，即 （ Z）时，终边上任意一点 P 的纵坐标 都为 0，所以 cot 、csc 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、
14、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上六种函数，统称为三角函数.3. 探究: 角是“任意角” ，当 =2k(kZ)时，与 的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等.张家口市职教中心数学学案 - 9 -实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.三角函数是以“比值”为函数值的函数. 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数0r的符号应由象限确定.定义域：对于正弦函数 ，因为0，所以rysin恒有意义，即 取任意实数， 恒有意义，也就是说 sinry恒有意义，所以正弦函数的定义域是 R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数 ，
15、因为 x0 时， 无tanyy意义，即 tan 无意义，又当且仅当角 的终边落在纵轴上时，才有 x0，所以当 的终边不在纵轴上时， 恒有意义，即 tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是 .从而有：xy )(2Zksincotaycseoty)(2Zk4. 注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)定义中只说怎样的比值叫做 的什么函数，并没有说 的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与 的终边位置无关.(4)比值只与
16、角的大小有关.例 1已知角 的终边经过点 P(2，3)(如图)，求 的六个三角函数值.R()2kZ张家口市职教中心数学学案 - 10 -例 2填表： 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度sincostancotseccsc例 3 （1）已知角的终边经过 P(4,3),求 2sincos的值（2）已知角的终边经过 P(4 ,3 ),( 0)求 2sincos 的值 a例 4求函数 的值域costnxy练习1. 若点 P(3， )是角 终边上一点，且 ，则 的值是 . 32sin2. 角 的终边上一个点 P 的坐标为(5 ,12 )( 0)，求 sin 2
17、cos 的值. a3. 已知 ，求cos2sin2in4cosinsico5及 的 值 .4试理解角 为第三象限角的充分必要条件是 sin0ta张家口市职教中心数学学案 - 11 -5已知 tan =3，求下列各式的值.2 2222 664sincosinicos(1) ()3 43inisi(5)snco()snco178ii 6若 10，则 tan 的值为 .sin3co52i4张家口市职教中心数学学案 - 12 -学案（5）同角三角函数的基本关系（一）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解
18、题技能，提高运用公式的灵活性；3. 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习1. 三角函数的概念.2. 三角函数值的符号.新课例 1已知 ，并且 是第二象限角，求 的其他三角函数值.54sin例 2已知 ，求 sin 、tan 的值.178cos练习1已知 ，求 的值.2costan2. 已知 ，求下列各式的值.1insin cos 33sin cos 44sin cos 663. 已知 sin cos ，且 ，则 cos sin 的值是多少.8124张家口市职教
19、中心数学学案 - 13 -1cscseccottancossin学案（6）同角三角函数的基本关系（二）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习同角三角函数的基本关系公式： 22sincos1sintacocotsintat 1i 1ecssi22 22setancts221 “同角”的概念与角的表
20、达形式无关，如： 13cossin22ita2cos2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为 1(倒数关系).任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).新课例 1化简： .2sin40张家口市职教中心数学学案 - 14 -例 2已知 .sin1si是 第 三 象 限 角 ， 化 简例 3求证： . c
21、osin1si例 4已知方程 的两根分别是 ，0)13(2mxx cosin，求 sincos1tta的 值 .例 5 （选讲）消去式子中的 sincotatxy：例 6已知 .2sin2i,tan3t,cos求练习1已知 cot =2，求 的其余三个三角函数值.2已知： 且 ，试用定义求 的其余三个三角函数值.51sinta03已知角 的终边在直线 y=3x 上，求 sin 和 cos 的值.张家口市职教中心数学学案 - 15 -4化简下列各式，其中 (,)2（1） cos1cs（2） intaincss（3） co1in225求证： .)sin2)(cot()t)(s(2 6已知 .sec
