1、3 4 函数单调性与曲线的凹凸性一 教学目的（一）知识目的（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。（三）德育目标（1）激发学生的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。二 教学的重、难点及教学设计（一） 教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性（二） 教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导（三） 教学设计要点：1用导数判断函数的单调性；2用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；3单调性及凹凸性的应用；三
2、 教学过程1、函数单调性的判定法如果函数 yf(x)在 a b上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） 即yf (x)0(yf (x)0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系 反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理 1(函数单调性的判定法 ) 设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 (1)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在 a b上单调增加 (2)如果在(a b)内 f (x)0 那么函数 yf(x)在 a b上单调减少 证明 只证(1) 在a b上
3、任取两点 x1 x2 (x1 x2 ) 应用拉格朗日中值定理 得到f(x2 )f(x1 )f ()(x2x1) (x1 x2 ) 由于在上式中 x2x10 因此 如果在(a b)内导数 f (x)保持正号 即 f (x)0 那么也有 f ()0 于是 f(x2 )f(x1 )f ()(x2 x1 )0 即 f(x1 )f(x2 ) 这函数 yf(x) 在 a b上单调增加 注 判定法中的闭区间可换成其他各种区间 例 1 判定函数 yxsin x 在0 2 上的单调性 解 因为在(0 2 )内 ，,y1cos x 0 所以由判定法可知函数 yxcos x 在0 2 上的单调增加 例 2 讨论函数
4、 ye x x1 的单调性 （没指明在什么区间怎么办？)解 ye x 1 函数 ye x x1 的定义域为( ) 因为在( 0)内 y0 所以函数 ye x x1 在( 0 上单调减少 因为在(0 ) 内 y0 所以函数 ye x x1 在0 )上单调增加 例 3 讨论函数 的单调性32xy解 函数的定义域为 ( ) 函数的导数为 (x0) 函数在 x0 处不可32y导 当 x0 时 函数的导数不存在 因为 x0 时 y0 所以函数在(, 0 上单调减少 因为 x0 时 y0 所以函数在0, ) 上单调增加 如果函数在定义区间上连续 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 那么只要用方程 f
5、 (x)0 的根及导数不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间 就能保证 f (x)在各个部分区间内保持固定的符号 因而函数 f(x)在每个部分区间上单调 例 4 确定函数 f(x)2x39x212x3 的单调区间 解 这个函数的定义域为:( ) 函数的导数为:f (x)6x 2 18x 12 6(x1)(x2) 导数为零的点有两个 x 1 1、x 2 2 列表分析 ( 1 1 2 2 )f (x) f(x) 函数 f(x)在区间( 1和2 )内单调增加 在区间1 2上单调减少 例 5 讨论函数 yx3 的单调性 解 函数的定义域为 ( ) 函数的导数为 y 3x2 除当 x0 时 y0 外
6、在其余各点处均有 y0 因此函数yx 3 在区间( 0及0 )内都是单调增加的 从而在整个定义域 ( )内是单调增加的 在 x0 处曲线有一水平切线 一般地 如果 f (x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正（或负）时 那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 例 6 证明 当 x1 时 x132证明 令 则 )()(f )1(1)(2 xxf因为当 x1 时 f (x) 0 因此 f(x)在1, )上 f(x)单调增加 从而当 x1 时 f (x)f(1) 由于 f(1)0 故 f(x)f(1)0 即 也就是 (x1) 0323二、曲线的凹凸与拐点定义 （凹凸性）设
7、 f(x)在区间 I 上连续 如果对 I 上任意两点 x 1 x 2 恒有 2)()(121xfxf那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凹的( 或凹弧) 如果恒有 )(121ff那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凸的( 或凸弧) 定义 设函数 yf(x)在区间 I 上连续 如果函数的曲线 位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间 I 上是凹的；如果函数的 曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间 I 上是凸的凹凸性的判定 定理 设 f(x)在a b上连续 在(a b) 内具有一阶和二阶导数 那么(1)若在(a b)内 f (x)0 则 f(x)在a b上的图形是凹
8、的 (2)若在(a b)内 f (x)0 时 y 0 所以曲线在 0 )内为凹的 例 3 求曲线 y2x 33x 22x14 的拐点 解 y6x 26x12 令 y0 得 )21(61x21x因为当 时 y 0 当 时 y0所以点( )是曲线的拐点 1x例 4 求曲线 y3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数 y3x 44x 31 的定义域为( ) (2) 21 )32(62x(3)解方程 y0 得 1x(4)列表判断 在区间( 0和 2/3 )上曲线是凹的 在区间0 2/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例 5 问曲线 yx 4 是否有拐点？解 y4x 3 y12x 2 当 x 0 时 y0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线 的拐点 3解 (1)函数的定义域为( ) (2) 321xy329xy(3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x0 (4)判断 当 x0 当 x0 时 y 0 因此 点(0 0) 曲线的拐点四 布置作业做练习册第 19 大页有能力的同学可以附加做课后习题( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )f (x) 0 0 f(x) 1 11/27