22、tan,sectandbc22求 证 ：作业1. 已知 sin cos ，且 0 ，则 tan 的值为( )231（A） （B） （C） （D）3332. 若 sin4 cos 4 1，则 sin cos 的值为( )（A）0 （B）1 （C）1 （D）13. 若 tan cot 2，则 sin cos 的值为( )（A）0 （B） （C） （D）224. 若 tan cot =2，则 sin4 cos 4 .5. 若 tan2 cot 2 2，则 sin cos .6. 求证 .3cossin14466x张家口市职教中心数学学案 - 16 -7已知 tan cot 2，求 sin3 cos
23、3 的值.学案(7)诱导公式（一）目标1理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；2理解并掌握诱导公式.复习1写出下面函数的定义域sincotaycseoty2上述函数值的正负是什么样的.3终边相同的角的三角函数值有什么样的关系.4终边关于 x 轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.5终边关于 y 轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.6终边关于原点对称的角的三角函数值有什么样的关系.例 1确定下列三角函数值的符号.(1)cos250 （2） （3）tan（672） (4) tan )4sin(13例 2求下列三角函数的值.(1) (2) tan 49cos1()6张家口市职教中心数学学案 -
24、17 -例 3求值：sin(1320 )cos1110 +cos(1020 )sin750 + tan4950练习1确定下列各式的符号(1)sin100cos240 (2)sin5tan52x 取什么值时, 有意义?sincotax3若三角形的两内角，满足 sincos0，则此三角形必为（ ）（A）锐角三角形 （ B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）以上三种情况都可能4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）（A）sincos 0 （B）tan sin 0（C）coscot 0 （D）cotcsc 05已知是第三象限角且 ，问 是第几象限角？cos26已知 ，则为第几象限角？sin21
25、作业1确定下列三角函数值符号： 1617()tan562) (cos (3)cot)582. 化简 . 2222 insita3. 已知 sin cos =1,求下列各式的值： 33(1)sincos；(2)sin cos 44学案（8）诱导公式（二）张家口市职教中心数学学案 - 18 -目标1复习诱导公式；2通过公式的应用，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3通过对诱导公式的学习，培养思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质.复习诱导公式： 新课例 1求下列三角函数值： （1）cos210； (2)sin 45例 2求下列各式
26、的值：（1）sin( )；(2)cos(60)sin(210)34例 3化简 )180sin()180cos(co4in例 4已知 cos( )= ， 2，则 sin(2 )的值是（ ）23（A） （B） （C） （D）23123练习张家口市职教中心数学学案 - 19 -1求下式的值：2sin(1110) sin960 )210cos()25cos(2化简 sin(2)cos(2)tan (24)所得的结果是（ ）（A）2sin2 （B）0 （C）2sin2 （D）1作业1求下列三角函数值：（1） ； (2) ；(3) ；(4)45sin619cos)240sin()165cos(2化简： .
27、3 3sin()cos5)tan(2)c2i(43当 时， 的值是_.45sin(21)sin(21)()cokkZ4求值： .1065sin)2cos(915sin5化简： .23i()()cotas6已知 ， ，则 的值是_.1)sin(2)2cs(7设 f ()= ，求 f ( )的值.)cos()7(cos21in3 3张家口市职教中心数学学案 - 20 -学案（9）诱导公式（三）目标能熟练掌握诱导公式，求任意角的三角函数值，并能进行简单的三角函数式的化简及论证.复习诱导公式新课例 1求下列三角函数的值(1) sin240； (2) ； (3) sin（ ）45cos67例 2求下列三
28、角函数的值(1) cos ；(2) cos(150)； (3) sin .3547例 3求值：sin cos63130例 4求 值 ： sin( 1200)cos1290 cos( 1020)sin( 1050) tan855张家口市职教中心数学学案 - 21 -例 5化简： )sin()5cos(4co3in例 6化简： )()2cos()sin( 1in12 Zn 例 7求证： sin(3)cos(4)sin()cos(2)c itan 例 8求证 3tan)360sin()540sin(18co例 9已知 求 的值.231)cos(， )sin(张家口市职教中心数学学案 - 22 -例
29、10已知 ,求23)60tan(172的值.)2(cos1)(sincos(si)(cos 22 例 11已知 的值.)32tan()0()3cos(26 ， 求， m练习1已知 sin( ) ，则 的值是（ ）21)7cos(A) (B) 2 (C) (D)3232322式子 的值是 （ ）)690sin(i58co(A) (B) (C) (D) 232323 ， ， 是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）(A)sin( )sin (B)cos( )cos (C)sin( )cos( )tan (D)cos(2 ) cos24已知：集合 ，集合ZkxP,3(sin| ，则
30、 P 与Q(21)|sin,3kyZQ 的关系是（ ）(A)P Q (B)P Q (C)P=Q(D)PQ= 张家口市职教中心数学学案 - 23 -5已知 对任意角 均成立若sin)2cos(,)2sin( f (sinx)=cos2x，则 f(cosx)等于（ ）(A)cos2 x (B)cos2x (C) sin2x (D)sin2x6已知 ，则 的值等于 .93)cos(1)5sin(3c7 = .4o5258化简： 所得的结果是 .)360cs()180cs()36tan(ii 9求证 .3cot)360cos()540cos(18ini 10设 f(x)= ， 求 f ( )的值.)(
31、)12(cos(inZx6学案（10）诱导公式（四） （选讲）目标能熟练掌握诱导公式一至四，并运用求任意角的三角函数值，同时学会关于 90,270四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证.张家口市职教中心数学学案 - 24 -复习诱导公式一（其中 ）：Zksin)360sin(cocota)ta(k诱导公式二： sin(180sin）coco）tata(）诱导公式三： sin(si）co）tata(）诱导公式四： sin180sin(）coco）tata(）新课诱导公式五：sin(90 ) = coscos(90 ) = sin函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限张家口
32、市职教中心数学学案 - 25 -tan(90 ) = cot诱导公式六：sin(90 ) = cos cos(90 ) = sin tan(90 ) = cot 诱导公式七：sin(270 ) = cos cos(270 ) = sin tan(270 ) = cot诱导公式八：sin(270 ) = coscos(270 ) = sin tan(270 ) = cot例 1. )2cos()5cos(in4i)cot()2tan(23ssi kkk求 证 ：例 2. 的 值 。求 )4(s)4(cos22例 3. .)2sin(,1)in(31i 求，已 知例 4. .)(i,7cos)(
33、xfxf求若练习1计算：sin315sin(480 )cos( 330) .2已知 35cos()cos(66， 求 的 值学案（11）两角和与差的余弦公式目标1理解平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题；张家口市职教中心数学学案 - 26 -2初步理解解析法解决问题的方法，培养运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力；3培养探索和创新的能力和意识.新课问题 1：试求平面内任意两点 ， 间的距离.),(1yxP2(,)xy问题 2：已知 A(1,5),B(4,7) 求|AB|.问题 3： ,那么 =？cos()coscos()问
34、题 4：cos()=？例 1. 计算 cos105 cos15 cos cos sin sin51035103例 2. 已知 sin= ，cos= 求 cos()的值.5312例 3. 已知 cos(2 )= ,sin (2 )= ,且 ,47342张家口市职教中心数学学案 - 27 -0 ,求 cos( )的值.4练习1已知 cos()= ,求(sin sin )2(coscos )2 的值 .312sinsin = ，cos cos= ， (0, ),(0, ),求 cos()的值.12122学案（12）两角和与差的正弦公式目标能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，进而推得两角差的正
35、弦公式，并进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形.张家口市职教中心数学学案 - 28 -复习1两角和与差的余弦公式:sincos)cos( sincos)co(2求 cos75的值 . 3计算：cos65cos115 cos25sin1154计算：cos70cos20 sin110 sin205(选讲)已知锐角,满足 cos= cos()= 求 cos.53135新课两角和与差的正弦： 1推导 sin()= 2推导 sin(-)= 例 1不查表，求下列各式的值：（1）sin75 （2）sin13 cos17cos13sin17例 2求证：cos sin=2sin( )36例 3已知 sin
36、()= ,sin()= 求 的值.3252tan张家口市职教中心数学学案 - 29 -练习1在ABC 中，已知 cosA = ，cosB = ，则 cosC 的值为（ ）1354（A） （B） （C） （D）65665或 6512已知 ， ， ， ，4403)cos(3)4sin(求 sin( )的值.作业1已知 sin sin = ，求 cos cos的范围.22已知 sin() = ，sin() = ，求 的值.2110tan学案（13）两角和与差的正切公式目标能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 奎 屯王 新 敞新 疆张家口市职教中心数学学案 - 30 -复习1两角和与差的正、余弦公式sincos)cos( sincos)co(iniiici2(选讲) 求证：cosx sinx= sin(x ) （辅助角公式）.243已知 sinsin= ， coscos= ，求 cos().535新课两角和与差的正切公式：例 1求 tan15，tan75 及 cot15的值.例 2求下列各式的值：（1） （2）tan17 tan28tan17 tan28tan75练习1已知 1tan,t2.3
